Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bon, je pense que je m'en sors enfin (j'avais fait une erreur de signe).
[tex]
<f_j,\varphi>=j^2[-\displaystyle\int_{-1/j}^0 \varphi(0) dx - \varphi'(0) \displaystyle\int_{-1/j}^0 x dx - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{-1/j}^0 x^2 \varphi''(\xi_x) dx
+ \displaystyle\int_0^{1/j} \varphi(0) dx + \varphi'(0) \displaystyle\int_0^{1/j} x dx + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{1/j} x^2 \varphi''(\xi_x) dx].
[/tex]
On a:
[tex]- \displaystyle\int_{-1/j}^0 \varphi(0) dx = -\dfrac{\varphi(0)}{j}[/tex]

[tex]\displaystyle\int_0^{1/j} \varphi(0) dx = \dfrac{\varphi(0)}{j}[/tex]

[tex]- \varphi'(0) \displaystyle\int_{-1/j}^0 x dx = \dfrac{\varphi'(0)}{2 j^2}[/tex]

[tex]\varphi'(0) \displaystyle\int_0^{1/j} x dx = \dfrac{\varphi'(0)}{2 j^2}[/tex]
Donc
[tex]
<f_j,\varphi>= \varphi'(0) + \dfrac{j^2}{2} [- \displaystyle\int_{-1/j}^0 x^2 \varphi''(\xi_x) dx + \displaystyle\int_0^{1/j} x^2\varphi''(\xi_x) dx].
[/tex]
Il nous reste à regarder
[tex]\lim_{j \to +\infty} j^2 [\displaystyle\int_{-1/j}^0 x^2 \varphi''(\xi_x) dx + \displaystyle\int_0^{1/j} x^2 \varphi''(\xi_x) dx].[/tex]

On a:

[tex]
|-\displaystyle\int_{-1/j}^0 x^2 \varphi''(\xi_x) dx| \leq M \dfrac{1}{3 j^3}
[/tex]
et
[tex]
|\displaystyle\int_0^{1/j} x^2 \varphi''(\xi_x) dx| \leq M \dfrac{1}{3 j^3}.
[/tex]
Ainsi, ce dernier terme tend vers 0 lorsque [tex]j \to +\infty.[/tex]
Ainsi, on a:
[tex]
\lim_{j \to +\infty} <f_j,\varphi> = \varphi'(0) = <\delta,\varphi'> = - <\delta',\varphi>
[/tex]
Donc [tex]f_j \to -\delta'[/tex] dans [tex]\mathcal{D}'(\mathbb{R}).[/tex]

2. Pour la question: déterminer la dérivée de la limite, on a:
[tex]<(-\delta')',\varphi> = <-\delta',\varphi'> = <\delta,\varphi''>=\varphi''(0)= \delta''.[/tex]

Tout est ok? S'il vous plaît.
Je vous remercie pour votre aide.

Bonjour,
je reviens à cet exercice car j'ai essayé de prendre un peu de recule avec les calculs, mais ça ne va toujours pas.
Si on écrit un développement de Taylor d'ordre 2
[tex]
\varphi(x)=\varphi()+x \varphi'()+\dfrac{x^2}{2}\varphi''(\xi_x), \quad \xi_x \in (0,x).
[/tex]
On a:
[tex]
<f_j,\varphi>= j^2 [- \displaystyle\int_{-1/j}^0 \varphi(0) dx - \varphi'(0) \displaystyle\int_{-1/j}^0 x dx - \displaystyle\int_{-1/j}^0 \dfrac{x^2}{2} \varphi''(\xi_x) dx
[/tex]
[tex]
+ \displaystyle\int_0^{1/j} \varphi(0) dx + \varphi'(0) \displaystyle\int_0^{1/j} x dx + \displaystyle\int_0^{1/j} \dfrac{x^2}{2} \varphi''(\xi_x) dx]
[/tex]
[tex]= j \varphi(0) - j [-\displaystyle\int_{-1/j}^0 \dfrac{x^2}{2} \varphi''(\xi_x) dx + \displaystyle\int_0^{1/j} \dfrac{x^2}{2} \varphi''(\xi_x)dx][/tex]

et en passant à la limite sur j, on trouve n'importe quoi. Que faire dans ce cas?
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Donc c'est à cause de la présence de [tex]3 \varphi(0)[/tex] que l'on ne peut pas dire ca, c'est ca?
S'il n' y avait pas [tex]3 \varphi(0)[/tex], on aurait pu dire ca, vous êtes d'accord?

Et s'il vous plaît, avec le resultat que j'ai trouvé dans mon précédent post, que vaut T' dans D'?

S'il vous plaît, comment on trouve une solution particulière à [tex]xT=\delta[/tex] dans [tex]D'(\mathbb{R})[/tex]?
Je vous remercie par avance.

1- Non, je n'ai aucun résultat de division pour les fonctions test dans mon "cours". Quel est le résultat le plus important de ces divisions? S'il vous plaît.

2- Par ailleurs, voici une autre méthode de solution que j'ai rédigé pour les solutions de l'équation[tex] xT=0.[/tex]
Soit [tex]\psi  \in \mathcal{D}(\R*)[/tex]. On a [tex]<xT,\psi>= <T,x \psi>[/tex]
on note[tex] \varphi(x)= x \psi(x)[/tex] qui est dans [tex]\mathcal{D}(\R)[/tex], ainsi on a que pour tout[tex] \psi \in \mathcal{D}(\R*): <T,\varphi>=0[/tex] ce qui montre que [tex]Supp T = {0}[/tex].
Et on sait que toute distribution à support nulle est proportionnelle à Dirac, donc [tex]T=c\delta[/tex].

Je sens que je mélange un peu entre les fonctions tests qui sont dans [tex]\mathcal{D}(\R*)[/tex] et [tex]\mathcal{D}(\R),[/tex] comment arranger cette formulation de manière logique? S'il vous plaît.

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Ostap Bender je cherche des explications, et pas des réponses toute faits. Je n'ai pas compris ce que vous avez dit, et Philippe ne pas non plus donner une réponse toute faite, il m'a donné une indication! Qui est un peu abstraite pour le moment pour moi, mais je vais continuer à y travailler.

Ostap Bender, non ce n'est pas MA question, dans la dernière égalité de Fred,il ne reste que le terme avec [tex]\theta(x)[/tex], pourquoi le terme avec [tex]\psi(x)[/tex] a disparu? S'il vous plaît.