Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Si c'est le source de rand dont tu as besoin pour que Gérard te donne son avis, alors voilà :

Par ailleurs, je me demande si le résultat que tu as montré n'est pas plutôt celui que j'ai obtenu en PHP.
De mémoire, dans une vieille discussion tu te demandais d'où venait la limite de 30 valeurs lues pour une même chose. Là, tu en utilises 16, c'est un peu mesquin.

Tout simplement parce que si le résultat d'un tirage ne convergeait pas rapidement vers la moyenne, cette méthode serait sans intérêt. Si je me souviens bien, c'était assez bien expliqué dans l'article de Wiki. Or, ta loi loi uniforme ne converge vers rien de particulier. C'est le tirage aléatoire qui provoque la convergence rapide. Cf TCL.

J'ai fait de petits essais et c'est assez marrant.
Donc, la méthode est la suivante : à mon code dans le message #86, j'ai rajouté une boucle de 1 à 10, et je cumule les résultats dans Res. Après la boucle 'fois', je calcule l'emq sur le contenu du tableau Res. Le premier coup la moyenne est 100, le second 200 etc.
Jeu=0 Moy=100.00 Emq=9.46
Jeu=1 Moy=200.00 Emq=10.03
Jeu=2 Moy=300.00 Emq=10.20
Jeu=3 Moy=400.00 Emq=9.51
Jeu=4 Moy=500.00 Emq=9.60
Jeu=5 Moy=600.00 Emq=9.85
Jeu=6 Moy=700.00 Emq=9.62
Jeu=7 Moy=800.00 Emq=9.45
Jeu=8 Moy=900.00 Emq=9.16
Jeu=9 Moy=1000.00 Emq=9.11

On observe que l'Emq reste constante. On vérifie ainsi les notions connues
1- Le nombre de mesures ou d'observations a peu d'influence sur le résultat, tout au moins à partir d'un certain nombre.
2- L'Emq étant constant, ou presque, la précision relative augmente avec le nombre de mesures. Ce n'est pas contradictoire avec la constatation précédente.

Absolument. Je résume ces propriétés
1- La moyenne arithmétique est la valeur le plus probable de l'objet observé ou mesuré.
2- La loi uniforme n'a pas d'écart-type. C'est le résultat d'un tirage aléatoire suivant cette loi qui a un écart-type.
3- On ne peut parler de variance ou d'écart-type que dans le cal où le résultat suit la répartition dite "normale". Mais rien n'interdit de calculer l'écart moyen quadratique et l'écart moyen arithmétique. Si le rapport de ces deux valeurs est proche de 1.25, alors on peut considérer que la série résulte d'un tirage aléatoire.

@Léon,
""Un bon RNG doit produire des résultats "normaux" dans tous les cas, peu importe comment il s'y prend. "
Désolé, ça c'est une hérésie mathématique.
Je soupçonne certains logiciels de procéder comme ça.
Si tu veux continuer la discussion, précise le protocole et les tests. Là, tu fais de la philosophie.
Y'a un point que tu n'as pas évoqué, à partir d'une expérience aléatoire équiprobable, notion de base dans tous les générateurs, on obtient une répartition normale, ou presque, de la répartition des écarts à la moyenne. Cela ne t'empêche pas de dormir ?

A mon avis, si on veut tester un génarateur, il faudrait le faire avec un truc plus simple et un dé à 100 faces. par exemple :

Là, on peut faire des comparaisons.

Voila la répartition.

