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Bonjour;
Dans l'écriture (unique) d'un rationnel a/b en "base égyptienne" (où a<b), il faut que chaque fraction 1/x
soit la plus grande possible et donc que le dénominateur x soit le plus petit possible. Pour cela, il s'agit
d'ajouter 1 au quotient q de la division euclidienne de b par a;  en effet, si  b=qa+r, avec  0<r<a ,
alors   qa < b < (q+1)a   donc   1/qa > 1/b > 1/(q+1)a   d'où   1/q > a/b > 1/(q+1) ,  ce qui donne:
a/b - 1/(q+1) >0   alors que:   a/b - 1/q <0 ;
ainsi, q+1 est bien le plus petit entier naturel x tel que  a/b - 1/x >0 .
Il suffit alors d'écrire    a/b  =  1/(q+1)  +  a/b  -  1/(q+1)   pour  obtenir la formule qui sera réutilisée à
chaque étape:                   
                                               [tex]\mathbf{\Large{\frac{a}{b} = \frac{1}{q+1} +\frac{a(q+1)-b}{(q+1)b}}}[/tex] .

Vérifions ce procédé pour  3/7 :  la division euclidienne de 7 par 3 s'écrit:   7=2.3+1,  donc ici q=2;
appliquons alors la formule une première fois:   [tex]\frac{3}{7}=\frac{1}{2+1}+\frac{3(2+1)-7}{(2+1)7}=\frac{1}{3}+\frac{9-7}{3.7}=\frac{1}{3}+\frac{2}{21}[/tex] ;
considérons maintenant le rationnnel 2/21:  la division euclidienne de 21 par 2 s'écrit:   21=10.2+1,
donc ici q=10;  appliquons alors la formule à 2/21:  [tex]\frac{2}{21}=\frac{1}{10+1}+\frac{2(10+1)-21}{(10+1)21}=\frac{1}{11}+\frac{22-21}{11.21}=\frac{1}{11}+\frac{1}{231},[/tex]
ce qui donne finalement :     [tex]\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}[/tex] .
De même, pour  11/12 :   12=1.1+1  donc   [tex]\frac{11}{12}=\frac{1}{2}+\frac{11.2-12}{2.12}=\frac{1}{2}+\frac{5}{12}[/tex];   puis   12=2.5+2  donc
[tex]\frac{5}{12}=\frac{1}{3}+\frac{5.3-12}{3.12}=\frac{1}{3}+\frac{1}{12}[/tex],   ce qui donne finalement:   [tex]\frac{11}{12}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}[/tex].

bonsoir,
Encore un procédé pour prouver que  [tex]x-1[/tex] ne divise pas  [tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1[/tex] :
si c'était le cas, alors  [tex]x-1[/tex] diviserait aussi  [tex](x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)  +  (x-1) =[/tex]
[tex]=x^{n-1}+x^{n-2}+...+x^2+2x = x(x^{n-2}+x^{n-3}+...+x+2)[/tex],  d'où  [tex]x-1[/tex] diviserait
[tex]x^{n-2}+x^{n-3}+...+x+2[/tex] ;
ensuite,  [tex]x-1[/tex] diviserait aussi  [tex](x^{n-2}+x^{n-3}+...+x+2)+2(x-1)=[/tex]
[tex]=x^{n-2}+x^{n-3}+...+x^2+3x = x(x^{n-3}+x^{n-4}+...+x+3)[/tex],  d'où [tex]x-1[/tex] diviserait
[tex]x^{n-3}+x^{n-4}+...+x+3[/tex] ;
en continuant ainsi, on arrive à ce que  [tex]x-1[/tex] doive diviser  [tex]x+n-1[/tex] : absurde .

bonjour,
Il est clair que  [tex]x-1[/tex]  divise à la fois  [tex] (x-1)^n[/tex]  et  [tex] x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1) .[/tex]
Pour montrer que  [tex] x-1 [/tex] est bien le pgcd cherché , il suffit de prouver que  [tex] x-1 [/tex] ne divise pas
[tex] x^{n-1}+x^{n-2}+...+ x+1[/tex], ce qui s'obtient en faisant la division euclidienne de [tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1[/tex]
par [tex]x-1[/tex], dont le résultat est donné par :
[tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1 = (x-1)(x^{n-2}+2x^{n-3}+3x^{n-4}+4x^{n-5}+...+(n-3)x^2+(n-2)x+n-1) + n [/tex],
(formule qui se vérifie facilement en développant) .
Le reste de la division étant le terme constant non nul n, on a bien le résultat voulu .

Bonsoir,
  pour le pgcd : il doit diviser  2(5k+3)-5(2k-1) = 6 + 5 = 11.
  Or 11 divise 2k-1  ssi  2k-1=11h  ssi  k=(11h+1)/2 est entier,
  ssi 11h+1 pair  ssi  h est impair d'où  k=[11(2n+1)+1]/2 ,
  c'est-à-dire :  k=11n+6 , pour tout entier naturel n.
  Or si 11 divise 2k-1 alors 11 divise aussi 5k+3=[5(2k-1)+11]/2.
  Conclusion : si  k= 11n+6 alors le pgcd vaut 11;  sinon il vaut 1.