Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour bridgslam, Ernst, Yoshi, bonjour tout le mode,

Juste avant de me coucher — il est une heure, et je me suis levé à cinq heures ; "petite" journée de travail habituelle — je n'ai pas résisté de demander le résolution suivante à ChatGPT :

Moi : Je reviens à la question des pondérations de probabilités égales en fonction de la valeur attribuée à chaque issue.

Pour commencer, considérons un jeu de 32 cartes, les quatre couleurs traditionnelles du 7 à l'as.
Si on applique une suite géométrique croissante à ces huit cartes, il faut trouver une façon de pondérer les probabilités de façon à ce que "la probabilité ressentie" pour chaque carte aille en décroissant. La probabilité de tirer un 7 doit être relativement importante ; celle de tirer un huit doit être un peu moins élevée ; etc. ; et la probabilité ressentie de tirer un as doit être faible, de façon à justifier de façon sensible au joueur qu'il a eu "un max de chance".

Le principe de fond des probabilités ressenties doit donc être une correspondance inverse entre la valeur des cartes et la probabilité qui leur est associée : plus la valeur de la carte est faible, plus la probabilité ressentie doit être importante ; plus la valeur de la carte est importante, plus le probabilité ressentie doit être faible.

Bien évidemment la somme des huit probabilités ressenties est égale à 1.

Ne me proposer dans un premier temps qu'une seule pondération.

Chat : Très bien. Voici **une** pondération simple et cohérente avec votre idée “valeur ↑ → probabilité ressentie ↓” :

# Pondération géométrique décroissante (ratio 1/2)

Attribuons aux rangs $7,8,9,10,V,D,R,A$ des **poids** géométriques inverses :

$$
p_k \propto \left(\tfrac12\right)^{k-1}\quad (k=1\ \text{pour }7,\dots,k=8\ \text{pour As})
$$

puis normalisons pour que la somme fasse 1. On obtient exactement :

7 : 0,50196
8 : 0,25098
9 : 0,12549
10 : 0,06275
Valet : 0,03137
Dame : 0,01569
Roi : 0,00784
As : 0,00392

Ces probabilités ressenties :

décroissent strictement avec la valeur de la carte ;
gardent un rapport constant de 1/2 d’un rang au suivant (géométrique) ;
somment à 1 (normalisation effectuée).

Si cela vous convient, on pourra ensuite ajuster la « pente » en remplaçant le ratio $1/2$ par un autre (par ex. $1/1{,}5$ pour une décroissance plus douce).

Tout le monde peut se tromper, comme disait un hérisson descendant d'une brosse à chaussures.  :-)

En fait, ta logique de calcul est la plus naturelle car elle conserve le principe du produit de probabilités dans le cas d'une succession de "et" :
$p(A \cap B \cap C \cap D) = p(A) \times p(B|A) \times p(C|A \cap B) \times p(D |A \cap B \cap C)$.

Bonjour Alain, bonjour à tous,

Effectivement, $\dfrac {4!}{10!}$ est un mode de calcul possible (même si, à mon sens, il n'est pas le plus naturel).

Une chance sur 151 200, ou un peu moins de sept chances (6,6) sur un million !
D'où ma promesse de vous faire joyeusement part de mon émerveillement si, lors d'une connexion, je vois s'afficher mon code dans l'ordre.  :-)

Donc, si on considère comme épreuve de Bernoulli « mon code est affiché dans l'ordre » vs « mon code n'est pas affiché dans l'ordre », et si $X$ désigne le nombre de fois où je "gagne le gros lot" dans une série de $n$ connexions, nous avons là une belle loi binomiale $X \sim \mathcal{B} \left(n, \dfrac {1}{151\,200} \right)$.

Si on considère, comme cela est fait généralement, qu'on attribue la valeur $1$ au succès et la valeur $0$ à l'échec, l'espérance est égale à $n \times \dfrac {1}{151\,200}$.

Donc, pour un grand nombre de séries de 151 200 connexions, je verrais mon code s'afficher en moyenne une fois par série.  :-)

En moyenne, car dans certaines séries, il n’apparaîtra jamais, dans d’autres deux fois, voire davantage. Mais sur un grand nombre de séries, la moyenne sera bien un code dans l'ordre par série.

Bonjour Alain, bonjour tout le monde,

J'hésitais à me replonger dans ce monumental échange de mai dernier (échange qui totalise à ce jour 26 657 vues, excusez du peu !!).
Ton message m'a incité à le redécouvrir dans son intégralité, souvent en souriant joyeusement-.  :-)

Merci de cette impulsion. 
Bonne journée et bonne semaine à tous.