Bon, j'ai dit que je ne participais plus, mais comme ça m'intéresse ... alors.
Mon avis
1- tout ceci repose sur des considérations très compliquées, comme la gestion mémoire. Par exemple, le terme multiplicatif n'a certainement pas été pris au hasard. Je sais qu'il y a d'autre formules, mais je n'ai pas retrouvé ce que je cherchais sur le net.
2- un logiciel interprété résout très simplement des opérations simples, par contre, dès qu'on attaque des opérations répétitives, ce qui est notre cas, on ne sait pas très bien ce qui se passe, à part des gens hyper-pointus sur le sujet, ce qui n'est pas mon cas.
3- dans le contexte de langage interprété d'un éditeur de logiciel dont je garantis le sérieux, j'ai constaté des anomalies que je n'ai réussi à expliquer que par une interaction anormale entre la saisie et l'exécution (UNIX et/ou Windows). Naturellement ce genre d'anomalie n'est pas reproductible.
4- dans l'état actuel des machines, l'exécution d'un programme .exe donnera toujours les mêmes résultats avec les mêmes hypothèses. Je n'en dirais pas autant avec un programme interprété, sauf calcul très simple.     
5- concernant l'anomalie d'exécution avec ma fonction dlz_rand, ça ne m'étonne pas vraiment. J'ai une version PHP dans ma machine, j'ai fait ce module dans le contexte qui est le mien, il n'y a pas beaucoup de raison qu'il fonctionne dans un autre contexte.

Pour en revenir au sujet principal, quelle est la question ?
Des différences de résultat pour une opération qui dépend de valeurs inconnues et de méthodes inconnues ? Ca peut durer longtemps.
J'ai constaté avec certains résultats une symétrie suspecte et un rapport ema/emq peu probable. Ceci m'a fait mettre en doute, suite à d'autres constatations, la fiabilité de tirages aléatoires réalisés par certains langages interprétés à finalité mathématique affichée.

Je sais bien que cette affirmation sera contredite par Léon "une expérience de loi uniforme produit une série de nombres dont les écarts à la moyenne arithmétique est conforme à la répartition Normale (loi normale)". Je sais très bien que cette affirmation est considérée comme hérétique, mais c'est exactement ce que dit le TCL.
Je veux bien continuer à jouer, si on précise les règles du jeu.

Voila le code PHP
<html>
<head>
<title>Test de générateur</title>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1">
</head>

<BODY  LINK=gold VLINK=gold alink=snow text=gold bgcolor="#055090">

<?php
//---------------------------------------------------------------------------
  $FicEcr=fopen("G:\\BC++B6\\Console\\TestRand.txt","at");
  if ($FicEcr == NULL)
  {
    echo("Le fichier n'existe pas\n");
    return;
  }
  $Seed_lo = (double)microtime()*1000; //)(int)1111;
  settype($Seed_lo,"integer");
  $MULTIPLIER = (int)0x015a4e35;
  $INCREMENT = (int)1;
  echo("Initialisation Seed=" . $Seed_lo . " Mul = ".$MULTIPLIER." Inc = ".$INCREMENT."<br>");
  fprintf($FicEcr,"Initialusation Seed_lo=%d\n",$Seed_lo);
  function dlz_rand()
  {
    global $Seed_lo;
    global $MULTIPLIER;
    global $INCREMENT;
//    echo("Seed=" . $Seed_lo . " Mul = ".$MULTIPLIER." Inc = ".$INCREMENT."<br>");
    $Seed_lo = (int)($MULTIPLIER * $Seed_lo + $INCREMENT);
    $s= (int)($Seed_lo >> 16) & 0x7fff;
//    echo($s." ");
    return($s);
  }
//  mt_srand((double)microtime()*1000000);
  echo("Début du traitement  RAND_MAX= ".getrandmax()."\n<br>");
//  fprintf($FicEcr,"Début du traitement  RAND_MAX=%d\n",getrandmax());
  $Nb=12000; //000;
  $Memq=0.0;
  $emqMin=10000.0;
  $emqMax=0.0;
  $NbFois=100;  // à terme = 100
  for ( $fois=0; $fois < $NbFois; $fois++)
  {
// on réalise $NbFois fois l'expérience suivante
//    int Res[16];
    for ($i=0; $i<16; $i++) $Res[$i]=0;
// tire à pile ou face 16000 fois, chaque groupe de 4 résultat successif forment un nombre de 0 à 15
    for ($i=0; $i<$Nb; $i++)
    {
      $ra=dlz_rand(); $a=$ra%2;
      $rb=dlz_rand(); $b=$rb%2;
      $rc=dlz_rand(); $c=$rc%2;
      $rd=dlz_rand(); $d=$rd%2;
      $r=$a*8 + $b*4 + $c*2 + $d;
      $Res[$r]++;
/*
if ($i < 20)
{
//sprintf("a=%d b=%d c=%d d=%d r=%d\n<br/>",$a, $b, $c, $d, $r);
fprintf($FicEcr,"a=%d b=%d c=%d d=%d r=%d\n",$a, $b, $c, $d, $r);
}
*/
    }
    $moy=$Nb/16.0;
    $emq=0.0;
// Calcul de l'erreur moyenne quadratique appelée "écart-type"
    for ($i=0; $i<16; $i++)
    {
      $emq = $emq + ($Res[$i]-$moy)*($Res[$i]-$moy);
    }
    $emq=sqrt($emq/16.0);
    $Memq = $Memq + $emq;
    $emqMin= $emq < $emqMin ? $emq : $emqMin;
    $emqMax= $emq > $emqMax ? $emq : $emqMax;
// impression de l'emq dans un fichier texte
//    sprintf("emq=%0.3f \n<br/>",$emq);
//    fprintf($FicEcr,"%0.3f\n",$emq);
//    for ($i=0; $i<16; $i++) fprintf($FicEcr,"%d\n",$Res[$i]);
  }
  $Memq/=$NbFois;  //100.0;
  fprintf($FicEcr,"Nb=%d  emqMin=%0.3f emqMax=%0.3f emqMoy=%0.3f\n",
             $Nb,$emqMin,$emqMax,$Memq);
  return;
?>
</body>
</html>

