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Bonjour,

L'explosion a lieu près de la surface, ou à une profondeur négligeable devant la distance en cause, de sorte que l'onde de choc se propage dans les deux milieux à partir du même instant initial (t₀ = 0).
La distance séparant le lieu de l'explosion des récepteurs acoustiques placés dans l'eau (milieu 1) et dans l'air (milieu 2) vérifie alors:
L = v₁.t = v₂.(t + t_déc)
avec un décalage de temps t_déc = 1.00 s.
La solution L = F(v₁, v₂, t_déc) n'est pas difficile à trouver.

J'ai regardé sur ma calculatrice le comportement de la suite double vérifiant:
a₀ = 44
b_n = 44*a_(n-1)
a_n = b_n (mod 10^c)  ( pour tout n>0 )

Il semble que la suite devienne périodique à partir du seuil (l) pour lequel on observe pour la première fois
b_l > 10^c
et admette pour période: p = 2*5^(c-1) .
J'ai trouvé:

Je n'ai pas le temps de mettre tout cela en forme, mais je crois qu'il y a de ce côté une piste pour un calcul raisonnable du nombre 44^(44^44) mod 10⁴⁴ .
Le recours à l'arithmétique modulaire permet de limiter le nombre de chiffres.

Bonjour,

À-priori faux: une telle liste complète des réels de [0 ; 1[ (par exemple) ne peut exister, puisque pour toute liste supposée définie:
R₁ = (d₁¹ , d₁² , d₁³ , ... , d₁^j ... )
R₂ = (d₂¹ , d₂² , d₂³ , ... , d₂^j ... )
R₃ = (d₃¹ , d₃² , d₃³ , ... , d₃^j ... )
...
R_i = (d_i¹ , d_i² , d_i³ , ... , d_i^j ... )
...

on peut trouver trouver de nouveaux réels qui n'en font pas partie, par exemple en posant:

S = (F(d₁¹) , F(d₂²) , F(d₃³) , ... , F(d_k^k) ... )
avec: F(d) = (d + 1) Mod 10  - soit F(d) = d + 1 si (d < 9) sinon F(9) = 0 .
(S) diffère ainsi de chacun des termes précédents (R_k) au niveau de la décimale de rang (k).

C'est je crois le principe de la démonstration de Cantor, si je l'ai bien comprise ...
On en revient à ce qui a déjà été dit: les réels de [0 ; 1[ ne sont pas dénombrables.

C'est effectivement plus sournois qu'il y paraît, puisque l'équation différentielle admet aussi pour solution triviale:
y₀ = 0 , que j'avais laissée de côté.

On est ainsi conduit à une infinité de solutions continues et continûment dérivables, dépendant d'une constante réelle (C) supérieure ou égale à zéro, et vérifiant:
# y = 0   (si x <= C) ;
# y = [(x - C)/4]⁴   (si x > C).

Le problème est bien présenté ici.

Bonjour,

On peut effectivement envisager une généralisation de l'énoncé, afin de parvenir à une meilleure compréhension du problème.

Tout tient aux relations liées à l'existence d'une solution:
(2d): 2b + c = 0 (Mod 3) ,
(3d): b + 2c = 0 (Mod 3) .

Il suffit donc d'introduire le quotient et le reste de la division par 3 des données précédentes, en posant:
b = 3K_b + b₁
c = 3K_c + c₁
pour obtenir:

6K_b + 2b₁ + 3K_c + c₁ = 0 (Mod 3)
3K_b + b₁ + 6K_c + 2c₁ = 0 (Mod 3)

soit finalement deux conditions portant sur deux entiers du domaine [0 ; 2], et conduisant à 3² = 9 cas à examiner:
(2e) 2b₁ + c₁ = 0 (Mod 3) ,
(3e) b₁ + 2c₁ = 0 (Mod 3) .

Le tableau ci-dessous contient les valeurs des couples (u = 2b₁ + c₁ , v = b₁ + 2c₁):
C1 \ B1                     0                 1                 2

  0                        (0,0)            (2,1)            (4,2) 

  1                        (1,2)            (3,3)            (5,4)

  2                        (2,4)            (4,5)            (6,6)

L'énoncé n'admet finalement de solution que si (et seulement si) u = v , soit d'une manière équivalente:
b - c = 0 (Mod 3) .

Bonjour,

Je crois que ce problème admet une solution graphique relativement simple (quoi que j'ai perdu beaucoup de temps avant de la trouver !).

Sur la matrice des rencontres d' indices (i, j) relatifs aux équipes présentes, l'ensemble des matchs (rencontres, tournois) figure sur le domaine triangulaire supérieur (j > i), situé au-dessus de la diagonale principale définie par la relation: i = j .
Le nombre total de rencontres correspond au nombre de combinaisons de deux indices: N_tm = N_eq(N_eq - 1)/2 = 21*20/2 = 210 .

Par ailleurs le nombre d'équipes en compétition étant impair (N_eq = 21), le nombre de matchs est multiple du précédent:
on peut en effet écrire: N_eq = 2K + 1 , d'où: N_tm = (2K + 1)*(2K)/2 = (2K + 1)*K = N_eq * K ,
et regrouper les rencontres sur un nombre d'ateliers (N_at = K = 10) dont chacun accueillera (N_eq) rencontres.

