Forum de mathématiques - Bibm@th.net

J'ai un peu bossé sur la solution de Freddy : dans le principe, c'est très voisin de ce qu'a proposé Yoshi, par contre, avec un logiciel de calcul symbolique comme wxmaxima, on peut très facilement trouver les solutions au problème posé, alors que la solution de Yoshi / Roro doit être plus difficile à faire tourner (ne serait-ce que parce qu'à l'étape k (somme des i^k), il faut connaître toutes les sommes précédentes).
Ca marche effectivement, pour les carrés, les cubes, mais aussi n'importe quelle puissance k :

On définit l'équation globale suivante :
[tex]
P\left( x+1\right) -P\left( x\right) ={x}^{k}
[/tex]

On détermine le polynôme solution par développement (le binôme tourne à plein régime) et identification (calculs très lourds à la main dès que k dépasse 3 ou 4…)
On calcule les 2 membres de l'égalité pour x = {1, 2, 3…, n}
On somme membre à membre toutes ces égalités et il ne reste plus que :
[tex]
P\left( n+1\right) -P\left( 1\right) =\sum_{i=1}^{n}{i}^{k}
[/tex]

Ce nouveau polynôme P(n+1)-P(1) qu'il faut bien entendu développer et réduire donne notre somme quel que soit n => cqfd

En TP, j'ai calculé le cas k=9 que je n'avais pas pu faire par régression avec Octave.
Merci à wxmaxima. J'ai utilisé une méthode bourrin car je connais mal ce logiciel. Mais je pense qu'il doit y avoir des fonctions polynômes qui pourraient permettre d'écrire un script universel.
On définit le polynôme de degré 10 :
p(x):=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+a4*x^4+a5*x^5+a6*x^6+a7*x^7+a8*x^8+a9*x^9+a10*x^10;
[tex]
p\left( x\right) :=a0+a1\,x+a2\,{x}^{2}+a3\,{x}^{3}+a4\,{x}^{4}+a5\,{x}^{5}+a6\,{x}^{6}+a7\,{x}^{7}+a8\,{x}^{8}+a9\,{x}^{9}+a10\,{x}^{10}
[/tex]

On développe l'équation magique :
p(x+1)-p(x)-x^9=0,ratsimp;
[tex]
\left( 10\,a10-1\right) \,{x}^{9}+\left( 9\,a9+45\,a10\right) \,{x}^{8}+\left( 36\,a9+8\,a8+120\,a10\right) \,{x}^{7}+\left( 84\,a9+28\,a8+7\,a7+210\,a10\right) \,{x}^{6}+\left( 126\,a9+56\,a8+21\,a7+6\,a6+252\,a10\right) \,{x}^{5}
[/tex]
[tex]
+\left( 126\,a9+70\,a8+35\,a7+15\,a6+5\,a5+210\,a10\right) \,{x}^{4}+\left( 84\,a9+56\,a8+35\,a7+20\,a6+10\,a5+4\,a4+120\,a10\right) \,{x}^{3}
[/tex]
[tex]
+\left( 36\,a9+28\,a8+21\,a7+15\,a6+10\,a5+6\,a4+3\,a3+45\,a10\right) \,{x}^{2}+\left( 9\,a9+8\,a8+7\,a7+6\,a6+5\,a5+4\,a4+3\,a3+2\,a2+10\,a10\right) \,x
[/tex]
[tex]
+a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a10+a1=0
[/tex]

Par identification du polynôme avec le polynôme nul, on récupère un système de 9 équations à 9 inconnues (le terme a0 se simplifie et donc n'intervient pas dans les calculs) :
e10:(10*a10-1)=0;
e9:(9*a9+45*a10)=0;
e8:(36*a9+8*a8+120*a10)=0;
e7:(84*a9+28*a8+7*a7+210*a10)=0;
e6:(126*a9+56*a8+21*a7+6*a6+252*a10)=0;
e5:(126*a9+70*a8+35*a7+15*a6+5*a5+210*a10)=0;
e4:(84*a9+56*a8+35*a7+20*a6+10*a5+4*a4+120*a10)=0;
e3:(36*a9+28*a8+21*a7+15*a6+10*a5+6*a4+3*a3+45*a10)=0;
e2:(9*a9+8*a8+7*a7+6*a6+5*a5+4*a4+3*a3+2*a2+10*a10)=0;
e1:a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a10+a1=0;

La résolution du système va affecter les valeurs trouvées aux variables ai
globalsolve:1;