Oui, ce que indiques, ce sont des définitions (moyenne et écart-type). Il existe pas mal de "test de normalité". Le mien (10 classes) tu le connais, puisque je l'utilise régulièrement. L'appréciation est visuelle. Par exemple une symétrie parfaite est suspecte, ainsi qu'une dissymétrie importante. Le test ema/emq (conseillé pas Paul Lévy) me parait intéressant.
Le PHP a été fait pour créer des pages HTML, il est pas vraiment fait pour des simulations. Donc je rame.

Bonsoir,
Il me semble que le TCL est très clair, et celà correspond exactement à ce que j'ai toujours su, quelle que soit l'expérience, la répartition des écarts à la moyenne est conforme à la loi normale.
Autrement, il peut y avoir des quantités de lois expérimentales, la plus connue est la loi de probabilité égale (loi uniforme), la répartition des écarts à la moyenne est conforme à la loi normale.
L'exemple simple que j'ai déjà cité, on lance un dés à 6 faces ordinaire une trentaine de fois. Chaque face a une chance sur 6 d'apparaitre. On comptabilise le nombre de sorties de chaque face. On constate facilement la répartition normale. Et ça on n'y peut rien, c'est toujours comme ça.
Mais à mon avis, on diverge du sujet initiale, le résultat de la fonction rand dans certains langages interprétés.

Juste pour répondre à tes phrases concernant la combinaison des écarts.
Deux cas différents
1- je mesure une quantité en répétant la même opération plusieurs fois, par exemple mesurer une longueur de 1 km avec une chaine de 20 m. (chaine = ruban d'acier). Si e est l'écart-type d'une mesure (rien à voir avec l'écart systématique), alors l'écart-type sur la mesure totale est e.racine(50).
2- je mesure une même quantité un grand nombre de fois. Exemple typique : mesure GPS. Si e est l'écart-type sur une mesure, alors si on fait 100 mesures (je crois que c'est plutôt de l'ordre de 500, bref), l'écart-type sur le résultat est 2/racine(100).

