Forum de mathématiques - Bibm@th.net

OK effectivement je vais laisser reposer tout ça.

Je te remercie infiniment pour ton aide précieuse.

Je te souhaite une agréable nuit.

Cordialement.
Yop

J'ai compris toutes ces histoires de latitude. En fonction de la latitude, la période de révolution n'est pas la même, j'ai saisi cela.

En revanche, je ne comprends pas le $\frac{1}{\sin(\Phi)}$

Ensuite, ok j'ai cette expression mais que faire ? La dérivée, en étudier son tableau de signe et en déduire le tableau de variation de ma fonction initiale ? Et comment à partir de toutes cette étude je peux illustrer ? En montrant que c'est un mouvement continu et que entre mes deux bornes, il y a une valeur de latitude qui correspond à la valeur de la période de révolution associée ?

Et énième remarque, la valeur de la longueur du pendule influe-t-elle sur quelque chose ?

@+

Merci pour ces infos.

Donc si je décide d'étudier uniquement la période de révolution du pendule afin d'illustrer mon fameux TVI, je dois étudier cette fonction :
$T(\Phi)=2\times\pi\times\sqrt{\dfrac{L}{g}}\times\cos(\Phi)$

Ce qui nous donne comme dérivée :
$T'(\Phi)=-2\times\pi\times\sqrt{\dfrac{L}{g}}\times\sin(\Phi)$

et donc on en déduit le tableau de variation :
https://www.cjoint.com/c/NDynJISxBZy

Est-ce correct, puis je continuer mon étude sur ceci ?

Oui excusez-moi, j'ai cherché plein de fois à écrire en LATEX mais je ne trouve pas...

Toutes mes excuses.
Yop

Bonjour Borassus,

J'ai envoyé via cjoint.com.

J'ai inséré le lien dans l'icone image.

Alors pour cette formule, je me suis basé à la fois sur les formules de période de révolution que l'on peut voir dans différents articles mais également sur l'appui d'un travail qu'avait réalisé un de mes camarades.

Et je viens de me rendre compte de quelque chose, si j'illustre mon TVI grâce à la rotation du plan de balancement, l'aspect pendule de Foucault n'a plus grand intérêt ?

Je viens de me rendre compte que dans l'un des commentaires que tu avais fait par rapport à mon travail, il y avait une petite coquille, en effet tu as stipulé que ma formule de période de révolution ne se résumait qu'au produit de tous les termes, en revanche celle que j'ai noté est la suivante

Bonsoir Borassus,

Effectivement je pensais à cela, mais cela peut être risqué...

En revanche je n'arrive toujours pas à comprendre en quoi ma formule de révolution est incorrecte, comme tu as pu le stipuler dans tes messages précédent.

Si tu pouvais m'éclairer cela serait fort aimable de ta part.

Bonne soirée.

Cordialement.
Yop

Merci infiniment.

Dernière question, selon toi le sujet en l'état actuel (avec de nombreuses modifications que je vais apporter), peut-il me permettre de réaliser mon grand oral ?

Bonne soirée.

Cordialement.
Yop

Bonjour @yoshi,

Pour répondre à ta question, si je l'ai bien comprise, je comptais illustrer le TVI par le mouvement du pendule.

Je m'explique, en effet, on sait que le pendule oscille suivant les valeurs de latitude (entre 90° Nord et -90° Sud), en admettant cela je compte montrer que le pendule prendra toutes les valeurs intermédiaires entre ces 2 bornes.

Je ne sais pas si c'est clair...

Bonne journée.

Cordialement.
Yop

Bonjour,

Merci beaucoup.

Bonne journée.

Cordialement.
Yop

Re,

Je n'arrive pas à trouver le "cjoint point com", je publie donc mon texte ci-dessous.

Aujourd'hui, je vais vous parler du pendule de Foucault qui permet d’illustrer le célèbre et utile théorème des valeurs intermédiaires. Tout d’abord, le pendule de Foucault est une expérience fascinante qui a vu le jour pour la 1er fois en 1851 grâce au physicien français Léon Foucault.

Issu à la base d'une première tentative de mise au point dans la cave de sa maison avec une sphère suspendue à un fil de 2 mètres de long, il se résigna par la suite à entreprendre une expérience plus conséquente avec un fil d'acier de 11 mètres de long attaché à la voûte du Panthéon à Paris la même année. L'intérêt du pendule, imaginé et réalisé par Foucault, est de mettre en évidence la rotation de la Terre manifestée par la déviation constante du plan d'oscillation du pendule. En effet, une fois lancé, on observe un mouvement remarquable : le plan d'oscillation pivote au fil des heures. Si on le lance en premier lieu dans la direction Nord-Sud, on le retrouve en quelques heures dans la position Est-Ouest, jusqu’à un tour complet.

