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#26 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une régate de 7 courses de 4 bateaux » 17-01-2026 00:12:12
Bonsoir,
Combien de problèmes du défi Turing vas-tu balancer ici ? (il s'agit du problème 176).
Pour couper court une fois pour toute, voici un lien :
Défi Turing.
#27 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Rectangle et droites » 16-01-2026 23:28:50
Bonsoir,
Tu confirmes ce que je soupçonnais :
En déplaçant C sur h on trouve une position où B' est sur la 3ème droite f, d'où solution ...?
Donc via un logiciel de géométrie dynamique, ici GeoGebra, tu "tâtonnes" pour trouver une ou des solutions qui seront tout sauf exactes.
D'ordinaire, je rappelle ce que nos aïeux entendaient avec le verbe "construire". De peur de paraître un peu lourd, je ne l'ai pas fait ici. J'ai eu tort.
Les aïeux en question ne disposaient pas de logiciels de géométrie. Et pourtant, ils parvenaient, quand c'était possible, à des solutions.
Que veux dire "construire" dans ce forum dédié à la belle géométrie ?
Feuille de papier, crayon, règle et compas. Rien d'autre.
[Edit] Ah si : peut-être une gomme ;)
#28 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre "de Rupert" » 16-01-2026 13:23:05
Bonjour à tous,
Dans ce cas de figure il me semble que le centre des différents carrés décrit une droite .
Une droite qu'on peut construire : voir les milieux $I$ et $J$ des segments $[CF]$ et $[DE]$.
Pour chaque centre $O$ de cette droite, on peut aussi construire le carré $A_1A_2A_3A_4$ correspondant via la symétrie centrale de centre $O$.
Ce ne sont que quelques remarques sans prétention ...
#29 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Rectangle et droites » 16-01-2026 13:15:22
Bonjour Bernard-maths,
Je ne comprends pas ta construction. Pourrais-tu la détailler ?
#30 Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Rectangle et droites » 13-01-2026 17:13:56
- cailloux
- Réponses : 17
Bonjour à tous,
Dans une discussion voisine (je pense qu'il inutile de rappeler ce à quoi je fais allusion), j'avais initié un sujet sur lequel je n'avais pas grand chose à dire au départ. J'ai bien vite compris que le problème initial et son annexe dépassaient largement mes compétences. Résultat : on se retrouve avec un sujet "ouvert" qui laisse tout le monde sur sa faim.
À cette occasion, l'ami Imod avait écrit :
... Il serait intéressant de regarder le cas où les intersections forment un rectangle ...
qui m'avait fait penser immédiatement à un autre sujet (qui n'a rien à voir et beaucoup plus simple). Connaissant une solution, je vous le propose ici pour tenter de me rattraper :
On se donne trois droites du plan $D,D_1,D_2$ ainsi qu'un point $A$ fixé sur $D$.
Construire le(s) rectangle(s) $ABCD$ tels que $B\in D_1,\;C\in D,\; D\in D_2$
Discuter.
Vous faites comme vous voulez mais il n'est pas vraiment indispensable de cacher nos interventions.
Amusez-vous, c'est le principal.
#31 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre "de Rupert" » 13-01-2026 00:32:26
Bonsoir,
Plusieurs solutions, c'est désormais certain. Combien ? Je ne me risquerai pas à répondre.
En situation générale (hormis cas exceptionnel), j'en avais repéré 4 : deux construites dans le message 26 et deux autres dont la construction m'échappe pour l'instant.
En initiant ce fil, j'étais très (trop) optimiste : le tétraèdre "de Rupert", j'allais en faire mon affaire en un tournemain avec la descriptive.
Las ! Non seulement j'ai vite déchanté mais le problème annexe (4 droites et les carrés) a débouché sur des difficultés que je n'avais pas vu venir.
Je me suis perdu à plusieurs reprises dans ma propre figure. Un comble !
Bref, sans être totalement découragé, je commence à faiblir ...
