Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

On veut montrer que les suites de terme général $u_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}$ et $v_n = u_n + \dfrac{1}{nn!}$ sont adjacentes.
Il est claire que la suite $u_n - v_n$ tend vers $0$ et que la suite $(u_n)$ est croissante. Mais je sèche pour montrer que la suite $(v_n)$ est décroissante :

$$v_{n+1} - v_n = \dfrac{1}{(n+1)!} + \dfrac{1}{(n+1)(n+1)!} - \dfrac{1}{n n!} = \dfrac{1}{(n+1)!}\left(1 + \dfrac{1}{n+1}\right) - \dfrac{1}{n n!}  $$

ça doit être tout bête mais j'ai du mal à conclure...

En vous remerciant par avance,

User.

Bonjour,

Je souhaite établir la formule de Grassamann en utilisant les applications linéaires. On considère l'application linéaire surjective $f$  de $F \times G$ sur $F+G$ qui envoie $(u,v)$ sur $u-v.$ Son noyau (qui est un sous espace vectoriel de $F \times G$) contient les couples de $F \times G$ de la forme $(u,u).$ Plus précisément : $$\ker f = \{(u,u) : u \in F \cap G \}$$

Alors, on a : $$\ker f = (F \cap G) \times (F \cap G) ~\text{ou}~ \ker f = F \cap G~?$$ 

Si on avais $\ker f = F \cap G$, alors les éléments du noyau ne seraient pas des couples et si $\ker f = (F \cap G) \times (F \cap G)$, alors on voit apparaître un facteur $2$ en appliquant la formule du rang.

D'avance merci.

User.

Bonjour,

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur un corps fini $\mathbb{K}$ de cardinal $q$.

On souhaite dénombrer l'ensemble $X$ des sous espaces vectoriels de dimension $k \leq n$ défini par :   $$X : =\{ F \subset E, \dim F = k \}.$$

Soit $x \in X$, j'ai un peu de mal à décrire l'orbite de $x$. J'ai tenté le raisonnement suivant :

Considérons l'action du groupe linéaire $GL_{n}(E)$ sur $X$. Soit $(f_1, f_2, \cdots, f_k) = : x$ une base de $F$.
L'orbite de $x$ pour cette action contient les images par $g \in GL_{n}(E) $ d'une base de $F$ ce qui signifie qu'un élément de l'orbite est donc de la forme $(g(f_1), g(f_2), \cdots, g(f_k))$ qui reste une base car $g$ conserve la dimension. On peut donc affirmer que l'orbite de $x$ est $X$.

Qu'en pensez vous ?

D'avance merci pour vos retours.

User.

Bonjour,

Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. Quelle est la dimension de l'espace $A = \{v \in  \mathcal{L}(E,F), v \circ u = 0_{\mathcal{L}(E,F)} \}$ ?

Mon idée est d'introduire  l'application $\varphi_{u}$ qui envoie $v$ sur $v \circ u$ pour ensuite appliquer la formule du rang. Cette application est bien définie puisque $u$ est un endomorphisme de $E$, elle est linéaire. (c'est un endomorphisme de $\mathcal{L}(E,F)$) et de noyau $A$. Je n'arrive pas à déterminer l'image de $\varphi_{u}$.

Des suggestions ?

D'avance merci.

Bonjour,

Soit $x = \sum_{k=1}^{n} i_{k}j_{k}$ et $y =  \sum_{l=1}^{m} i^{\prime}_{l}j^{\prime}_{l}$, on souhaite montrer que  : $$x - y = \sum_{k=1}^{n+m}i_{k}j_{k}$$

En développant le membre de gauche on a :

$$\underbrace{i_1j_1 + i_2j_2 + \cdots + i_nj_n}_{\text{n termes} \\ 1 \leq k \leq n} - \underbrace{i^{\prime}_1j^{\prime}_1 + i^{\prime}_2j^{\prime}_2 + \cdots + i^{\prime}_mj^{\prime}_m}_{\text{m termes } \\ 1 \leq l \leq m}  $$

Ensuite, à l'aide du changement de variable $l \leftarrow k -n$ pour $k$ allant de $n+1$ à $n+m$ :

$$x - y = \sum_{k=1}^{n}i_{k}j_{k} - \sum_{k=n+1}^{n+m}i^{\prime}_{k-n}j^{\prime}_{k-n} $$

Là, je ne vois pas comment aller plus loin....

Merci pour votre aide.

Bonjour,

En appliquant le théorème de Taylor-Lagrange à la fonction $x \mapsto e^x$ en $0$, il existe $\theta \in ]0,1[$ tel que :

pour tout $x \in R$ : $$e^{x} = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} + \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\theta x}$$

Je cherche à montrer que $\theta$ est unique.

Fixons un $x \neq 0$, pour $n$ donné, on a en posant $R_n(x) = e^{x} - \displaystyle  \sum_{k=0}^{n} \dfrac{x^k}{k!}$ :

$$ \theta = \dfrac{1}{x} \ln \left( \dfrac{(n+1)! R_n(x)}{x^{n+1}}\right)$$

$\bullet$ L'expression de $\theta$ a-t-elle un sens ? pour $x \neq 0$ la quantité dans $\ln$ peut-elle changer de signe ?
$\bullet$ Des suggestions pour établir l'unicité de $\theta$ ? 

D'avance merci pour votre aide.