Oui, il est vrai qu'il y a des résultats parfois un peu inattendus. Je ne sais pas ce que tu appelles "fichier de session". Via mon site tout téléchargement est possible. En C, il y a un source, ce que je t'ai copié et qui à part randomize qui peut être remplacé par srand et l'initialisation du fichier "espion.log" qui doit être rajouté, c'est du code C tout à fait standard. D'autre part, il y le fichier exe qui peut être exécuté sur toute machine qui tourne sous Windows.

En fait l'écart entre 25 et 30 ne me tracasse pas, ça peut dépendre de tellement de choses. Par contre que le sens de variation de l'emq par rapport au nombre de tirages, là ça me dépasse.

Là j'essaye de réfléchir tout haut : On effectue l'opération suivante.
Un certain nombre de fois, on tire à pile ou face 4 pièces. Le résultat multiplié par les puissance de 2 entre 0 et 3 produit un nombre décimal de 0 à 15. On compte le nombre d'occurrences de chacun de ces nombres. La moyenne est le total divisé par 16, parce qu'il y a 16 résultats possibles. Les écarts entre le nombre de chacun des résultats et la moyenne est l'écart observé. C'est là que j'ai fait une erreur dans ma dernière version : je calcule la moyenne observée (moyenne arithmétique) au lieu d'utiliser la moyenne théorique qui est Nb (ex. 16000) divisé par 16. J'en ai profité pour passer en double.
Fin de réflexion.     

Je vais essayer de finir mon code PHP.   

Mais, en ce qui me concerne, le problème principal est que tu considères que l'écart-type varie dans le même sens que le nombre d'observations de la même chose, et surtout que tes simulations le vérifient. Si on prend la formule de Köenig, lorsque n tend vers l'infini, la variance tend vers zéro.

NbTirages = 32000  emq moy=6.868 Min=3.674  Max=10.428
NbTirages = 12000  emq moy=24.286 Min=18.695  Max=28.410

A mon avis l'explication est très simple : ta loi binomiale calcule suivant un triangle. Les probabilités sont conforme à la répartition de la loi normale, cf. TCL, c'est à dire que la représentation des écarts est celle de la courbe de Gauss..
A mon avis, tu fais un amalgame ou une confusion entre les proportions et les probabilités.
En matière de probabilités le principe est très simple, plus le nombre de mesures ou d'observation est grand, meilleur est la précision du résultat, mathématiquement, cela se traduit par une diminution de l'intervalle d'incertitude, c'est à dire par une diminution de la valeur numérique de l'écart-type.
Quand je dis que je n'ai plus envie de jouer, je suis vraiment sérieux. Si on veut jouer, il faut que chacun accepte les règles du jeu. J'ai l'impression que ce n'est pas ton cas. Le TCL est très clair, le résultat d'une expérience aléatoire est conforme à la loi normale. La loi binomiale et surtout ses formules n'ont rien à voir ici.
Il me parait tellement évident que plus on fait d'observations d'une même chose, meilleure sera la précision, donc plus petit sera l'écart type. (pardon, je me répète).
Je sais bien, parce que plusieurs personnes compétentes me l'on dit, que les notions élémentaires de probabilité étaient peu connues. J'y peux rien. Le drame, c'est que c'est au programme dès le lycée. Souviens-toi des discussions à propos du biais. Il s'agit d'une notion inventée par les mathématiciens et qui possède trois définitions différentes et impossibles à uniformiser.
Encore une fois, je sais que je suis hérétique, mais ce qui me rassure, c'est que je ne suis pas le seul.     

J'ai lu dernièrement un cours de préparation à l'agreg (lien donné par ton ami Sy.). Il "démontre" ou affirmé A puis dit que A==>B, puis B==>C ... donc C==>A. Je simplifie, mais je suis sérieux. Doc et commentaire à ta disposition.

Pour conclure, j'ai plus envie de jouer. Mais, et c'est mon doit, ça ne m'empêche pas de réagir si l'occasion se présente.
Bonne nuit.