PS : La présente discussion m'a fait découvrir la notion "d'étoile", que je compte répercuter dans mon document.

Pour revenir à « "cela se voit sur un dessin" d'Eust-4che, je reprends la définition du Barbazo que j'ai citée plus haut :

Cette définition utilise bien l'aspect visuel, n'est-ce pas ?, "au-dessus de" et "en dessous de" étant des critères visuels qui ne sont évidents que si on voit la figure, avec les axes orientés selon la représentation conventionnelle. 
(Note en passant : comme l'un de vous me le faisait remarquer hors ligne, l'antonyme de "au-dessus de" est "au-dessous de".)

Le problème, c'est que ce qui est présenté ici ex abrupto comme une définition est en réalité un critère.

La démarche qui permet, à mon sens, de bien comprendre la logique de la convexité, que j'ai d'ailleurs apprise et comprise grâce à vous — Merci ! —, peut être:

Graphiquement parlant, un ensemble est défini comme "convexe" lorsque tout segment reliant deux points de cet ensemble appartient intégralement à cet ensemble.
Ainsi, l'ensemble représenté par la première figure est convexe ; à l'inverse, l'ensemble représenté par la seconde figure n'est pas convexe :

Une autre définition d'un ensemble convexe est que toute "étoile" formée à partir d'un point quelconque de l'ensemble (le centre de l'étoile) et d'autres points de l'ensemble (les branches de l'étoile) est intégralement incluse dans l'ensemble :

Note : Un ensemble non convexe n'est pas de facto concave.

Parmi tous les segments possibles, des segments particuliers sont des cordes, segments reliant deux points de la courbe délimitant l'ensemble.

Un critère visuel possible permettant de déterminer si une fonction est convexe ou concave est donc :

Dans un repère orienté selon la convention habituelle — axe des abscisses orienté horizontalement de gauche à droite, et axe des ordonnées orienté verticalement du bas vers le haut — une fonction est convexe si toutes les cordes de la courbe représentant la fonction sont au-dessus de la courbe :

Une fonction est concave si toutes les cordes de la courbe représentant la fonction sont au-dessous de la courbe :

Autre critère, toujours avec la même convention de repère : une fonction est convexe si l'intérieur de la courbe représentant la fonction est orienté vers le haut, et une fonction est concave si l'intérieur de la courbe la représentant est orienté vers le bas :

En s'affranchissant de l'orientation du repère, ce dernier critère peut être converti en :
Une fonction est convexe si l'intérieur de la courbe représentant la fonction est orienté vers les valeurs croissantes de l'axe portant le résultat du calcul, et une fonction est concave si l'intérieur de la courbe la représentant est orienté  vers les valeurs décroissantes de l'axe portant le résultat :

On voit donc qu'à partir de deux définitions de base, on peut établir plusieurs critères de fonction convexe ou concave.

PS : Toute amélioration de ce "mini-cours impromptu" est bienvenue.

PPSS : J'aimerais trouver des formulations permettant d'expliquer les critères ci-dessus à un aveugle de naissance — pardon, il faut dire "non voyant" ! —, ayant donc une appréhension floue de "au-dessus de", "au-dessous de ", "vers le haut", "vers le bas"...

Bonsoir,

J'ai l'impression que ma question était idiote.
C'est comme cela qu'il faut interpréter "l'étoile" ?

Compris. « ( l'image vaut ce qu'elle vaut... ) » Mouais...

Pour revenir à l'objet initial de cette discussion, une fonction est convexe si l'intérieur de la courbe qui la représente — "intérieur" au sens de virage, peu importe le sens dans lequel elle est parcourue — est orienté vers les valeurs croissantes de l'axe portant le résultat ; et une fonction est concave si l'intérieur de la courbe représentant la fonction est orienté vers les valeurs décroissantes de l'axe portant le résultat, et ce QUELLE QUE SOIT L'ORIENTATION DES AXES.

Donc, dans les deux figures ci-dessous, dans lesquelles $Ov$ est l'axe portant la variable et $Or$ est l'axe portant le résultat, la fonction représentée par la courbe verte est convexe, et celle représentée par la courbe rouge est concave.

Il n'y a donc plus de $x$, plus de $y$, plus de "vers le haut", plus de "vers le bas", plus de "au-dessus de", plus de "en dessous de" ... !!