#32 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre "de Rupert" » 11-01-2026 17:49:17
Bonjour à tous,
Bernard-maths m'a obligé à manger mon chapeau ! Merci à lui :)
Par négligence/flemme, j'avais écrit dans le message 20 :
- On construit les triangles rectangles isocèles (dans le "bon sens") $DHE$ et $CKF$.
Suite à la dernière figure de Bernard-maths où semble apparaître plusieurs solutions, J'ai tenté d'adapter ma construction en considérant les points $E'$ et $F'$ symétriques de $E$ et $F$ par rapport à $H$ et $K$.
La droite $(E'F')$ coupe $D_1$ en $B_1$ à l'origine d'un second carré solution $B_1B_2B_3B_4$
Il est possible qu'il en existe d'autres (les droites $(EF')$ et $(E'F)$ ne semblent rien donner).
Bref, je savais le problème "difficile" mais c'est encore plus compliqué que je ne le pensais ...
La figure commence à être parfaitement illisible. Je n'ose pas imaginer ce qu'elle pourrait devenir avec d'autres solutions éventuelles ...
En tout cas, l'ami Bernard-maths a le grand mérite d'avoir levé un lièvre, via une exploration logicielle, que j'avais fort malhonnêtement balayé sous le tapis.
#33 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre "de Rupert" » 10-01-2026 14:58:34
Bonjour à tous,
Ma pauvre machine est en toute fin de vie. J'en suis à sauver ce qui peut encore l'être sur un disque dur amovible (Mots de passe, fichiers GeoGebra, autres ... ).
Poster est un calvaire.
Bref, ne vous étonnez pas si je reste silencieux dans un proche avenir.
J'ai repoussé l'échéance trop loin : il faut absolument que j'investisse dans un ordi.
Je vais m'y employer très prochainement. En attendant ...
Amicalement.
#34 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre "de Rupert" » 10-01-2026 13:06:23
Bonjour Bernard-maths,
Mes suppositions (sans certitudes) :
Mais ce qui me chagrine c'est que le carré direct GHIJ que j'ai trouvé manuellement, je ne le retrouve pas avec les calculs ! D'où erreur ? où ?
Il est probable que tu le trouverais avec des calculs relatifs aux autres situations (carré indirect ou $[A_1A_2]$ diagonale)
Dans ton calcul précédent, je suppose que de la manière dont tu l'as mené, tu es tombé sur un quadrilatère croisé (avec deux angles droits). Toi seul, avec ton dessin, peut confirmer ou infirmer ce que je raconte ...
J'ai bien un compte GeoGebra.
La solution idéale est tout de même de "partager" ton fichier GeoGebra via ton compte et de récupérer un lien que tu peux poster ici. C'est ce que je fais régulièrement. Au début il faut un peu tâtonner mais j'ai fini par y arriver.
#35 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre "de Rupert" » 10-01-2026 12:27:39
Bonjour à tous,
Je réponds d'abord à Imod (j'ai les pires difficultés pour poster ...)
Au vu de ta construction , tu sais construire (mais sans preuve ) le centre du carré
Hélas, trois fois hélas, non ! Avec le centre, j'étais sauvé !
Je n'ai fait que construire un des sommets du carré solution :
- On construit $H$ et $K$ (angles droits en $D$ et $C$)
- On construit les triangles rectangles isocèles (dans le "bon sens") $DHE$ et $CKF$.
- La droite $(EF)$ coupe la droite $D_1$ en $A_1$ premier sommet du carré solution.
On en déduit les trois autres sommets facilement.
On peut observer qu'il y a 0, 1 ou une infinité de solutions suivant que la droite $(EF)$ est strictement parallèle, sécante ou confondue avec $D_1$.
Cette construction n'est pas robuste. Elle dépend des circonstances (position relative des 4 droites). C'est en cela qu'elle n'est pas "satisfaisante".
Je ne parle pas des discussions pour que le carré soit inscrit dans le quadrilatère convexe $ABCD$ (où on ne considère plus la droite $(EF)$ mais le segment $[EF]$ : infernal ...)
