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Bonjour à tous,
J’aimerais avoir un éclaircissement sur cet exercice pour pouvoir l’aborder.
Merci pour vos réponses.
Voici l’énoncé :

Dans tout cet exercice, on considère le R-espace vectoriel R3[X] des polynômes formels
à coefficients réels de degré ≤ 3, et on note a1, a2, a3 et a4 quatre nombres réels distincts deux à deux.
Etant donné deux nombres réels a et b, on définit le symbole de Kron,ecker δa,b par δa,b =1 si a=b, et δa,b =0 si a différent b.
Pour i ∈ {1, 2, 3, 4}, on note Pi(X) le polynôme:

P_i( X ) =  ((Produit j = 1 à 4, j diff i) (X − a_j))/((Produit j = 1 à 4, j diff i) ( a_i− a_j)).

i. Expliciter P1(X). Calculer P1(a1), P1(a2), P1(a3) et P1(a4). Pour j ∈ {1, 2, 3, 4}, exprimer P1(aj) en utilisant le symbole de Kron,ecker.
ii. Plus généralement, exprimer Pi(aj) en utilisant le symbole de Kron,ecker.
iii. On considère quatre nombres réels b1, b2, b3 et b4. Trouver une combinaison linéaire
Q(X) des polynômes Pi(X) telle que
Q(aj) = bj, pour tout j ∈ {1,2,3,4} (∗) .
iv. Soit R(X) un polynôme de R3[X] vérifiant également la condition (∗) : R(aj) = bj, pour tout j ∈ {1,2,3,4} .
Que vaut le polynôme Q(X)−R(X) en chacun des aj ? En déduire Q(X)−R(X).
v. Grâce à ce qui précède, montrer que Q est l’unique polynôme de R3[X] vérifiant
la condition (∗).

Ps: J’ai déformé « Kron,ecker » exprès pour sa validation

Bonjour,
En travaillant sur les séries de fonctions, je suis tombé sur un cas que j’ai un peu de mal à aborder voici l’énoncé:

Soit a>0 un réel strictement positif. Soit phi: [-a,a] -> R une fonction continue sur [-a,a] qui vérifie : il existe une constante C>0 telle que pour tout x€[-a,a], |phi|<=C|x|. L’objectif de l’exercice est de déterminer les fonctions f: [-a,a] -> R telles que f(0) =0 et vérifiant la relation :
Pourtout x [-a,a], f(x)-f(x/2) =phi(x)   (E)

1) montrer que la série de fonction \sum phi (x/2^n) est normalement convergente sur [-a,a]. On note f la somme de cette série.
2) montrer que f est continue, que f(0) =0, et que f vérifie la relation (E).
3) montrer que f est l’unique solution de (E) vérifiant f(0) =0.
4) on suppose de plus que phi est dérivable sur [-a,a] et que sa dérivée est bornée sur [-a,a]. Montrer que f est dérivable sur [-a,a].

Merci pour votre aide.