Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Merci :)
Toi qui t'y connais un peu en économie, tu connaîtrais le modèle de croissance Harrod et Domar ? J'ai un peu de mal avec le fait qu'ils ne prennent pas en compte la détérioration du capital

C'est exactement ça; il vont bien maximiser le profit total, ce profit total va être plus grand que la somme des profit individuel lorsqu' ils avaient maximisé leur profit individuel sous la contrainte du choix de quantité de l'autre un peu comme en théorie des jeux, où l'équilibre de Nash n'est pas Pareto-optimal. Donc si chacun se réparti ensuite le profit total d'une façon "équitable" chacun pourrait obtenir un profit individuel supérieur par rapport au modèle de Cournot

Michel Coste, c'est effectivement parce que je trouve ce cas ambigu et qu'il me pose problème que je viens ici demander de l'aide mathématique. Lorsque je trouve le problème clair comme de l'eau de roche comme ça m'est arrivé quand j'ai étudié le modèle de Cournot, Bertrand, Stackelberg, etc .. je ne ne demande pas d'aide. J'ai vraiment trouvé les deux écritures  dans deux livres différents (dérivation par rapport à Q et dérivation par rapport à q1 puis q2);

Moi aussi j'ai trouvé ça étrange.

L'intérêt de dériver par rapport à q1 puis q2 c'est qu'on trouve sur une propriété intéressante

∏t (q1 + q2) = RT (q1 + q2 ) – CT (q1 + q2)
∏t (q1 + q2) = RT (q1 + q2 ) – C1(q1) - C2(q2)
q1 et q2  maximise ∏t
<=>
∂∏t (q1 + q2)/∂ (q1 ) = 0
∂∏t (q1 + q2)/∂ (q2 ) = 0
<=>
∂RT (q1 + q2 )/∂ (q1 )  = ∂ (C1(q1) +C2(q2))/∂ (q1 )
∂RT (q1 + q2 )/∂ (q2 )  = ∂ (C1(q1) + C2(q2))/∂ (q2 )
<=>
∂RT (q1 + q2 )/∂ (q1 )  = ∂ (C1(q1)/∂ (q1 ) + ∂ (C2(q2))/∂ (q1 )
∂RT (q1 + q2 )/∂ (q2 )  = ∂ (C1(q1)/∂ (q2) + ∂ (C2(q2))/∂ (q2)
<=>
∂RT (q1 + q2 )/∂ (q1 )  = Cm1 + 0
∂RT (q1 + q2 )/∂ (q2 )  =0  + Cm2
<=>
∂RT (q1 + q2 )/∂ (q1 )  = Cm1
∂RT (q1 + q2 )/∂ (q2)  = Cm2

Etant donné que ∂RT (q1 + q2 )/∂ (q1 ) = ∂RT (q1 + q2 )/∂ (q2) car la recette totale du cartel est affecté pareillement par une variation de la quantité produite par la firme 1 et par la firme 2
on en déduit que Cm1 = Cm2

on arrive donc à prouver que cm1 = Cm2 quand on maximise le profit total et donc que si les deux firmes ont la même fonction coût alors Cm1 (q1) = Cm2 (q2) <=> q1 = q2 donc elle produiront la même quantité (on sait donc comment répartit la production après maximisation du profit total)

Mais ça me parait étrange ce résultat parce que je pensais que c'était les firmes qui par équité allait se répartir les quantité de façon à ce que cm1 = cm2 (le fait que cm1 = cm2 aurait été une condition humaine ou économique) et non que ça allait d'office ressortir comme une condition à respecter dans le programme de maximisation, puisque je pensais que le programme de maximisation "se ficherait" de savoir comment serait répartie la production entre les firmes.
Oui je sais la dernière phrase n'est pas très rigoureuse et prouve mon manque de connaissance sur les analyse des fonctions

Bonjour Michel,

q1 + q2 = Q
Donc, si c'est plus correct on peut ∂Π (Q*) /∂(Q) = 0, j'avais mis q1 + q2 pour montrer que la production totale était l'agrégation de deux niveaux de production de deux firmes distinctes

En fait le problème est le suivant.
On est dans une situation de duopole (il n'y a que deux firmes sur le marché)

Au lieu de maximiser leur profit personnel, comme c'est le cas dans le modèle de Cournot c'est à dire faire
∂Π1 (q1) /∂(q1) = 0
∂Π2 (q2) /∂(q2) = 0

les firmes considèrent qu'il est plus judicieux pour l'une et pour l'autre de maximiser le profit total du marché en formant un cartel au lieu de se faire concurrence, et de se répartir le profit ensuite.
Avant de savoir comment elle vont se le répartir, je voudrais savoir comment elles maximisent le profit total.

