Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

  Si tu veux traduire cela avec des epsilons, alors "tout simplement" :
$$\forall\varepsilon>0,\ \exists A>0,\ \|x\|\geq A\implies |f(x)|\leq \varepsilon.$$

Comme souvent dans ce genre d'exercices, il ne faut pas utiliser ceci pour toutes les valeurs de $\varepsilon$,
mais pour une valeur bien choisie....

F.

Bonsoir,
Je suis curieux de savoir pourquoi écrire $P\otimes M$ au lieu de $P\times M$ (notation pourtant usuelle pour le produit cartésien).
En gros $\mathcal{A}$ est ce qu'on appelle une relation binaire de $P$ vers $M$.
Par définition, il s'agit d'un sous ensemble de $P\times M$. Si $p\in P$ et $m\in M$, on note $p \space\mathcal{A}\space m$ si $(p,m)\in A$.
Ici  $p \space\mathcal{A} \space m$ signifie "le client $p$ a accès au média $m$".

Si on a une relation binaire $\mathcal{A}$ de $P$ vers $M$.
On peut définir sa relation binaire réciproque $\mathcal{A}^{-1}$. Il s'agit d'une relation binaire de $M$ vers $P$.
Elle est définit par $(m,p)\in \mathcal{A}^{-1} \Leftrightarrow m \mathcal{A}^{-1} p \Leftrightarrow p \space \mathcal{A}\space m \Leftrightarrow (p,m) \in \mathcal{A}$. (on la note aussi parfois $\mathcal{A}^T$ transposée de $\mathcal{A}$, ce qui est plus logique : je trouve que le mot inverse/réciproque est mal choisi).

Si on a trois ensembles non vides $E,F,G$ et deux relations binaires : $\mathcal{R}$ de $E$ vers $F$, et $\mathcal{S}$ de $F$ vers $G$,
alors on peut définir la composée $\mathcal{S}\circ \mathcal{R}$ de $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ comme la relation binaire de $E$ vers $G$
définie par :
$(e,g)\in \mathcal{S}\circ \mathcal{R} \Leftrightarrow \exists f \in F, (e,f)\in \mathcal{R} \text{ et } (f,g) \in \mathcal{S}$.

Du coup dans ton exo je ne sais pas pourquoi ils considèrent $\mathcal{A}\circ \mathcal{A}^{-1}$ (moi j'aurai plutôt considéré $\mathcal{A}^{-1} \circ \mathcal{A}$ pour avoir une relation binaire de $P$ vers $P$, cela doit dépendre de la définition, aussi je ne sais pas pourquoi ils écrivent $\bullet$ au lieu de $\circ$...).

Bref, je n'ai pas de référence sérieuse mais un bon début est toujours https://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_binaire

Par curiosité, d'où vient ton exo ?

Bonne soirée

Bonjour,

  Peux-tu nous préciser les notations?

F.

Bonjour,

  Tu n'as pas d'autres questions à cet exercice pour te guider?
Ce que je ferais, c'est utiliser la partie "unicité" de la méthode d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
Je commencerais donc à démontrer que $(e_n)$ est une famille orthonormale.
Pour cela, tu dois calculer les produits scalaires $\langle P_n,P_m\rangle$. Il faut le faire par des intégrations par parties itérées.

F.

Bonjour,

Je te donne une astuce pour le deuxième point.
Posons $Z =\mathbb{1}_{\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]<0}$. Alors $Z$ est une variable $\mathcal{G}$ mesurable, et bornée, positive. Supposons par l'absurde $\mathbb{P}(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}] <0) >0$. Alors $\mathbb{E}[Z\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]] < 0$ (vois tu pourquoi ?) Cependant puisque $Z$ est $\mathcal{G}$ mesurable, alors par propriété de l'espérance conditionnelle. $\mathbb{E}[Z\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[ZX|\mathcal{G}]] = \mathbb{E}[ZX]\geq 0$ (car $Z$ et $X$ sont positives) contradiction.
Le premier point n'est pas très différent du deuxième.