#36 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre "de Rupert" » 09-01-2026 21:41:56
Bonsoir à tous,
D'abord, Bernard-maths :
Ton lien m'expédie vers un site où il faut s'inscrire, ouvrir un compte : par principe, c'est non.
Je vais te faire néanmoins part de mes "soupçons".
Je change les notations :
Soit 4 droites $D_1,D_2,D_3,D_4$ du plan. On cherche 4 points $A_1,A_2,A_3,A_4$ où $A_1\in D_1,A_2\in D_2,A_3\in D_3,A_4\in D_4$ tels que ces 4 points forment un carré.
Tu pars d'un carré direct $A_1A_2A_3A_4$
En situation générale, ce carré est unique. Rien n'assure qu'il soit direct.
Pire : il est possible qu'il s'agisse du carré $A_1A_3A_2A_4$ (direct ou indirect) où le segment $[A_1A_2]$ est une diagonale.
Dans ce cas, les calculs sont entièrement différents.
Toujours en situation générale (non exceptionnelle) les calculs doivent envisager toutes ces situations.
Et bien sûr, le retour dont je parlais plus haut est absolument nécessaire : en clair, aboutir à une construction (règle et compas). Nos aïeux ne disposaient pas de logiciels de géométrie dynamique pour faire joujou ...
#37 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre "de Rupert" » 09-01-2026 15:42:50
Excuse mes retards : mon écran est lézardé avec une vilaine tache noire qui prend des proportions inquiétantes. Qui plus est, mon disque dur est vérolé (plantages à répétitions, je mets deux heures à poster un misérable message). Il faut absolument que j'investisse ...
Quand je clique sur ton lien, je n'obtiens qu'une feuille de travail GeoGebra ... vide.
Ce qui m'intéresse :
-Les équations des 4 droites que tu as utilisées pour vérification.
-Les 4 points $P,Q,R,S$ obtenus par calculs qui ne semblent pas être les sommets d'un carré.
-Le fichier GeoGebra correspondant (au pire sous forme d'une image si tu n'arrives pas à poster un lien direct).
Ceci dans le but de confirmer certains soupçons dont je ne manquerai pas de faire état dans un prochain message.
#38 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre "de Rupert" » 09-01-2026 13:14:24
Bonjour Bernard-maths,
J'ai bien compris le principe et il est fort possible qu'il n'y ait pas d'erreurs de calcul mais j'ai quelques remarques que je posterai plus tard.
Auparavant, pourrais-tu préciser ceci :
MAIS j'ai du faire une erreur quelque part, car le résultat est faux !!!
J'imagine que tu as utilisé GeoGebra où tu as rentré 4 droites via leurs équations du type $y=ax+b$ puis les sommets calculés du carré censé être solution.
Peux-tu nous donner les équations des 4 droites, et la figure GeoGebra obtenue via tes calculs (avec 4 sommets qui ne forment pas un carré) ?
#39 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre "de Rupert" » 08-01-2026 15:06:49
Bonjour à tous et merci à vous deux : je me sens moins seul ...
>>Imod Curieusement (Bac C 73) j'ai subi de pleins fouet la réforme "Maths modernes" et je n'ai jamais entendu parler de la Géométrie de grand papa pendant mes études. Je ne m'y suis mis que (beaucoup) plus tard et la discipline m'a plu.
Si mes élucubrations géométriques peuvent intéresser ne serait-ce qu'un quidam qui passe ici et l'inciter à approfondir la matière, je serai pleinement satisfait.
>> Bernard-maths J'ai du mal à te comprendre :
Et hop, ça y est, non ???
Tu avoueras que c'est un peu court ...
En Géométrie, les calculs sont souvent nécessaires. Mais ils faut qu'ils aboutissent ! Autrement dit, tu dois mettre les mains dans le cambouis pour convaincre ton auditoire.
Et pas que : tous calculs faits, il faut les interpréter géométriquement et revenir à la figure pour en déduire (ici) une construction.
