Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

J'ai fait un exercice de probas, dont voici l'énoncé : https://www.cjoint.com/c/MBerpQ4nnSF

Voici ce que j'ai fait :

1. a. On se place dans l'espace de probabilité suivant : [tex](\Omega, A, P)[/tex] avec [tex]\Omega[/tex] = {{w₁, ..., w_k} | w_i [tex]\in[/tex]{0,..., 9} [tex]\cup[/tex] {A,B,C} }, [tex]A = P(\Omega)[/tex] et P la probabilité uniforme sur [tex]\Omega.[/tex] On a alors [tex]|\Omega|[/tex] = 10.
    b. P(E₁) = [tex]\frac{10 !}{10}[/tex] = 9 !
P(E₂) = 1 - P(E₂^c)
P(E₃) = 1 - P(E₃^c)

2. a. On se place dans l'espace de probabilité suivant : [tex](\Omega, A, P)[/tex] avec [tex]\Omega[/tex] = {(w₁, ..., w_k) | w_i [tex]\in[/tex]{0,..., 9} [tex]\cup[/tex] {A,B,C} }, [tex]A = P(\Omega)[/tex] et P la probabilité uniforme sur [tex]\Omega.[/tex]
    b. P(E₅) = n^{k - E([tex]\frac{k}{2})[/tex]}
P(E₆) = n^k-3
P(E₇) = P(L) [tex]\cup[/tex] P(C) = P(L [tex]\cup[/tex] C) = P(L) + P(C) - P(L [tex]\cap [/tex] C) = [tex]\frac{3}{n^k}[/tex] + [tex]\frac{10}{n^k}[/tex] - [tex]\frac{30}{n^2k}[/tex]

avec P(L) : proba qu'il n'y ait que des lettres et P(C) : proba qu'il n'y ait que des chiffres.

    c. P(E₅|P(1L)) = [tex]\frac{P(L)\capP(E₅)}{P(L)}[/tex] = [tex]\frac{P(L)*P(E₅)}{P(L)}[/tex] = [tex]\frac{n^k-1 * n^k-3}{n^k-1}[/tex] = n^k-3
On en déduit que ces deux évènements sont indépendants.

3. Je voulais calculer la probabilité de "qu'il n'y ait que des chiffres" sachant "la longueur n du code". Ces deux évènements sont bien indépendants ?

Pourriez-vous m'éclairer ? Le reste est-il correct ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Bonjour,

Je cherche comment trouver le cardinal des classes de conjugaison de A5.
Je connais les résultats mais j'aimerais savoir les retrouver.

On a classe de l'identité de card 1, classe d'une double transposition de card 15, classe d'un 3-cycle de card 20 et classe d'un 5-cycle de card 24.

Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne journée

Bonsoir,

J'ai ceci dans mon cours :
https://www.cjoint.com/c/LKtrK35t1wF

Je ne vois pas bien pourquoi on a ces inclusions ?

Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Bonsoir,

Dans mon cours j'ai la définition du degré d'une extension L/K. On a [L :K] := dim _K(L). En exemple, il est écrit que [C : R] = 2.

Pourriez-vous m'expliquer comment on trouve ce 2 ? La définition ne me parle pas vraiment...

Merci d'avance,
Bonne soirée

Bonjour,

J'ai ceci dans mon cours :
https://www.cjoint.com/c/LKlj2GVwA6F
Avec P barre l'image de P (un polynôme) dans (A/p)[X] (p étant un idéal premier).

Je ne vois pas bien ce qu'est une réduction très réductible.

Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne journée

Bonjour,

J'ai un exercice à faire dont voici le sujet (en 2 parties) :
https://www.cjoint.com/c/LKcjxwMhnIF
https://www.cjoint.com/c/LKcjxTYZ8GF

1. (Gros doute) Si G/Z est d'ordre supérieur 1 : |G/Z| > 1 <=> G différent de Z ainsi G n'est pas abélien et G/Z non plus ?

2. Par l'équation aux classes, on a : |Z| = |G| - somme (|G| / |H_i|), les H_i étant des sous-groupes de G distincts de G. La somme en question étant la somme de puissances non nulles de p, on a que Z est divisible par p et donc ne pas être égal à 1.

3. Celle-ci c'est bon

4. Je bloque complètement sur celle-ci...
a) Je n'arrive pas à visualiser f(C) ? Même en revenant aux définitions, je n'arrive pas à écrire f(ker f) ? 

5. • Soit g dans G d'ordre 8. <g> = G or G n'est pas abélien. Absurde. G ne contient pas d'élément d'ordre 8.

• Pour l'élément d'ordre 4 je n'arrive pas à conclure : J'ai dit : l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe. Ainsi les ordres possibles des éléments de G sont : 1, 2, 4 et 8. 1 correspond à l'élément neutre et on a vu que 8 était impossible. J'aurais voulu montrer que l'ordre 2 était impossible et donc ne restant que 4, on pouvait conclure. Mais je n'arrive pas à montrer cela donc...

6. • G est produit semi-direct de C et <s> si :
- C est distingué dans G (L'indice de C dans G étant 2, on a la distinction)
- C inter <s> = {e} je suppose que cela a un rapport avec s appartient à G/C ? Mai sje ne vois pas comment le montrer ?
- le produit de C et <s> égale G : G fini, C distingué dans G, (pour cette affirmation j'admets C inter <s> = {e}). Alors |C| . |<s>| = G <=> le produit de C et <s> égale G. (d'après le cours).

• G est isomorphe au groupe diédral D₈ par cardinalité ? Puisqu'il est produit semi-direct d'un groupe de cardinal 4 et d'un groupe de cardinal 2 ?

7. • On sait que Z n'est pas trivial donc |Z| >= 2. Mais je ne vois pas comment montrer l'égalité ?
• On a  |G/Z| = 4. D'après la question 2, les seuls groupes d'ordre p² (ici = 2²) sont Z/4Z et Z/2Z x Z/2Z. On a alors que G/Z est isomorphe à Z/2Z x Z/2Z ?

Pourriez-vous me dire ce que vous pensez de ce que j'ai fait et m'éclairer pour le reste ?

Merci d'avance,
Bonne journée