On résoud le système  :
solve([e10,e9,e8,e7,e6,e5,e4,e3,e2,e1],[a10,a9,a8,a7,a6,a5,a4,a3,a2,a1]);
[tex]
[[a10:\frac{1}{10},a9:-\frac{1}{2},a8:\frac{3}{4},a7:0,a6:-\frac{7}{10},a5:0,a4:\frac{1}{2},a3:0,a2:-\frac{3}{20},a1:0]]
[/tex]

Et voilà notre polynôme donnant la somme [tex] \sum_{i=1}^{n}{i}^{9} [/tex]:
p(n+1)-p(1), ratsimp;
[tex]
\frac{2\,{n}^{10}+10\,{n}^{9}+15\,{n}^{8}-14\,{n}^{6}+10\,{n}^{4}-3\,{n}^{2}}{20}
[/tex]

Avec sa version factorisée :
factor(p(n+1)-p(1));
[tex]
\frac{{n}^{2}\,{\left( n+1\right) }^{2}\,\left( {n}^{2}+n-1\right) \,\left( 2\,{n}^{4}+4\,{n}^{3}-{n}^{2}-3\,n+3\right) }{20}
[/tex]

Si qq'un connaît maxima et veut faire plus propre, c'est avec joie, sinon, je tâcherai d'y bosser un peu pour voir si on peut améliorer.

Merci Freddy, il me reste à regarder la solution de Fred…

Domi

Hello Freddy,
ben non, hélas, ta réponse ne me convient pas, car dans les deux cas cités, on parle bien de classes modales, donc de valeurs continues. Il y a donc bel et bien deux définitions de la même chose.
Pour les valeurs discrètes, on parle de mode et là tout le monde est d'accord.

A noter que pour la construction d'histogrammes, c'est un peu le même caffouillis, le transmath faisant peu de cas de la densité et représentant (à une exception près, ce qui n'arrange rien pour la compréhension…) les graphiques avec l'effectif en ordonnée. Ce qui revient grosso modo à faire un graphe en barres, comme le font les tableurs, et non pas un histogramme. Certes, dans leurs exemples, les classes ont même largeur, donc l'aspect du graphe reste bon.
Dans le cas contraire, non seulement les graphes obtenus sont très différents (voire n'ont aucun sens vis à vis de la réalité), mais le fait de prendre en compte la densité est une très bonne manière de préparer les esprits aux répartitions continues (gaussiennes et autres).

Ce n'est pas la première fois que je vois du pâté dans les stats : j'ai déjà pu constater qu'il existait diverses définitions des quartiles (avec à l'appui des résultats différents donnés par divers méthodes de calculs, calculettes et autres logiciels pour la même série de données !), ou encore des moyennes glissantes…

Bonne journée

Domi

Effectivement, Yoshi, ta formule s'arrange bien. En faisant la somme membre à membre, on a :

[tex]
\sum_{i=2}^{n+1}{i}^{3}=n+\left( \sum_{i=1}^{n}{i}^{3}\right) +3\,\left( \left( \sum_{i=1}^{n}{i}^{2}\right) +\sum_{i=1}^{n}i\right)
[/tex]

La somme des i est le connu n(n+1)/2, on arrange les sommes de i^3 et on obtient :

[tex]
\sum_{i=1}^{n}{i}^{2}=\frac{{\left( n+1\right) }^{3}}{3}-\frac{n\,\left( n+1\right) }{2}+\frac{-n-1}{3}
[/tex]

En développant :

[tex]
\sum_{i=1}^{n}{i}^{2}=\frac{2\,{n}^{3}+3\,{n}^{2}+n}{6}
[/tex]

Et en factorisant :

[tex]
\sum_{i=1}^{n}{i}^{2}=\frac{n\,\left( n+1\right) \,\left( 2\,n+1\right) }{6}
[/tex]

cqfd

Effectivement, je ne l'ai pas sucée de mon pouce, et comme je ne suis pas une flèche, je pouvais toujours triturer mes suites…

@ Roro : ton idée est super bonne, on doit pouvoir calculer de proche en proche en utilisant le binôme et le résultat de l'étape n-1 (ici, on avait besoin de la somme des i, à l'étape des cubes, on doit avoir aussi besoin de la somme des i^2)

Merci à tous et merci à Wxmaxima qui m'a fait les factorisations, développements, et cerise sur le gâteau, m'a "pissé" le code latex.

PS pour Yoshi : la tête reposée est une chose, l'estomac plein en est une autre !
Et puis, on a aboli la guillotine, depuis, quand même ! => même pas peur !

Domi