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#26 Re : Entraide (supérieur) » Unicité d’un sous-groupe » 09-10-2022 15:33:42
Bonjour Glozi, merci pour votre réponse
En effet, j’ai omis de dire qu’on sait que f(K) est un sous-groupe de G/H et en particulier son cardinal |f(K)| divise le cardinal de G/H c’est-à-dire l’indice de H dans G c’est-à-dire m. C’est à partir de là que je bloque. Mais par exemple pour montrer que K est inclu dans H j’aurais aimé pouvoir raisonner sur le noyau de f.
#27 Entraide (supérieur) » Unicité d’un sous-groupe » 09-10-2022 10:42:16
- Moonspeech
- Réponses : 13
Bonjour à tous.
J’aimerais vous présenter le problème suivant :
On considère G un groupe fini et H un sous-groupe distingué d’ordre n et d’indice m tels que pgcd(m,n) = 1
Il s’agit de montrer que H est alors l’unique sous-groupe de G d’ordre n.
Pour se faire, on peut raisonner par l’absurde. On pose donc K un sous-groupe de G d’ordre n. Déjà, on peut considérer la surjection canonique
f : G —> G/H qui est un morphisme de groupe car H est distingué.
Au delà de ça, je ne sais pas comment exploiter les hypothèses de l’énoncé pour arriver à conclure.
En vous remerciant d’avance pour votre aide.
#28 Re : Entraide (supérieur) » Idéaux de A x B » 03-10-2021 15:23:32
Merci beaucoup pour votre aide, je vais essayer de rédiger une solution complète.
#29 Entraide (supérieur) » Idéaux de A x B » 02-10-2021 16:19:55
- Moonspeech
- Réponses : 3
Bonjour à tous, voici mon problème :
Soit A et B des anneaux commutatifs unitaires
Je voudrais montrer que K est un idéal de A x B ssi K = I x J avec I et J sont des idéaux respectivement de A et de B.
Pour montrer le sens direct, je suppose que K est un idéal de A x B. Je considère ensuite les applications pA : A x B --> A et pB : A x B --> B les projections sur A et B respectivement. Comme ce sont des morphismes surjectifs, on a que pA(K) et pB(K) sont des idéaux respectivement de A et de B.
Je voudrais alors montrer que K = pA(K) x pB(K)
Soit z dans K, on a z = (pA(z) ; pB(z)) d'où z appartient à pA(K) x pB(K)
Cependant, je n'arrive pas à montrer la deuxième inclusion.
Merci d'avance pour votre aide.
#30 Re : Entraide (supérieur) » Cardinal de Z[X]/<2, X²+ax+b> » 29-09-2021 19:36:26
Merci pour votre réponse. J'ai un début de rédaction :
On considère p : Z[X] --> Z[X]/I la surjection canonique.
Soit P dans Z[X], on écrit la division euclidienne de P dans Z[X] :
P = Q(X²+aX+b) +cX+d. Donc p(P) = p(Q(X²+aX+b)) + p(cX+d) car p est un morphisme (I est un idéal bilatère) puis
p(P) = p(cX+d) car Q(X²+aX+b) appartient à I et donc p(Q(X²+aX+b)) = 0
Puis p(cX+d) = 0 ou 1 ou X ou X+1 selon si les coefficients c et d sont pairs ou non.
Je pense que ça devrait être bon. La réponse à la question était donc 4 mais par contre mon idée de départ ne servait à rien dans cet exercice visiblement.
#31 Entraide (supérieur) » Cardinal de Z[X]/<2, X²+ax+b> » 29-09-2021 17:06:10
- Moonspeech
- Réponses : 3
Bonjour, voici mon problème :
Soit (a;b) dans Z. On considère I = <2, X²+aX+b> l'idéal engendré par 2 et X²+aX+b dans Z[X].
Quel est le cardinal de Z[X]/I ?
Pour résoudre ce problème j'ai d'abord essayer de mettre en bijection Z[X] avec un Z/nZ avec un morphisme surjectif dont le noyau serait I, puis en passant au quotient on aurait l'isomorphime Z[X]/I avec Z/nZ. Cependant je n'y arrive pas.
Merci d'avance pour votre aide.