Dans un livre il est dit qu'elles vont résoudre ∂Π (Q*) /∂Q = 0

Seulement dans un autre livre il est dit qu'elle vont résoudre
∂Π (q1*+ q2*) /∂q1 = 0 ou ce qui est la même chose ∂Π (Q*) /∂q1 = 0
et
∂Π (q1*+ q2*) /∂q2 = 0 ou ce qui est la même chose ∂Π (Q*) /∂q2 = 0

S'agit-il de deux programmes de maximisation équivalents  ?

Oui mais j'ai jamais eu de problème pour comprendre cette phrase, mais je voulais qu'on le démontre.

Pour moi on ne peut pas déduire immédiatement de la propriété énoncée ce que tu en a déduit, parce qu'elle contenait en elle-même ce qu'on cherchait à démontrer c'est à dire que M et N appartenait à A.
Ou alors dans le "on déduit immédiatement" il y a quand même un étape intellectuelle qui n'est pas explicitée
Par exemple une droite horizontale ou verticale ne coupe pas deux fois la courbe convexe mais une seule fois, l'intersection entre une droite horizontale et un ensemble convexe est donc une demie droite

Ah bah oui je cherchais initialement à ce que mon raisonnement soit peaufiné et corrigé et effectivement le fait que la limite en +l'infini soit zéro pour l'isoquante est une condition nécessaire à mon raisonnement et puisque c'est effectivement le cas alors la boucle est bouclée, merci.

Oui c'est connu, les hypothèses de la théorie générale sont ultra simplificatrices, mais d'autres économistes se basent quand même sur ce modèle en modifiant certaines hypothèses et en voyant les conséquences que cela implique sur l'équilibre.
Si on admet que l'équilibre général en concurrence pure et parfaite est pareto optimal et donc socialement désirable, on peut, non pas considérer que la concurrence pure et parfaite est vérifiée mais faire en sorte qu'elle le soit le plus possible (tel serait l'objectif que devrait, selon les économistes de l'école néoclassique se fixer l'Etat)

Bref, j'ai un peu près compris ce que je cherchais à comprendre, et pour notre petit point de désaccord, si tu as vraiment l'impression que c'est moi qui n'arrive pas à comprendre quelque chose qui est pourtant bien expliqué, tu as sans doute raison et me l'expliquer encore une fois ne servirait à rien, puisque tu l'as déjà fait selon toi peut-être qu'un jour je reviendrais sur ce forum et ça me fera tilt, peut-être pas ^^.

Mais grâce à ta patience et tes précieux conseil ainsi que ceux Zebulor j'ai pu comprendre ce que je voulais, et pour Freddy j'ai bien aimé notre petit débat économique qu'on a eu ^^

Bonne soirée à tous :)

Oui mais si tu dis ça c'est parce que tu te places dans la situation où je veux résoudre un problème existant concret et où je dois m'adapter, sauf que là je suis pas dans cette situation car j'essaie de comprendre la théorie général de Walras, c'est à dire comprendre comment marche l'économie selon lui.
Or un consommateur ne va pas se dire : je veux ce niveau de satisfaction et je veux essayer de minimiser mes coût car par définition pour Walras d'une part les désirs des hommes sont infinis, il ne dira jamais je veux atteindre tel niveau de satisfaction dans l'absolu il en voudra toujours un plus élevé, d'autre part dans la théorie de Walras il n'y a pas d'endettement possible à la banque, donc obligation pour le consommateur de respecter son budget, d'autre part même si l'endettement est possible, le consommateur reste contraint par son budget car on ne prête à un consommateur que selon ses moyen donc même s'il n'est pas contraint pas son salaire, il reste contraint par un budget proportionnel à son salaire.
La minimisation du coût n'est donc vraiment pas trop pertinente pour modéliser le comportement du consommateur.

Oui je sais que la méthode analytique est totalement liée à la méthode géométrique, et même que la méthode géométrique découle de la méthode analytique, en est une traduction, mais quand on connaît les propriétés géométriques de  différentes courbes, il devient sans doute possible de raisonner uniquement géométriquement, ce que mes cours et les documents que je trouve me poussent à faire en distinguant les deux méthodes.

La méthode purement géométrique est pertinente dans le cas où on ne connaît pas l'expression de la fonction de production et où l'on a dessiné les courbes à partir de données empiriques

Oui c'est ce que je voulais montrer dans mon message #9 mais il me semblait important de montrer qu'à la première intersection c'est la droite qui avait la pente la moins négative et que le rapport s'inverse ensuite.
En effet, raisonnons par l'absurde, si à la première intersection entre deux courbes décroissantes, c'est la droite qui a la pente la plus négatives, alors la courbe convexe aura beau avoir des tangente de moins en moins négatives, ça ne permettra pas au deux courbes de se rencontrer de nouveau au contraire ça va les éloigner d'autant plus.
J'ai donc montré dans mon message #9 non seulement qu'il y a intersection entre deux courbes décroissantes, que l'une d'entre elle est de moins en moins décroissante, mais que c'est précisément elle qui, lors de la première intersection était plus décroissante.

