Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut,

On cherche des solutions particulières sous la forme : [tex]y(x,t) = g(x) ^~ h(t)[/tex].

Dans le cas suivant, après les simplifications d'usage, on obtient :

[tex]E ~ I ~ h(t) ~ \frac{\mathrm{d}^4 g(x)}{\mathrm{d} x^4} + m ~ g(x) ~ \frac{\mathrm{d}^2 h(t)}{\mathrm{d} t^2} + k ~ g(x) ~ h(t) = 0[/tex]

On divise l'équation obtenue par [tex]g(x) h(t)[/tex] :

[tex]E ~ I ~ \frac{1}{g(x)} ~ \frac{\mathrm{d}^4 g(x)}{\mathrm{d} x^4} + m ~ \frac{1}{h(t)} ~ \frac{\mathrm{d}^2 h(t)}{\mathrm{d} t^2} + k = 0[/tex]

On peut montrer assez facilement que cette condition n'est remplie pour tout x et tout t que si [tex]E ~ I ~ \frac{1}{g(x)} ~ \frac{\mathrm{d}^4 g(x)}{\mathrm{d} x^4}[/tex] et [tex]m ~ \frac{1}{h(t)} ~ \frac{\mathrm{d}^2 h(t)}{\mathrm{d} t^2}[/tex] sont constants.

On pose alors : [tex]E ~ I ~ \frac{1}{g(x)} ~ \frac{\mathrm{d}^4 g(x)}{\mathrm{d} x^4} = k_x[/tex] et [tex]m ~ \frac{1}{h(t)} ~ \frac{\mathrm{d}^2 h(t)}{\mathrm{d} t^2} = k_y[/tex].

On a alors : [tex]k_x  + k_y = k[/tex].

La seconde équation se résout facilement :

[tex]h(t) = A_t ~ \exp{\left( -\sqrt{\frac{k_y}{m}} ~ t \right)}  + B_t ~ \exp{\left( \sqrt{\frac{k_y}{m}} ~ t \right)}[/tex] avec [tex]A_t[/tex] et [tex]B_t[/tex] des constantes complexes.

La seconde ne peut se résoudre facilement qu'en utilisant les conditions aux limites :

[tex]g(0) = g(l) = 0[/tex]
[tex]\frac{\mathrm{d}^2 g(0)}{\mathrm{d} x^2} = \frac{\mathrm{d}^2 g(l)}{\mathrm{d} x^2} = 0[/tex]

On cherche alors une solution de la forme :

[tex]g(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} A_n \sin{\left( \frac{2 \pi n x}{l} \right)}[/tex]

Cette forme respecte les conditions aux limites.

Après un peu de calcul, on obtient [tex]A_n = 0[/tex] OU [tex]k_x = E ~ I ~ \left( \frac{2 \pi n}{l} \right) ^4[/tex].

g n'admet donc une solution de cette forme que si [tex]k_x = E ~ I ~ \left( \frac{2 \pi n_x}{l} \right) ^4[/tex] et cette solution est : [tex]g(x) = A_x \sin{\left( \frac{2 \pi n_x x}{l} \right)}[/tex] avec [tex]n_x[/tex] un entier naturel supérieur à 0.

Plus qu'à recoller les bouts...

Bonne chance pour la suite !
Hadrien

Salut,

Je ne sais pas si je réponds à ta question, mais pour tout créer des applet java, j'utilisais à l'époque JBuilder. Il en existe une version gratuite qui est amplement suffisante pour les amateurs.

@jpp et freddy : au temps pour moi. Je viens de corriger mon post précédent.

Salut,

Indication : [tex]f(x) = sin(x) cos(x) = \frac{sin(2x)}{2}[/tex].

Si tu as besoin de plus d'aide, reviens me voir. J'ai en effet l'habitude d'aider par étapes. (Sauf urgence, bien entendu.)

Salut,

C'est pas si affreux que cela... Si on a un polynôme de degré 4 qui peut se résoudre de cette manière, on arrive très facilement, par identifications successives, à trouver tous les coefficients :

- Identification du coefficient de [tex]x^4[/tex] -> coefficient a.

- Identification du coefficient de [tex]x^3[/tex] et coefficient a -> coefficient b

- Identification du coefficient de [tex]x[/tex] et coefficients a et b -> coefficient c

Ensuite, on vérifie les coefficients de [tex]x^2[/tex] et le terme constant.

Je posterai la méthode que j'avais en tête ce weekend. En tout cas, vraiment, ce sujet aura été constructif !