C'est donc CETTE définition que je transmettrai dorénavant !
Mais j'expliquerai auparavant ce que sont graphiquement un ensemble convexe et un ensemble concave, et j'expliquerai que le critères des cordes est en fait une réduction de la définition générale.

Je tiens maintenant un processus explicatif cohérent : définition générale --> définition par les cordes ---> intérieur de la courbe orienté "vers le haut" ou "vers le bas" --> intérieur de la courbe orienté vers les valeurs croissantes ou décroissantes du résultat, quelle que soit l'orientation des axes.

PS : Remarquez que la courbe verte est un "virage à droite" lorsque la variable est parcourue dans le sens des valeurs croissantes, et que la courbe rouge est aussi un "virage à droite".

Bonjour Alain Bridgslam,

Pour que je puisse éventuellement leur en parler, il faudrait que je comprenne moi-même, ce qui n'est pas vraiment le cas.
Peux-tu expliquer s'il te plaît ?

PS : Comme tout un chacun a pu le constater au moins une fois dans sa vie, un con vexe souvent son entourage.  :-)

« En passant, épigraphe et hypographe ne me sont pas connus ??? »

Ils ne m'étaient pas connus non plus. Après avoir demandé à Chat de m'expliquer le premier, je me suis dit qu'il devait y avoir un mot pour désigner la partie en dessous de la courbe représentant une fonction. Ce qu'il m'a confirmé en m'indiquant le second.

« Il n'est pas question d'intérieur et d'extérieur. »

J'entends "intérieur ou extérieur d'une courbe" dans le même sens que "intérieur ou extérieur d'un virage".

Bonsoir Michel,

Merci de cet éclaircissement.

Si j'ai bien compris, le premier ensemble (bordure comprise) est convexe, et le second n'est pas convexe :

(J'ai effectivement vu cette notion il y a pas mal de temps, mais comme je ne la pratique pas avec mes élèves de lycée, je l'avais oubliée.)

Un ensemble non convexe est-il de facto concave ?

Bonjour tout le monde,

@Eust-4che :
J'ai pris la peine d'ouvrir ce matin — je suis sorti hier soir — un de mes manuels de Terminale spécialité maths, en l'occurrence celui de la collection Barbazo, programme 2020, chez hachette Éducation.

Oups ! Au temps pour moi !

Je cite :

Je vais donc derechef modifier ce que j'ai écrit dans mon document (alors que j'explique le critère des cordes bien plus loin), et modifier les explications face à mes élèves. (Cela fait longtemps que je ne me suis pas plongé dans un manuel, habitué que je suis à expliquer les cours "à ma façon".)

Par contre, le manuel évoque bien des fonctions convexes ou concaves, et non des ensembles !
Et il se réfère à "en dessous" et à "au-dessus", qui ne sont pas vraiment des notions mathématiques.

Tout au plus, je peux mentionner qu'en Supérieur on voit une autre définition, plus rigoureuse, et expliquer la convexité du volume intérieur d'un saladier ou d'un dôme, voire d'une sphère, même si, vu de l'extérieur, le dôme paraît concave. (De la même façon que la concavité de la courbe $y = -x^2$ est, oui, convexe alors que le courbe est vue comme concave.)
Mais je la présenterai plutôt comme une parenthèse de curiosité qui, à mon sens, n'apportera pas beaucoup à l'élève, si ce n'est de faire comprendre que si elles ne sont pas définies rigoureusement, les notions de convexité et de concavité relèvent de la subjectivité de l'observation.

Pour revenir à ma fonction $f(y) = y^2$, en appliquant la définition ci-dessus à ce repère $(y,x)$, elle est convexe car la portion de la courbe délimitée par une corde quelconque est à gauche de cette corde.

PS :
Je démarrais ma discussion « Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ? » (qui a obtenu le score quelque peu étonnant de 26 439 vues) par
« Une courbe est convexe si l'intérieur de celle-ci (c'est-à-dire sa concavité) est "orientée vers le haut" (ou, du moins, vers les ordonnées croissantes).
Une courbe est concave si sa concavité est "orientée vers la bas" (ou, du moins, vers les ordonnées décroissantes).

Que signifie fondamentalement une fonction convexe ou une fonction concave ?
Est-ce un abus de langage ? »

La réponse était tout simplement dans un de mes manuels de Terminale.   :-)

PPSS :
« La discussion rapportée plus haut laisser penser que l'élève devait être peu perdu face à ce que tu lui demandes. »
L'élève était simplement dérouté par mon approche différente de celle qu'il a vue en classe.

PPPSSS :
@bridgslam : Je te répondrai plus tard, en fonction de mes disponibilités.