De cette première analyse, dans quelle mesure le pendule de Foucault pourrait-il illustrer le Théorème des Valeurs intermédiaires ?

Avant toute chose, commençons par présenter le Théorème des Valeurs Intermédiaires ; approuvé en 1821 par le mathématicien français Cauchy est une propriété fondamentale des fonctions. Il stipule que pour toutes fonctions f définies et continues, c’est-à-dire que l’on peut tracer la courbe représentative de cette dernière “sans lever le crayon”, autrement dit si la fonction f est dérivable sur un intervalle I, prenant 2 valeurs a et b ∈ I, avec par exemple a<0 et b>0 alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins réel c compris entre a et b tel que f(c) = k. Dans l’exemple précédent, la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires entre a et b passant à un moment précis par y = 0.

En somme, une fonction continue ne peut pas sauter d'une valeur positive à négative sans passer par ce dernier.

Cette exemple résume parfaitement le cas du pendule de Foucault, car en effet son pivotement est dû à la simple rotation de la Terre autour de son propre axe (dessin pour comprendre cf image ci-dessus), démontrant ainsi sa caractéristique d'oscillation d'un point latéral à un autre, dépendante de la latitude terrestre variant quant à elle entre 90°N et 90°S en passant par 0 au niveau de l'équateur.

En clair, si on lâche le pendule situé par exemple au pôle Nord en un point initial défini par le Nord, il oscille donc vers sont point opposé, le Sud tout en suivant la rotation de la Terre pour se retrouver 24h plus tard à avoir parcouru un tour complet suivant sa période de révolution définie par la fonction suivante : 
T(phi) = 2 π Lg cos(phi)

avec L : la longueur du pendule
avec g : l’accélération de la pesanteur (9,81 m.s2)
avec  : la valeur de la latitude en radian

Pour simplifier notre étude et d’un point de vu technique, la durée de 24h est valable uniquement aux pôles car la verticale du point de suspension du pendule coïncide avec l’axe de rotation de la Terre tandis qu’à l’équateur le pendule n’indique aucune variation d’orientation de son plan d’oscillation dû à une perpendicularité du point d’attaque avec l’axe de rotation terrestre.

En dérivant la période de révolution, c’est à dire en dérivant uniquement le cosinus car les autres éléments n’étant que des constantes et en utilisant la formule de la dérivée d’un produit d’un réel par une fonction : ku= ku'

PARTIE FONCTION TRIGO (revoir)

Or la dérivée de cos(x) est -sin(x)

donc T(phi) = 2 π Lg cos(phi)
         T'(phi) = -2 π Lg sin(phi)

de la dérivée, nous pouvons déterminer le tableau de signe de la fonction T’

or sin(0) = 0 
déterminons maintenant : T'0 ⇔ -2 π Lg sin(phi)
sin(phi)0 ⇔ =0

donc on en déduit le tableau de signe de T’ + le tableau de variation de la fonction T sur [-2pi ;2pi] car l’angle d’oscillation varie entre 90°N et 90°S (relation angle / radian)

De ce fait, lorsque la latitude varie, cos (Ф), représenté par une fonction cosinus continue, va alors varier sur [-2pi ;2pi] , représentant exactement la latitude Nord et Sud, permettant donc au pendule de prendre toutes les valeurs intermédiaires possibles entre ces 2 extrêmes. On comprend donc qu'à chaque fois que ce dernier arrive au bout de son oscillation en un point précis, il est immobile pendant un court instant et sa vitesse est nulle, ce qui caractérise un changement de direction.

En outre, sur l'intervalle de latitude noté [-2pi ;2pi] , on supposera que la période minimale de cet intervalle est f(-pi/2) et celle maximale est f(pi/2). Ainsi pour que les oscillations du pendule puissent interpréter le Théorème des Valeurs Intermédiaires, la période de rotation doit à son tour prendre en compte toutes les valeurs intermédiaires entre f(-pi/2) et f(pi/2) de ce même intervalle. Autrement dit, il doit exister au moins un point de latitude (Ф) où la période de rotation est égale à n'importe quelle valeur intermédiaire comprise entre f(-pi/2) et f(pi/2).

Ainsi la continuité du mouvement du pendule met en avant la continuité des fonctions dans le théorème des valeurs intermédiaires, illustrant ainsi comment des concepts apparemment distincts peuvent être liés par des théorèmes mathématiques.

Je remercie toutes les personnes qui porteront de l'attention à mon travail.

Bonne soirée à tout le monde.

Cordialement.

PS : Je suis une quiche en informatique je crois...