Bonne journée

Bonjour,
Je te propose d'essayer de bien comprendre ce que représente $\Psi_I(\mathbb{R}^{k(n-k)})$. En fait tu peux montrer le lemme suivant :
Lemme : Notons $E_{J}= \text{Vect}(e_j, j\in J)$. Alors $\Psi_I(\mathbb{R}^{k(n-k)})$ consiste en tous les supplémentaires de $E_{I^c}$.
Une inclusion est facile, l'autre fait un peu plus réfléchir.

Cela te permettra facilement de montrer que du recouvres $Gr(n,k)$.

Le fait que les applications sont injectives est déjà fait dans la question 1.

Pour le changement de cartes, alors là ca me fait un peu mal au crâne. En testant sur $Gr(2,1)$ (les droites du plan) alors le changement de carte s'écrit $\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*, x\mapsto 1/x$ qui est bien continue.

▼quelques idées

Dans le cas général voici ce à quoi je pense :
Prenons un élément $V$ de $\Psi_I(\mathbb{R}^{k(n-k)})$, prenons une base de $V$, $(v_1,v_2,\dots,v_k)$. Si on écrit les vecteurs $v_i$ dans la base canonique $e_1,\dots, e_n$ on obtient une matrice $M$ à $n$ lignes et $k$ colonnes. Notons que cette matrice n'est pas unique (car il y a plusieurs bases possibles). Cependant l'image de cette matrice encode $V$ (on dit que $M$ encode $V$). Puisque $V$ est dans $\Psi_I(\mathbb{R}^{k(n-k)})$ alors la matrice formée à partir de $M$ en gardant uniquement les $k$ lignes correspondant à $I$ est une matrice $k\times k$ inversible, notons là $M_I$. Alors $M\times M_I^{-1}$ est une matrice $n\times k$ telle que la matrice obtenue à en gardant uniquement les $k$ lignes correspondant à $I$ forme la matrice $I_k$. Par ailleurs, l'image de $M$ et de $M\times M_I^{-1}$ est la même (à savoir $V$). Ainsi $M\times M_I^{-1}$ encode $V$. Par ailleurs les autres lignes de $M\times M_I^{-1}$ forment une matrice $A$ ($n-k$ lignes et $k$ colonnes). On remarque qu'avec les notations de ton énoncé alors $\Psi_I(A)=V$. Ainsi je suis parti de $V$ et j'ai trouvé la matrice $A$ telle que $\Psi_I(A)=V$.

Maintenant si $V$ est supplémentaire de $E_{I^c}$ et supplémentaire de $E_{J^c}$ alors posons $A:= \Psi_I^{-1}(V)$, on veut comprendre $B=\Psi_J^{-1}(\Psi(A))$. Prenons $M$ une matrice qui encode $V$. Alors par hypothèse, $M_I$ et $M_J$ sont inversibles. J'abuse les notations en écrivant $A= MM_I^{-1}$ et $B=MM_J^{-1}$, les matrices n'ont pas la bonne taille (il faut comprendre garder uniquement les lignes de $I^c$ ou de $J^c$...) De là je pense que ce n'est pas trop dur de dire que $B$ s'obtient continûment à partir de $A$.

Bonjour,

  Voici une démarche alternative à celle proposée par Glozi, pour éviter d'avoir à calculer explicitement des rayons de boule :

1.Dessiner ton ensemble, je vais l'appeler $A$.

2. Introduire $U_1=\{(a,b)\in\mathbb R^2:\ a>0\}$, $U_2=\{(a,b)\in\mathbb R^2:\ a>b\}$ et $U_3=\{(a,b)\in\mathbb R^2:\ b>2\pi\}.$

3. Remarquer que $A=U_1\cap U_2\cap U_3.$

4. Démontrer que chaque $U_i$ est un ouvert - le plus facile, c'est d'observer que chaque $U_i$ est image réciproque d'un ouvert par une fonction continue

5. Utiliser le fait que l'intersection d'un nombre fini d'ouverts est un ouvert.

F.