Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Le cylindre est opaque? Si oui, il faut faire varier [tex]\theta[/tex] entre [tex]-\frac{\pi}{2}[/tex] et [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] pour un détecteur à l'infini.

Dans le cas d'un détecteur à l'infini, un point à l'angle [tex]\theta[/tex] traverse [tex]\sqrt{(R+D)^2-R^2sin^2(\theta)}-Rcos(\theta)[/tex] (pythagore). On intègre pour z entre 0 et h et pour [tex]\theta[/tex] entre [tex]-\frac{\pi}{2}[/tex] et [tex]\frac{\pi}{2}[/tex].

Vous pouvez ensuite donner l'intégrale à un logiciel de calcul formel comme Maxima. Le site de Wolfram alpha peut également intégrer pour vous...

Bonjour David,

Il y une bijection entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées cylindriques. Vous disposez des relations suivantes :

[tex]x^2+y^2=r^2[/tex]
[tex]x=r cos( \theta )[/tex]
[tex]y=r sin( \theta )[/tex]

Vous pouvez facilement isoler [tex]cos( \theta )[/tex] en divisant la deuxième équation par [tex]r[/tex] puis en injectant la racine carrée de la première équation.

Cordialement,
MathRack

Bonjour,

Je pense que la méthode la plus simple et la plus robuste est la suivante :
  1 - Relier tous les milieux de mois par des segments (on pourra décréter le 15 de chaque mois comme milieu)
  2 - Pour le premier mois, prolonger le segment jusqu'au début du mois
  3 - Idem pour le dernier mais prolongement vers la fin

De cette manière, vous évitez un écueil : la valeur choisie pour le premier jour du mois qui était arbitraire.

Si vous souhaitez éviter les ruptures de pente entre les segments, comme indiqué par totomm, il faut remplacer les segments (polynôme d'ordre 1) par des polynômes d'ordre 3.

Je pense que vous pouvez adapter mon fichier excel pour implémenter cette méthode. L'algorithme devrait ressembler à ça :
- Moyenne mois [tex]M_i[/tex]
- Moyenne mois+1 [tex]M_{i+1}[/tex]
- [tex]N_i[/tex] jours entre le 15 du mois [tex]i[/tex] et le 15 du mois [tex]i+1[/tex]

Droite reliant les moyennes : [tex]y_i(x) = \frac{M_{i+1}-M_i}{N_i-1} * (x-1) + M_i[/tex], avec [tex]x[/tex] qui vaut 1 le 15 du premier mois et [tex]N_i[/tex] le 15 du mois suivant. Pour [tex]x \lt 1[/tex], on prolonge le premier mois en amont et pour [tex]x \gt N_i[/tex], on prolonge le dernier mois en aval.

Cordialement, MathRack

EDIT : Josse34, vous pouvez effectivement projeter vos données sur une base de cosinus ou de sinus. Mais il faut être prudent lorsqu'on interpole une fonction, on rencontre parfois des oscillations : http://fr.wikipedia.org/wiki/Ph%C3%A9no … e_de_Runge

Bonjour,

Ci-dessous un petit raisonnement étalé sur 3 mois, facilement extensible sur une année, basé sur des interpolations linéaires.

Mois : [tex]A, B, C[/tex]
Nombre de jours/mois : [tex]N_a, N_b, N_c[/tex]
Somme mois : [tex]S_a, S_b, S_c[/tex]
Valeur journalières : [tex]A_i, B_i, C_i[/tex], [tex]i \gt 0[/tex]

On a des splines : [tex]A_i=\alpha_a i + \beta_a[/tex], [tex]B_i=\alpha_b i + \beta_b[/tex], [tex]C_i=\alpha_c i + \beta_c[/tex]

On a une contrainte de continuité : [tex]A_{N_a+0.5}=B_{0.5}[/tex] et [tex]B_{N_b+0.5}=C_{0.5}[/tex]

Elles équivalent respectivement à [tex]\alpha_a (N_a+0.5) + \beta_a =0.5 \alpha_b + \beta_b[/tex] et [tex]\alpha_b (N_b+0.5) + \beta_b =0.5 \alpha_c + \beta_c[/tex].