C'est cette étape (la plus difficile) qui est souvent ignorée.
Ce sont ces aller-retours permanents entre calculs et figures qui sont l'âme de la "belle Géométrie".
#40 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre "de Rupert" » 06-01-2026 18:37:44
Bonsoir,
Très franchement, je pensais prêcher dans un désert géométrique qui est aujourd'hui notre quotidien.
Grand merci à Bernard-maths pour sa réaction fût-elle numérotée "zéro".
Je suppose que ceux qui ont eu le courage de cliquer sur le lien sont convaincus que je tiens une "construction".
Alambiquée et un tantinet obscure, elle n'est pas très satisfaisante.
Une piste que j'ai tenté d'explorer :
Si on appelle $P$ le plan plus ou moins euclidien et $O$ le centre du carré solution, on peut chercher à préciser l’application $f:\,P^4\rightarrow P$ définie par $f(A,B,C,D)=O$.
Si on tient $f$, on tient tout le reste.
Pour l'instant, j'ai totalement échoué ...
#41 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre "de Rupert" » 06-01-2026 15:51:18
Bonjour à tous,
Je fais remonter une dernière fois ce sujet. On oublie le tétraèdre "de Rupert" pour se concentrer sur la question que je reformule ici sous une forme moins contraignante :
On se donne 4 droites du plan. Construire un carré dont les sommets appartiennent à chacune des 4 droites.
Je vous vois venir : "le vieux filou a commencé par le carré".
Non, non, pour vous en convaincre, voici un lien où on peut "bouger" (dans certaines limites) les 4 points $A,B,C,D$ :
https://www.geogebra.org/m/s5wbtxeg
Je vous avoue que j'en suis encore au stade "recherche". Les "discussions" sont difficiles ...
#42 Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre "de Rupert" » 02-01-2026 15:15:19
- cailloux
- Réponses : 42
Bonjour à tous,
Le problème Tétraèdre vs cube initié par jpp est relativement simple dans la mesure où on est amené à inscrire un carré dans un hexagone, carré et hexagone ayant même "centre".
La solution optimale a été découverte par Nieuwland en 1794.
Notre ami Imod avait, à cette occasion, publié le lien suivant :
Cube de Rupert
où on peut lire :
Autres polyèdres
Le cube n'est pas le seul solide pouvant passer à travers un trou pratiqué dans une copie de lui-même. Par définition, un polyèdre $P$ possède la propriété de Rupert si un autre polyèdre de la même forme et de la même taille que $P$ peut passer à travers un trou dans $P$.
Cette propriété est valable pour tous les polyèdres réguliers. La preuve pour le tétraèdre et l'octaèdre réguliers a été donnée en 1968.
J'ai tenté l'affaire pour le tétraèdre régulier en me posant la question suivante :
Quelle est l'arête maximale d'un tétraèdre régulier qui peut traverser un tétraèdre régulier d'arête unité.
Il semble que le problème soit beaucoup plus délicat que pour le cube. Entre autres, si on envisage le cas particulier où la section du "trou" est un carré, on est amené à cette construction :
Construire (règle et compas) un carré inscrit dans un quadrilatère convexe donné.
Condition(s) sur ce quadrilatère pour que ce carré existe.
C'est pour l'instant cette dernière question que je vous soumets.
#43 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre vs cube. » 28-12-2025 14:32:28
Bonjour Imod,
Ce que j'ai compris relativement à l'article Wiki que tu as publié :
Il ne tient pas compte de l'ordre chronologique des choses. La première partie "Solution" et la perspective font état de la solution optimisée par Pieter Nieuwland où le trou est une section carrée de côté $\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$, ses diagonales de longueur $\dfrac{3}{2}$ représentant l'arête du tétraèdre régulier "maximal" traversant le cube d'arête 1. Les 12 directions possibles du trou sont définies par les vecteurs dont j'ai parlé au message 50. C'est la situation décrite dans ce fil.
