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#26 Re : Entraide (supérieur) » Théorème des fonctions implicites » 27-12-2014 13:39:10
Voici ce que j'ai trouvé :
b) Il faut que le déterminant de [tex]\left(\begin{matrix}\text{e}^x\cos{(y)} & 0\\\text{e}^x\sin{(y)} & - 1\end{matrix}\right)[/tex] soit non nul, c'est-à-dire que [tex]-\text{e}^x\cos{(y)} \neq 0 \Leftrightarrow cos(y)\neq 0 \Leftrightarrow y \in \mathbb{R} \backslash \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}[/tex]
Donc on peut résoudre localement le couple [tex](x,v)[/tex] en fonction de [tex](y, u)[/tex] pour tous points [tex](x_0,y_0,u_0,v_0)[/tex] tel que [tex]x_0,u_0,v_0 \in \mathbb{R}[/tex] et [tex]y_0 \in \mathbb{R} \backslash \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}[/tex].
c) Il faut que le déterminant de [tex]\left(\begin{matrix}\text{e}^x\cos{(y)} & -\text{e}^x\sin{(y)}\\\text{e}^x\sin{(y)} & \text{e}^x\cos{(y)}\end{matrix}\right)[/tex] soit non nul, c'est-à-dire [tex]\left(\text{e}^x\cos{(y)}\right)^2 + \left(\text{e}^x\sin{(y)}\right)^2 \neq 0[/tex] et donc [tex]y \in \mathbb{R} \backslash \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi ; k\pi\right\}[/tex].
Donc on peut résoudre localement le couple [tex](x,y)[/tex] en fonction de [tex](u, v)[/tex] pour tous points [tex](x_0,y_0,u_0,v_0)[/tex] tel que [tex]x_0,u_0,v_0 \in \mathbb{R}[/tex] et [tex]y_0 \in \mathbb{R} \backslash \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi ; k\pi\right\}[/tex].
#27 Re : Entraide (supérieur) » Théorème des fonctions implicites » 27-12-2014 11:05:38
Ah ok, merci :) Je vais finir l'exercice maintenant que j'ai compris le principe
#28 Re : Entraide (supérieur) » Théorème des fonctions implicites » 26-12-2014 21:43:10
Merci :)
La matrice Jacobienne est [tex]\left(\begin{matrix}\text{e}^x\cos{(y)} & -\text{e}^x\sin{(y)} & - 1 &0\\\text{e}^x\sin{(y)} &\text{e}^x\cos{(y)} & 0 & - 1\end{matrix}\right)[/tex].
Ainsi la matrice [tex]\left(\begin{matrix}-1 & 0\\0 & - 1\end{matrix}\right)[/tex] correspond à [tex](u ; v)[/tex].
[tex]\left|\begin{matrix}-1 & 0\\0 & - 1\end{matrix}\right| = 1 \neq 0[/tex] donc la matrice est inversible et on peut résoudre localement [tex](u ; v)[/tex] en fonction de [tex](x ; y)[/tex].
Par contre, comment déterminer les points [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex] pour lesquels on peut résoudre ?
Encore merci de l'aide !
#29 Re : Entraide (supérieur) » Théorème des fonctions implicites » 25-12-2014 01:44:15
Bonsoir, oui je comprends cette page, j'en ai d'ailleurs consulté plusieurs sur le net mais plusieurs choses me bloquent :le fait que c'est du type f(4 variables) = (2 expressions), mais également le fait que je n'ai pas d'exemples montrant comment faire... Bizarre je comprends en ayant toujours un exemple, mais impossible d'en trouver un qui colle avec le mien, y'a toujours quelque chose qui me fait bloquer du coup.
Y'a t-il un histoire de jacobien qui doit être non nul dans l'exercice ?
Merci de ta réponse, surtout en ce jour.
#30 Entraide (supérieur) » Théorème des fonctions implicites » 24-12-2014 12:29:46
- jimijims
- Réponses : 9
Bonjour,
J'aimerais un peu d'aide sur un sujet de partiel tombé l'an dernier... Malheureusement je ne sais absolument pas comment faire... On m'a dit que je devais utiliser le théorème des fonctions implicites, mais ne le comprenant pas et n'ayant fait aucun exercice dessus, je suis complètement perdu... Serait-il possible d'avoir une aide, au moins pour la première question, que j'arrive à la comprendre et ensuite m'attaquer aux autres questions svp ?
Soit [tex]f : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex] donnée par [tex]f(x,y,u,v) = (\text{e}^x\cos{(y)} - u, \text{e}^x\sin{(y)} - v)[/tex] et soit [tex](x_0, y_0, u_0, v_0) \in \mathbb{R}^4[/tex] un point vérifiant [tex]f(x_0,y_0,u_0,y_0) = (0,0)[/tex].
1) Pour quels points [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex] peut-on résoudre localement (dans un voisinage de [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex]) le couple [tex](u,v)[/tex] en fonction du couple [tex](x,y)[/tex] sous forme [tex](u,v) = g(x,y)[/tex] à partir de l'équation [tex]f(x,y,u,v) = (0,0)[/tex] ?
2) Pour quels points [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex] peut-on résoudre localement (dans un voisinage de [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex]) le couple [tex](x,v)[/tex] en fonction du couple [tex](y,u)[/tex] sous forme [tex](x,v) = g(y,u)[/tex] à partir de l'équation [tex]f(x,y,u,v) = (0,0)[/tex] ?
3) Pour quels points [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex] peut-on résoudre localement (dans un voisinage de [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex]) le couple [tex](x,y)[/tex] en fonction du couple [tex](u,v)[/tex] sous forme [tex](u,v) = g(y,u)[/tex] à partir de l'équation [tex]f(x,y,u,v) = (0,0)[/tex] ?
4) Dans chacun des trois cas ci-dessus, exprimer la différentielle [tex]D_g[/tex] en termes des dérivées partielles de [tex]f[/tex] au point [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex] (pour un tel point où la fonction [tex]g[/tex] existe) et ensuite donner une expression explicite pour [tex]D_g[/tex] en termes des variables dont dépend [tex]g[/tex].
Je vous remercie d'avance,
Bonnes fêtes à tous