On a également une contrainte sur les sommes : [tex]\alpha_a (N_a) + \beta_a =S_a[/tex], [tex]\alpha_b (N_b) + \beta_b =S_b[/tex], [tex]\alpha_c (N_c) + \beta_c =S_c[/tex].

Par exemple, pour les 3 premiers mois donnés : résoudre système

Vous remarquerez qu'il faut rajouter une condition pour que la solution du système soit unique. On pourra par exemple imposer une valeur fin mars pour y remédier (il suffit d'ajouter une ligne c*(31+0.5)+d=0.5*(130+150) ). Vous pouvez pondérer la valeur en fin de mois par le nombre de jours dans chaque mois...

Dans le lien donné, [tex]x=\alpha_a[/tex], [tex]y=\beta_a[/tex], [tex]a=\alpha_b[/tex], [tex]b=\beta_b[/tex], [tex]c=\alpha_c[/tex] et [tex]d=\beta_c[/tex].

Cordialement, MathRack

EDIT : Excel dispose de fonctions permettant d'inverser des systèmes linéaires. Je ne suis pas spécialiste, mais il me semble que la fonction inversemat peut inverser une matrice et que la fonction produitmat peut calculer un produit matrice-vecteur

Bonjour,

Il faut utiliser la relation [tex]x_1 = r cos(\theta)[/tex], [tex]x_2 = r sin(\theta)[/tex] et [tex]u^r(r,z,t) = \sqrt{u_1^2+u_2^2}[/tex]. Par exemple pour développer [tex]\left( \frac{u^r}{r} \right)^2[/tex]

MathRack

Petit retour sur le post 2 : L'espérance de "n'avoir que des pile" est de [tex]\frac{1-p}{p^2}[/tex]. Comment peut-on en déduire l'espérance de "Avoir au moins une fois face"? (ajouter 1 n'est pas très rigoureux)

Pour le cas r=2 :
  - 1 jet, probabilité d'avoir 2 face = 0
  - 2 jets, probabilité d'avoir 2 face = p² ( cas PP )
  - 3 jets, probabilité d'avoir 2 face = probabilité 1 fois pile PUIS 2 fois face = [tex]\frac{(1-p)p^2}{3}[/tex] ( cas FPP )

Le cas PPF ne doit pas intervenir dans la probabilité à 3 jets car il est déjà compté dans la probabilité à 2 jets. Les évènements "obtenir 1 fois pile PUIS 2 fois face" et "obtenir 1 fois pile ET 2 fois face" sont différents et n'ont pas la même probabilité:

P("obtenir 1 fois pile ET 2 fois face") = (1-p)p² ( PFF ou FPF ou FFP )

P("obtenir 1 fois pile PUIS 2 fois face") = (1-p)p² / 3 ( PFF seulement)

Il faut faire attention au vocabulaire. Quel évènement correspond à la "probabilité de 3 jets" pour toi?

MathRack

Bonjour,

Il y a peut-être moyen de s'en sortir en se basant sur la définition de l'espérance :
[tex]E(X)=\sum_{i=1}^{\infty} X_i P_i[/tex]

Pour [tex]i \leq r-1 \mbox{, } P_i=0[/tex].
Pour [tex]i=r \mbox{, } P_i = p^r \mbox{ et } X_i=r[/tex]

Ensuite, ça se complique...

Pour [tex]i=r+1 \mbox{, } P_i = \frac{1-p}{r+1} P_r \mbox{ et } X_i=r+1[/tex] ? (si on a 1 face et r pile, il n'y a qu'une configuration sur les r+1 où face tombe avant tous les pile)

Pour [tex]i=r+2 \mbox{, } P_i = \frac{p(1-p)}{2(r+2)(r+1)}P_r+\frac{1-p}{r+2} P_{r+1} \mbox{ et } X_i=r+2[/tex] ?