Bon je crois que grâce à vous tous j'ai tous les éléments pour montrer que si une courbe est convexe, la combinaison de facteur qui maximise la production se situe au point de tangence entre une des droite d'isocoût et l'isoquante.
- Si une droite d'isocoût ne rencontre jamais l'isoquante, c'est qu'à ce niveau de coût il est impossible de réaliser le niveau de production souhaité.

- Si une droite d'isocoût intercepte l'isoquante elle le fera nécessairement une deuxième fois : car d'une part les deux courbes sont décroissantes, d'autres part à la première intersection la pente de la droite est nécessairement moins négative que celle de l'isoquante et d'autre part la pente de l'isoquante est de moins en moins négative. (message #9)

- Puisqu'on dit que $f$ est convexe quand pour tous $a$, $b$ de $I$, et pour tout $t$ de $[0,1]$, on a $$f(ta+(1-t)b)\leq tf(a) + (1-t) f(b).$$, et si on pose que I est le segment d'intersection de la droite d'isocoût avec l'isoquante, c'est qu'il existe sur l'isoquante des points situés en bas à droîte de l'isocoût c'est à dire qui représentent une combinaison de facteur capital et travail moindre, et donc qui représentent un coût moindre, et donc qui sont situés sur une courbe d'isocoût qui repésente un coût moindre.

- Il reste donc que seul le point de tangence permet de minimiser les coûts

Oui effectivement je connais la méthode analytique, c'est à dire le programme de minimisation sous contrainte de Lagrange pour trouver la réponse. D'ailleurs c'est vrai qu'en faisant ce programme, je trombe sur des conditions du premier ordre, telles que si je les combine entre elles, on voit qu'à l'optimum le coefficient directeur de la droite d'isocoût est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe. A l'optimum le rapport des productivité marginale est égale au rapport des prix

Le producteur cherche à minimiser ses coût, c'est à dire il cherche les valeurs de L et de K pour minimiser sa fonction coût  d'expression CT( K, L) =  L. Pl + K. Pk sous la contrainte
Q (K, L) = q <=> Q (K, L) – q = 0
Min CT (K, L) =  Min (L. Pl + K. Pk)

La fonction de Lagrange correspondant à ce programme est
L (K, L, λ ) = L. Pl + K. Pk -  λ. [Q (K, L) – q ]

Les conditions du premier ordre, qui correspondent à l'annulation des dérivées premières sont données par
1) ∂L(K, L, λ)/∂K = 0
2) ∂L(K, L, λ)/∂L = 0
3) ∂L(K, L, λ)/∂λ = 0

<=>
1) Pk -  λ . ∂ Q (K, L) / ∂K = 0
2) Pl -  λ . ∂ Q (K, L) / ∂L = 0
3) Q (K, L) – q = 0

<=>
1) Pk  =  λ . ∂ Q (K, L) / ∂K
2) Pl =   λ . ∂ Q (K, L) / ∂L
3) Q (K, L) – q = 0

<=>
1) Pk. ∂K /∂ Q (K, L)  =  λ
2) Pl. ∂L /∂ Q (K, L)  =   λ
3) Q (K, L) – q = 0

<=>
1) Pk. ∂K /∂ Q (K, L)  =  Pl. ∂L /∂ Q (K, L)
2) Q (K, L) – q = 0

<=>
1)  Pk/Pl = [∂L /∂ Q (K, L)]/[∂K /∂ Q (K, L)]
2) Q (K, L) – q = 0

<=>
1)  Pk/Pl = [∂L /∂ Q (K, L)]/[∂K /∂ Q (K, L)]
2) Q (K, L) – q = 0

<=>
1)  Pk/Pl = [∂L /∂ Q (K, L)].[∂ Q (K, L)/∂K]
2) Q (K, L) – q = 0

<=>
1)  Pk/Pl = [∂ Q (K, L)/∂K]/[∂ Q (K, L)/∂L].
2) Q (K, L) – q = 0

<=>
1)  Pk/Pl = PmK/Pml
2) Q (K, L) – q = 0

On peut donc effectivement déduire de ce programme de maximisation analytique les propriétés géométrique de l'optimum; mais c'est vrai que dans mon cours, et dans certains cours que j'ai trouvés sur internet, les choses n'étaient pas présentées comme ça.
C'était présenté comme deux méthodes bien distinctes; la méthode analytique et la méthode géométrique.

