Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bien sûr qu'ils ne sont pas fixes (sinon tu n'aurais pas écrit $\xi_n$, mais $\xi$ tout simplement). Et oui, ils tendent vers $0.$

F.

Si $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R),$ il n'y a pas de raison pour que ce soit le cas.

Bonjour,

  Le terme entier n'est pas précis. On distingue :
* les entiers naturels : 0,1,2,3,...
* les entiers relatifs, qui sont les entiers naturels (= positifs ou nuls) et les entiers négatifs, -1,-2,...

F.

Bonjour,

  C'est une très bonne question et j'ai été un peu imprudent en écrivant ceci. Je vais réfléchir à cela et refaire la vidéo.

F.

Bonjour,

  Un élément de $E$ est une fonction $f$ telle qu'il existe $a,b,c$ vérifiant, pour tout $x\in\mathbb R,$
$$f(x)=a\cos(x+1)+b\cos(x+2)+c\cos(x+3).$$
Autrement dit, $f$ est combinaison linéaire des trois fonctions $x\mapsto \cos(x+1),$ $x\mapsto \cos(x+2)$ et $x\mapsto \cos(x+3).$
Pour déterminer une base de $E,$ il faudrait déjà essayer de savoir si cette famille de 3 fonctions est libre, puisque par définition c'est une famille génératrice de $E.$

F.

Bonjour,
 
  J'ai été intrigué par ce nom car comme Roro, je ne la connaissais pas. Il semble en fait que ce soit juste la propriété suivante : pour $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue, on a $\int_a^b f(t)dt=\int_a^b f(a+b-t)dt$ (ce qui est juste un changement de variables affine comme le mentionne Roro).
C'est une propriété utile pour calculer certaines intégrales trigonométriques astucieuses, en utilisant par exemple des formules du type $\sin(\pi/2-x)=\cos(x) ...$ et en calculant deux fois cette intégrale. Un exemple classique est
$$I_n=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{dx}{1+\tan^n(x)}.$$
En utilisant la propriété du roi, et la formule $\tan(\pi/2-x)=1/\tan(x),$ on a
$$I_n=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{(\tan^n x)}{1+\tan^n x}dx$$
et donc
$$2I_n=\int_{\pi/6}^{\pi/3}dx = \frac{\pi}3-\frac{\pi}6.$$
Ceci donne bien sûr $I_n=\frac{\pi}{12}.$

C'est tout à fait le genre d'exos que je déteste : si on connait l'astuce, c'est très facile. Si on ne connait pas l'astuce, c'est infaisable.
Et cela ne teste pas la compréhension mathématique des étudiants. Cela teste juste s'ils ont assez de mémoire pour accumuler un grand nombre d'astuces à restituer. Peu d'intérêt pour une future carrière de chercheur si c'est un oral de l'ENS ...

Pour conclure sur le nom, je crois que c'est normal que ni Roro ni moi ne le connaissions. J'ai un peu fouillé, et il semble qu'il est apparu pour la première fois dans une vidéo sur YouTube en novembre 2022.

Fred.

@jpp : on peut faire un peu mieux pour la prochaine ...

@Ernst Bravo !
@jpp Si une enveloppe contient des billets de 100 euros, les autres enveloppes n'en contiennent pas !

Bonjour,

  Pour le moment, ce n'est pas possible, mais c'est une possibilité envisageable.
Mais peut-être que cela attendra que je change le logiciel du forum ...

Fred

Je suis entièrement d'accord !

Bonjour,

  Je sais le faire si $n=2$ en mettant au carré ou en utilisant la quantité conjuguée comme dans cet exercice.
Ensuite, j'essaie pour $n=3,$ et toujours en mettant au carré (en en envoyant un des éléments de l'autre côté), je m'aperçois que je sais me ramener presqu'au cas $n=2.$ Presqu'au cas $n=2,$ car il y a un "poids" rationnel devant les racines carrées.
Finalement, je me dis que je vais démontrer le résultat par récurrence, mais qu'en fait je vais démontrer un résultat un peu plus fort : pour tous rationnels $a_1,\dots,a_n$ et tous rationnels $x_1,\dots,x_n$ tels que $\sqrt{x_i}$ est toujours irrationnel, alors $a_1\sqrt{x_1}+\cdots+a_n\sqrt{x_n}$ est irrationnel.
Je n'ai aucune idée de savoir si ça va marcher, mais c'est comme cela que j'aborderais le problème.

Bien sûr, comme c'est écrit dans le message de Black Jack, une IA n'est absolument pas conçue pour faire un raisonnement comme celui-ci.

F.