Il faut peut-être une récurrence sur i pour continuer, c'est pas trivial, le dénominateur a l'air d'un coefficient binomial...

Dans le cas [tex]r=1[/tex], le contraire c'est d'avoir que des tirages face et on retrouve une série entière :
[tex]E(X)=1 + \sum_{n=1}^{\infty} n (1-p)^n = 1 + \frac{1-p}{p^2}[/tex]

MathRack

Bonjour à tous,

Tout à fait, c'est la dérivée seconde en temps qui amène une pulsation au carré ([tex]-mk^2 \Longleftrightarrow m \partial_t^2[/tex]).

Sur le problème masse-ressort, on peut connecter la pulsation propre à une valeur propre :

[tex]\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \partial_t x \\ \partial_t^2 x \end{array} \right)  = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\frac{a}{m} & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ \partial_t x \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ \frac{f(t)}{m} \end{array} \right)[/tex]

On peut regarder les valeurs propres de la matrice de raideur :

[tex]det \left[ \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\frac{a}{m} & 0 \end{array} \right) - \lambda Id \right] = 0[/tex]

Et on trouve [tex]\lambda ^2 +\frac{a}{m} = 0[/tex]... (La valeur propre est imaginaire pure car le système est un oscillateur sans amortissement)

En général on essaie d'éviter les résonances car ça amène des comportements non-linéaires / instables. L'histoire du pont de Tacoma illustre bien les propos de Yoshi : http://fr.wikipedia.org/wiki/Tacoma_Narrows_Bridge

Cordialement,
MathRack

Bien entendu : mathrack.bibmath_@_gmail.com

Cordialement,
MathRack

Je te confirme que la condition initiale suivante :

Te donnes un tableau de taille 2n+2 qui est l'enveloppe d'une gaussienne sur [tex][-0.5L,0.5L][/tex].

Mais il faut faire attention car le tableau U est la condition initiale pour les variables [tex]\zeta[/tex] et [tex]u[/tex]. La première moitié du tableau (1 à n+1) correspond à [tex]\zeta[/tex] et la deuxième moitié (n+2 à 2n+2) à [tex]u[/tex]. En utilisant cette condition initiale, tes variables [tex]\zeta[/tex] et [tex]u[/tex] ne sont pas périodiques!!! Je pense que c'est un peu maladroit d'appeler ta condition initiale U car c'est la condition initiale pour tes 2 variables...

Re,

1 - Dans le programme principal, tu as :
abcs = i * dx - l/2.D0
Tu souhaites donc que la variable abcs couvre un intervalle qui commence après xdeb et termine après xfin?

2 - La gaussienne utilisée comme condition initiale c'est un peu embêtant :
      - la fonction est bien périodique, même valeur en x=-5 et x=5 car elle est paire
      - la dérivée première n'est pas périodique car elle est impaire
Donc la condition initiale est continue, dérivable mais la dérivée première n'est pas continue. Et dans l'EDP, il y a des dérivées 2 & 3...

3 - Si on pose u=0, la première équation du système montre que [tex]\zeta[/tex] ne va pas dépendre du temps. La deuxième équation du système donne :
[tex]0 = g \partial_x \left( \zeta - \frac{h^2}{3}\left( \alpha - 1 \right) \partial_{xx} \zeta\right)[/tex]

On trouve [tex]\zeta = constante[/tex] si [tex]\alpha=1[/tex]. Si non, en fonction du signe de [tex]\alpha-1[/tex], on trouve des solutions en cos & sin ou cosh & sinh.

Je te conseille d'essayer une condition initiale avec u=0 et un [tex]\zeta[/tex] en cos & sin. Normalement, la solution doit rester constante (aux erreur d'arrondi près). Si ça marche le bloc supérieur gauche des matrices est bien codé. Attention : ton programme doit adapter la longueur du domaine numérique à la période des solutions en cos & sin.

MathRack