La situation originale de Rupert est un trou "moins bon" de section carrée de côté $\sqrt{6}-\sqrt{2}$, les 4 directions possibles étant les grandes diagonales du cube. L'arête du tétraèdre régulier "maximal" traversant le cube unité vaut dans cette situation $2\sqrt{3}-2\approx 1.464$
Voici cette situation en descriptive où on peut remarquer en magenta l'hexagone régulier projection de la figure sur un plan d'équation $x-y+z+d=0$ (normale = direction d'une des grandes diagonales) et le rapport $\dfrac{ab}{AB}=2\sqrt{3}-2$
#44 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre vs cube. » 27-12-2025 13:46:38
Bonjour Bernard-maths,
Par la même section carrée, on peut faire passer un cube, mais aussi tout ce qui est contenu dans le cube, un tétraèdre par exemple.
Tu as la bonne "vision" ! :)
Quelques précisions (peut-être superflues) :
Les directions du "trou" sont, pour un cube $ABCDEFGH$ et le repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$, les vecteurs $\overrightarrow{u}(a,b,c)$ où il y a deux nombres 2 et un nombre 1 parmi $a,b,c$, l'un de ces nombres étant affecté ou non d'un signe "-". Par exemple $(2,1,2)$ ou $(-2,1,2)$.
Il y en a 12 : ce n'est plus de la géométrie mais du dénombrement.
#45 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre vs cube. » 26-12-2025 21:14:07
Bonsoir,
Ah! Je ne connaissais pas. En effet très similaire. Merci pour le lien et très bonnes fêtes ! :)
#46 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre vs cube. » 26-12-2025 12:31:27
Bonjour,
Le tétraèdre n'est jamais contenu entièrement dans le cube. Comme indiqué dans l'énoncé, il ne fait que le traverser via un "trou".
Une nouvelle figure où sont indiqués par une flèche le sommet du tétraèdre et le sommet du cube qu'on peut modifier dans le lien en fin de message :
Cube et tétraèdre
#47 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre vs cube. » 25-12-2025 16:25:32
Bonjour,
Je savais que ça allait être une galère : je n'ai pas été déçu ...
Le pire est qu'en respectant certains canons de la perspective, la figure devient difficilement lisible.
Ainsi la section du "trou" bleu à gauche de la figure est un carré.
Malgré ses défauts je publie tout de même :
Joyeux Noël à tous !
#48 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre vs cube. » 24-12-2025 23:06:29
Là, je me sens très seul ... et un peu désemparé.
Que dire si ce n'est que nous n'avons pas la même "vision" ?
En tout état de cause, reste le principal :
Joyeux Noël à toi ! :)
#49 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre vs cube. » 24-12-2025 18:53:59
Bonsoir,
Un hasard malencontreux a fait que deux sommets du carré semblent figurer aux milieux de deux arêtes du cube sur ma dernière figure.
Dans cette situation, on est effectivement pas très loin de $\sqrt{2}$ pour l'arête du tétraèdre.
Mais ce n'était qu'un exemple. En voici un autre où l'arête du tétraèdre est nettement supérieure à $\sqrt{2}$
Bon, je n'ai pas encore trouvé le courage de m'attaquer à la "perspective édifiante (coton)" mais je ne désarme pas ... :)
#50 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Tétraèdre vs cube. » 24-12-2025 15:41:28
Bonjour,
Quelques minuscules critiques relatives au message 31 de jpp :
On admet donc, ce qui n'a rien d'évident, que la section optimale du trou est un carré.
Le cube projeté sur un plan via deux rotations axiales détermine la direction de l'axe du trou par rapport au cube.
Il y a là un à priori que rien ne justifie. En toute circonstance, il existe toujours un carré inscrit dans le contour apparent du cube projeté.
Pour s'en convaincre, il suffit de jeter un œil au lien posté dans le message 25 et de "bouger" les points $H$ et $F$.
Voici par exemple une situation avec une autre direction de trou :
Il n'y a aucune divine raison pour privilégier la direction choisie par jpp.