Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir
Pour illustrer mon point de vue je propose l'exercice suivant
résoudre dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex]l'équation suivante:

[tex]\Large \sqrt{x^2+a^2-\sqrt{3}ax}+\sqrt{x^2+y^2-\sqrt{3}xy}+\sqrt{y^2+b^2-\sqrt{3}by}=\sqrt{a^2+b^2}[/tex]

a et b sont des réels strictement positifs

Bonsoir

je propose une méthode simple pour résoudre cette équation dans IR:
soit x un nonbre réel tel que : [tex]\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}=1[/tex]
On a [tex]sinx\geq 0[/tex] et [tex]cosx\geq0[/tex]
On a :[tex]cosx-sinx=(\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx})(\sqrt{cosx}-\sqrt{sinx})[/tex]
alors : [tex]cosx-sinx=\sqrt{cosx}-\sqrt{sinx}[/tex]
On a alors :[tex]cosx-sinx=\sqrt{cosx}-\sqrt{sinx}[/tex] et [tex]\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}=1[/tex]
Donc :[tex]2\sqrt{cosx}=1+cosx-sinx[/tex]
c'est-à-dire :[tex]4cosx=(1+cosx)^2+sin^2x-2sinx(1+cosx)[/tex]
ou encore ::[tex]cosx+sinx=1-sinxcosx[/tex]
Or : [tex]\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}=1[/tex] d'où : [tex]cosx+sinx+2\sqrt{sinxcosx}=1[/tex]
Donc :[tex]2\sqrt{sinxcosx}=sinxcosx[/tex]
comme [tex]sinxcosx\leq 1[/tex] alors [tex]sinxcosx=0[/tex]
ce qui implique que : [tex]cosx=0 et sinx=1[/tex] ou [tex]cosx=1 et sinx=0[/tex]
Réciproquement si [tex]cosx=0 et sinx=1[/tex] alors [tex]\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}=1[/tex] et si [tex]cosx=1 et sinx=0[/tex] alors [tex]\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}=1[/tex]
les solutions de cette équation sont les réels de la forme:[tex]2k\pi[/tex] ou [tex]\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] où k est un entier relatif.

je demande cordialement à yoshi de me présenter la démonstration de la proprièté du pied de la bissectrice d'un triangle.car je connais 4 méthodes pour sa démonstration, mais aucune ne base sur les notions cités par yoshi.

Bonjour

Historiquement, le désir de résoudre un problème était à la base de développement où élaboration d’une théorie, le bon exemple c’est le grand théorème de FERMAT.

    A travers les changements des programmes, on constate la disparition de certaines notions, cela est due essentiellement aux difficultés rencontrés par les élèves dans la résolution des problèmes ou des exercices relatives à ces notions, le bon exemple, les propriétés des nombres réels, (comme la borne supérieure,…  ).L’absence de certaines notions dans les programmes est due aussi à la difficulté rencontrée par les concepteurs de ces programmes pour élaborer des approches convenables à l’apprentissage de ces notions, comme l’introduction des nombres réels.

    Vu ces constatations, une question s’impose : quel est l’intérêt de la résolution d’un problème où l’élève n’a pas la capacité de la reproduire ?

    Pour être clair, on trouve dans la plupart des livres de la géométrie, la même démonstration du propriété du pied de la bissectrice intérieure d’un triangle (cette propriété était une partie du leçon sur THALES) le plus frappant dans cette démonstration, l’utilisation d’une considération intermédiaire (une information tirée de l’extérieure de l’énoncé de la propriété). Alors, l’élève trouvera des difficultés pour la comprendre. Pour élucider ce problème, on élimine cette propriété des programmes, ou on la propose comme un exercice pour ‘’certains élèves’’. On ne se demande jamais à chercher d’autres méthodes simples. Je dirai qu’on peut traiter cette propriété avec les notions du programme de la première année du collège.

    Un exemple frappant, c’est la résolution de l’équation x^2+y^2=z^2, dans la plupart des livres traitant cette équation, on trouve la même démarche pour sa résolution. Une démarche difficile à reproduire, car il se base sur des considérations intermédiaires. On ne se demande jamais à chercher d’autres méthodes simples. Je dirai qu’on peut traiter cette équation d’une façon simple, si on met en doute notre conception de l’arithmétique.
    Il existe un nombre important des exemples qui me pousse à réfléchir sur ‘’ce’’ mathématique enseigné.

Bonsoir
Je n’ai pas pensé à chercher un contre-exemple, car je sais parfaitement que les seules solutions de l’équation proposée sont parfaitement connues.

Mr yoshi, ton approche de la solution de cette équation est juste, mais tu n'a pas présente une méthode formelle, permettant de conclure que les seules solutions de cette équation sont parfaitement trouvées par ton approche
Est-ce que tu peux utiliser la même approche pour résoudre l’équation 2003x+47y=1 par exemple. autrement dit est-ce que tu peux généraliser ton approche .

Bonjour

Mr yoshi, justifier que les solutions que tu a trouvé sont les seuls solutions de cette équation.

Bonsoir

Les deux réponses sont fausses.

Bonsoir

Mr yoshi, comment tu a trouvé la forme général des solutions?, c'est - à -dire (x;y)=(2+5n;-1-3n)

bonsoir

il s'agit de déterminer les entiers x et y tels que : 3x+5y=1
il existe une méthode pour résoudre cette équation; son début était donné par Mr tibo95640
ce genre d'équations figurent dans le programme du terminal, il se fait avec les thèorèmes de Gauss et Bezout
Ma question avait pour objectif d'ouvrir un débat sur nos conceptions sur l'arithmètique, car il existe un nombre assez important des problèmes d'arithmètique, qui se résolvent sans utiliser des thèorémes d'arithmétique.