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Merci, s'il vous plait on a toujours que l'ensemble de point d'accumulation d'un ensemble défini par une suite est réduit à la limite de la suite ?

Oui 'est vrai si c'est juste uniquement dans le cas ou [tex]x-\varepsilon<0[/tex] , je ne sais plus comment définir les ouverts de [tex]\mathbb{R}_+[/tex], il faut peut etre distinguer 2 cas [tex]x-\varepsilon<0[/tex] et [tex]x-\varepsilon\geq 0[/tex]

pourquoi [tex]]x-\varepsilon,x+\varepsilon[[/tex] puisqu'on est sur [tex]\mathbb{R}_+[/tex] , s'il vous plait ?

on a toujours que l'ensemble de point d'accumulation d'un ensemble défini par une suite est réduit à la limite de la suite ?

Ah donc A contient la limite de sa suite donc il est fermé c'est ça ?

mais je ne comprend pas pour quoi on montre que A est compact pour répondre à la première question ? c'est pour la 2éme !

Pour [tex]\overline{B} =B\cup\{1\}[/tex] où [tex]1=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n+1}[/tex].

Borel-Lebesgue: de tout recouvrement on peut extraire un sous recouvrement finie mais je ne sais pas comment ?

Merci.

On a définit un produit fini c'est tout .

Mais dans le livre ou il y a l'exercice en question, c'est uniquement lorsqu'il parle d’intérieur de produit qu'il précise que [tex]I=\{1,...,n\}[/tex]

Voila comment c'est démontré dan le livre:

On a [tex]\Pi_{i\in I} \overline{A_i}=\cap_{i\in I} F_i[/tex] où [tex]F_i=\Pi_{j\in I} B_j[/tex] avec [tex]B_i=\overline{A_i}[/tex] et [tex]B_j=E_j[/tex] si [tex]j\neq i[/tex]. On a [tex]E\setminus F_i=\Pi_{j\in I} U_j[/tex] avec [tex]U_i=E_i\setminus \overline{A_i}[/tex] et [tex]U_j=E_j[/tex] si [tex]j\neq i[/tex]. Donc [tex]E\setminus F_i[/tex] est ouvert dans [tex]E[/tex]. Par conséquent, [tex]F_i[/tex] est fermé dans [tex]E[/tex], d'où [tex]\Pi_{i\in I} \overline{A_i}[/tex] est un fermé de [tex] E[/tex] contenant [tex]A[/tex]. Donc on a [tex]\overline{A}\subset \Pi_{i\in I} \overline{A_i}[/tex].
Réciproquement, soient [tex]x=(x_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} \overline{A_i}[/tex] et [tex]U=\Pi_{i\in I} U_i[/tex] un ouvert élémentaire de [tex] E[/tex] contenant [tex]x[/tex]. Pour tout [tex]i\in I , U_i[/tex] est un ouvert de [tex]X_i[/tex] et il existe un sous-ensemble fini [tex]J[/tex] de [tex]I[/tex] tel que pour tout [tex]i\in I\setminus J[/tex], on ait [tex]U_i=E_i[/tex]. Pour tout [tex]i\in I[/tex], on a [tex]x_i\in \overline{A_i}\cap U_i,[/tex] alors il existe [tex]a_i\in A_i\cap U_i[/tex], d'où [tex]a=(a_i)_{i\in I}\in A\cap U[/tex]. Donc on a [tex]A\cap U\neq\emptyset.[/tex] Par conséquent, on a [tex]x\in \overline{A},[/tex] d'où [tex]\overline{A}=\Pi_{i\in I}\overline{A_i}.[/tex]

Je n'ai rien compris  a cette preuve, pouvez vous me l'expliquer s'il vous plait ?

Merci

Ok pour montrer que [tex]\overline{A_1\times A_2}=\overline{A_1}\times \overline{A_2}[/tex]

Soit [tex]X=(x,y)\in \overline{A_1\times A_2}\\ [/tex]:
[tex](x,y)\in \overline{A_1\times A_2}\Longleftrightarrow\forall V_X\in \mathcal{V}_X, V \cap(A_1\times A_2)\neq \emptyset\\ \Longleftrightarrow \forall V_1\in \mathcal{V}_x, \forall V_2\in \mathcal{V}_y, (V_1\times V_2)\cap (A_1\times A_2)\neq \emptyset\\ \Longleftrightarrow \forall V_1\in \mathcal{V}_x, \forall V_2\in \mathcal{V}_y, (V_1 \cap A_1)\times (V_2\cap A_2)\neq \emptyset\\ \Longleftrightarrow \forall V_1\in \mathcal{V}_x, \forall V_2\in \mathcal{V}_y, (V_1 \cap A_1)\neq\emptyset ~\text{et}~\times (V_2\cap A_2)\neq \emptyset [/tex]

Arrivé jusqu’à la est ce que je peux pas dire que : [tex]\Longleftrightarrow \forall V_1\in \mathcal{V}_x,  (V_1 \cap A_1)\neq\emptyset ~\text{et}~\forall V_2\in \mathcal{V}_y (V_2\cap A_2)\neq \emptyset[/tex] et conclure que [tex]X\in \overline{A_1}\times\overline{A_2}[/tex]

Inversement

[tex] X\in \overline{A_1}\times \overline{A_2} \Rightarrow x\in \overline{A_1}~ \text{et}~ y\in \overline{A_2} \\ \Rightarrow \forall V_1\in \mathcal{V}_x, V_1\cap A_1\neq \emptyset ~\text{et}~ \forall V_2\in\mathcal{V}_y, V_2\cap A_2\neq \emptyset[/tex]

est ce que je peut dire [tex]\Rightarrow  \forall V_1\in \mathcal{V}_x, \forall V_2\in\mathcal{V}_y, (V_1\cap A_1)\times (V_2\cap A_2)\neq \emptyset[/tex]

Merci

Merci beaucoup Mr Fred

Bonjour,

1 implique 2:

j'ai que [tex]V\in \mathcal{V_x}[/tex], veut dire que [tex]\exists O\in \theta, x\in O\subset V[/tex]

Je suppose que 1) est vérifié et je dis soit O\in \theta tel que x\in O, O est un ouvert qui contient x donc O est voisinage de x comme 1) est satisfaite pour tout voisinage donc elle est vérifiée  pour les voisinages ouverts.

2 implique 3:
[tex]B[/tex] est une base si tout élément de [tex]\theta[/tex] s'écrit sous forme d'union d'éléments de [tex]B[/tex]

Un élément de B est un ouvert , si 2) est vérifié pour tous les ouverts content x  alors elle est vérifiée pour les éléments de B qui contiennent x

3 implique 1 : normalement si les petits ouverts de [tex]B[/tex] qui contiennent x cous A alors n'importe que [tex]V[/tex] qui contient cet ouvert vérifie aussi  , mais je ne suis pas sure de comment l’écrire.

Merci

donc que l'on enlève y ou pas c'est pareil[tex] W \cap A=\emptyset[/tex] car [tex]x\notin W[/tex]

Mais lorsque je prend y de [tex]V\setminus\{x\}[/tex], y n'appartient pas forcément à A  donc pourquoi [tex]W\cap A=\{x\}[/tex]

ca veut dire que [tex]V\cap A=\{x,y\}[/tex] ?

Merci

Bonsoir, j'ai une petite question pourquoi on a que [tex]W_2\setminus\{y\}\cap A=\emptyset[/tex]