Dans la méthode géométrique ils déduisaient de la simple convexité de la courbe que l'optimum était le point de tangence, et non du programme de maximisation analytique (mais ils le prouvaient pas, d'où ma venue sur le forum pour tenter de comprendre plus en profondeur)

D'ailleurs à ce propos, pouvez-vous me dire quelle est, dans les conditions du premier ordre, la différence entre un programme de maximisation sous contrainte lagrangien et un programme de minimisation ? Parce que dans la théorie du consommateur je trouve plus pertinent de maximiser l'utilité sous la contrainte des coûts et je trouverais ça bizarre que les conditions soient exactement les mêmes c'est à dire annulation des dérivées partielles. Ou alors c'est le conditions du deuxième ordre qui jouent un rôle pour différencier un programme de maximisation et un programme de minimisation?

Bonjour à tous.
Je vous souhaite une très belle année 2019.

Je cherche à montrer que si la droite d'isocoût intercepte la courbe convexe, elle le fait nécessairement 2 fois, ni plus ni moins.

Je sais que c'est un gloubi boulga, et j'espère soit que quelqu'un connaisse la véritable démonstration de cette propriété et me la partage, soit rende ma «démonstration» (si on peut appeler ça comme ça) plus rigoureuse et plus élégante

Lorsque deux courbes décroissantes (droite d'isocoût et isoquante) sont sécantes en 1 point cela signifie que pour toute abscisse située à droite du point d'intersection, les ordonnées de l'une étaient nécessairement plus élevées que les ordonnées de l'autre et qu'à partir du point d'intersection, ce rapport s'est inversé.
Ceci signifie que la courbe qui avait systématiquement des ordonnées supérieures à l'autre a une pente plus négative que l'autre au point d'intersection, puisque pour une même variation de x la variation de y a été plus importante pour la courbe dont l'ordonnée était supérieure avant la variation de x.

Ici la courbe à la pente la plus négative est l'isoquante, car sa limite en 0 est de +l'infini alors que l'ordonnée à l'origine de la droite d'isocoût est de CT/PK, on voit donc bien que c'est l'isoquante qui avait, avant le point d'intersection, des ordonnées supérieures à la droite d'isocoût à abscisse égale.

À présent montrons que lorsque la droite d'isocoût coupe une fois la fonction convexe, elle la coupe nécessairement une autre fois ni plus ni moins.

Preuve qu'elle la coupe une deuxième fois
Par définition la pente d'une droite est constante, or par définition, la pente d'une courbe convexe est de moins en moins négative lorsque l'abscisse tend vers + l'infini.
Il arrive nécessairement un moment où la droite et la courbe vont se recroiser car les points de la droite qui étaient, depuis la première intersection pour une même abscisses associé à une ordonnée supérieure que celle de la courbe convexe, finissent par avoir une ordonnée inférieure pour une même abscisse, car à partir de ce nouveau point d'intersection, pour lequel l'abscisse et l'ordonnée de la droite d'isocoût et de la courbe convexe sont égales, la variation de x entraîne une variation négative plus importante pour la droite que pour la courbe.

Preuve qu'elle ne la coupera plus jamais
A partir de ce point d'intersection, tandis que la pente de la droite restera constante, la pente de la courbe deviendra de moins en  moins négative, il n'existera donc plus de possibilité d'intersection.

Merci d'avance à celui qui aura eu le courage de lire ça ^^

Parce que la phrase "une droite d'isocoût déborde de A sur la gauche (abscisses négatives) et aussi sur la droite (ordonnées négatives)" m'a fait penser que la gauche de A était nécessairement d'abscisses négatives, car pour moi mettre des parenthèse avec juste un groupe nominal à l'intérieur à côté d'une expression revient à donné une équivalence à cette expression;
Exemple :" j'ai mangé des bonbons (à la fraise) " j'aurai tendance à penser que les bonbons mangés sont uniquement à la fraise.
Je suis très attentive à ce que tu écris et je fais du mieux que je peux, maintenant oui je fais peut être des erreurs d'inattention, je m'en suis déjà excusée, mais c'est parce que c'est une question sur laquelle j'ai du mal.

En tout cas merci pour ton aide, et bon réveillon

Oui je sais que c'est de ma faute, mais j'y vois flou sur ce sujet, et donc j'ai même du mal à comprendre ce que je veux savoir.
D'une façon générale je veux savoir pourquoi le point qui minimise les coût correspond au seul point de tangence entre une des droites d'isocoût et l'isoquante.
De plus mon domaine n'est pas les maths alors je vais avoir tendance à en parler d'une façon plus littérale et économique que mathématiques.
Oui c'est le graphe d'une fonction convexe décroissante de R+ dans R+
La limite en 0 est +l'infini dans la mesure où si la quantité de travail utilisée se rapproche de de zéro il faudra une quantité de plus en plus grande de capital pour permettre au niveau de production de rester constant.
La limite en +l'infini est 0 dans la mesure où si la quantité de travail utilisé de plus en plus grande il faudra une quantité de capital de plus en plus faible pour permettre au niveau de production de rester constant