Salut,

C'est exactement cela ! Plus qu'à expliquer ta méthode.

A+

http://lmgtfy.com/?q=longueur+corde+cercle&l=1

Bonsoir panolé,

Indication supplémentaire pour bien comprendre le problème : quel est le signe de ln(x) ? Pour bien voir, trace les courbes représentatives de ln(x), racine(x) et -racine(x), examine-les avec attention puis reviens nous voir.

Quant à la primitive de ln(x), tu peux facilement l'obtenir par intégration par parties.

Salut,

En prenant respectivement comme valeurs particulières de m [tex]0[/tex], [tex]\sqrt{2}[/tex] et [tex]- \sqrt{2}[/tex], on obtient les équations :

[tex]x^2 + y^2 + z^2 = 2[/tex]
[tex]x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0[/tex]
[tex]x^2 + y^2 + z^2 + 4z = 0[/tex]

Ce système d'équations est équivalent à :

[tex]x^2 + y^2 + z^2 = 2[/tex]
[tex]2 - 4z = 0[/tex]
[tex]2 + 4z = 0[/tex]

Ce système d'équations n'admet aucune solution. L'ensemble recherché est donc l'ensemble vide.

Bonjour,

Le point le plus délicat est la distinction entre définition, axiome et conjecture :

Une définition est l'association d'un terme avec une propriété mathématique. Exactement comme dans le dictionnaire. Il n'y a donc rien à montrer là-dedans. Pour donner une analogie, tu peux voir une définition comme étant l'équivalent papier de la fonction "rechercher et remplacer" de l'ordinateur : chaque fois que tu vois la définition, tu peux la remplacer sans réfléchir par ce qu'elle signifie. Une sorte de raccourci ou d’abréviation en quelque sorte.

Un axiome est une vérité première dans un système de logique, considérée comme "évidente", à partir desquelles toutes les autres sont démontrées. Un ensemble d'axiomes définit une théorie. La seule exigence que l'on a de l'ensemble d'axiomes de départ est la non contradiction. Non seulement ces axiomes sont indémontrables, mais on peut parfois les changer pour aboutir à d'autres théories tout aussi cohérentes. C'est le cas, par exemple, de la géométrie euclidienne, dont on peut changer le cinquième postulat pour aboutir à des géométries non euclidiennes, dont l'exemple le plus connu est la géométrie sphérique.

Enfin, une conjecture est une proposition mathématique dont on ne sait pas avec certitude si elle est vraie ou fausse. C'est la différence avec un axiome : un ensembles d'axiomes est toujours vrai dans le sens où il n'est pas contradictoire. Par contre, une conjoncture peut très bien être fausse, dans le sens où elle est contradictoire avec les axiomes de la théorie, ou au contraire être vraie, ce qui est équivalent au fait que son inverse soit faux, c'est à dire contradictoire avec les axiomes de la théorie.

En espérant avoir pu t'éclairer sur le sujet, et de ne pas t'avoir embrouillé encore plus.

A+

Bonjour,

Fred a bien résumé le problème, mais j'aimerai enfoncer le clou sur un point trop souvent négligé :

Les théorèmes de comparaison des intégrales utilisant les équivalents ou les petits et grand O ne fonctionnent que pour les fonctions positives. C'est ici ton cas, mais il importe de le vérifier et de le préciser ! C'est également bien précisé sur le formulaire de la bibmath, mais un peut louper ce point si on lit trop rapidement.

Dans le cas où les fonctions ne sont pas positives, un moyen simple consiste à vérifier la convergence absolue, ce qui permet de se ramener au cas précédent.

A noter également que a ~ b, a = o(b) et a = O(b) impliquent respectivement |a| ~ |b|, |a| = o(|b|) et |a| = O(|b|). Donc on se ramène encore plus facilement au cas précédent.

Enfin, dans le cas de fonctions non positives dont la convergence n'est pas absolue, il faut faire des transformations pour essayer de se ramener à un cas connu. Si les transformations n'aboutissent pas, on peut utiliser les critères de Cauchy et d'Abel, mais ce sont des théorèmes plus spécialisés. (@Fred : je ne sais plus si le critère d'Abel pour les intégrales est au programme des classes prépa.)

Désolé si j'enfonce des portes ouvertes, mais c'est LE point qui a le don d'énerver les profs de maths chaque fois que les élèves l'oublient.

Salut,

Tu as un cours de mathématiques sur le sujet ? Si oui, relis-le. Si tu n'en as pas, ou qu'il est absolument incompréhensible, alors, je chercherai si j'en trouve un sur le web.

A+