La partition du domaine triangulaire en (K) sous-ensembles est immédiate, en raison de la parité de (K): il suffit d'apparier les 2K = 20 rangées parallèles à la diagonale principale, de telle sorte que le nombre total d'éléments reste égal à N_eq, soit 21.

Voici l'aspect du tableau obtenu:

La simplicité du graphique vient finalement de ce que l'on a (K) pair, donc un nombre d'équipes de la forme: N_eq = 4K' + 1
soit encore: N_eq = 1 (mod 4).
Pour toute autre valeur, on pourra ajouter des équipes fictives (et donc des rencontres virtuelles) afin de se ramener au cas précédent.
Je n'ai pas le temps de poursuivre, cependant la programmation d'un tableau ne devrait pas présenter de difficultés.

J'ai regardé quels arrangements pouvaient apparaître spontanément dans un nuage de (N) points en répulsion mutuelle, chacun d'eux subissant de la part de ses voisins une force en (1/r_ij³):
F_ji = (1/M_jM_i)⁴.M_jM_i     (1 <= j <= N , j<>i)
et par ailleurs une force centrale de rappel proportionnelle à (r_i⁵):
F_i = (-k*OM_i⁴).OM_i
qui maintient le système dans un domaine circulaire centré sur l'origine.

Une fois atteintes les positions d'équilibre, on a défini le rayon limite R_lim = (1/2)*Min(M_jM_i) et la distance maximale des points au centre: D_max = Max(OM_i); toutes les coordonnées ont ensuite été multipliées par le rapport r = 1/(D_max + R_lim), de sorte qu'on observe sur l'image (N) cercles identiques de même rayon (R = r*R_lim), tangents à leurs plus proches voisins, et dont les plus éloignés sont eux-même tangents au grand cercle de rayon (1).

Bien qu'il n'intervienne aucune distance prédéfinie dans l'algorithme, celui-ci permet de connaître (à défaut du rayon maximal des petits cercles) la disposition mutuelle de leurs centres; les figures présentent au moins un ou deux axes de symétrie, quand ce n'est pas un axe de révolution dont l'ordre peut atteindre (8):

# Arrangements de 5 à 12 cercles

# Arrangements de 13 à 20 cercles

Bonjour,

Je reviens sur ce sujet après suppression d'un premier commentaire, faute d'avoir bien saisi la méthode à prendre.

Soit 1°) un grand cercle de rayon (R), centré en (O) et contenant (N) autres cercles qui lui sont concentriques, et dont les rayons successifs sont en progression arithmétique: R_k =  2ka , avec a = R/(2N + 1) .
2°) un ensemble de (N') petits cercles de rayon (a), dont les centres sont régulièrement disposés sur les cercles intérieurs précédents, à égale distance de leurs plus proches voisins, et en nombre proportionnel au rayon (N'_k = 6k)
a) à l'exception cependant de l'un d'entre eux , positionné en (O);
b) et de telle sorte qu'il y ait alignement de (2N + 1) centres selon trois directions mutuellement orientées à 60°, et concourant au centre (O).

# Sur ces trois droites, les petits cercles sont en contact avec leurs voisins, les centres correspondants étant séparés par la distance
l = R_k+1 - R_k = 2a(k + 1) - 2ak = 2a ;
les petits cercles extrêmes sont de même tangents au grand cercle délimitant le domaine, puisque leur centre est distant de la grande circonférence d'une longueur égale à : l' = R - 2Na = a(2N + 1) - 2Na = a .

# Les centres de deux petits cercles consécutifs situés sur la circonférence intérieure de rayon (R_k) (et qui en contient N'_k = 6k) délimitent par ailleurs un segment de longueur:
d_k = 2R_k.Sin(2$\pi$/(2N'_k)) = 2.2ka.Sin(2$\pi$/(2.6k)) = 4ka.Sin($\pi$/6k)

fonction croissante de (k), supérieure à (2a) et admettant pour limite: d ~ 4ka.($\pi$/6k) = 2($\pi$a/3 = 2.0944a .

Le nombre de petits cercles ainsi disposés dans le grand  est:
N' = 1 + N'₁ + N'₂ + ... + N'_N = 1 + 6(1 + 2 + ... + N) = 1 + 3N(N + 1) ;
on observe donc une distribution très proche de la distribution optimale (correspondant à la plus grande valeur possible de (a)) pour les nombres de petits cercles suivants:

Pour des nombres différents des valeurs remarquables précédentes, on peut envisager une disposition analogue, mais lacunaire; la plus désavantageuse du point de vue du taux d'occupation correspondrait aux valeurs: 8, 20, 38 ... etc .

D'autres approches, relevant d'un calcul programmé, sont possibles, par exemple:
a) placer un nombre donné de petits cercles de diamètre maximal sur le plus grand cercle intérieur, puis voir de proche en proche combien d'autres peuvent être ajoutés, d'une façon analogue, plus près de centre;
b) envisager l'évolution d'un nuage de (N) points confiné à l'intérieur du cercle de rayon (R) sous l'effet de forces répulsives; le système atteint un état d'équilibre pour lequel les distances sont maximales - mais l'algorithme est assez lourd à écrire.

Bonjour,

Le malaise vient sans doute de ce qu'un malentendu s'est glissé dans l'énoncé du problème:

1°) Le vecteur unitaire normal que tu as calculé se réfère à une surface particulière - et se restreint donc à l'ensemble des points vérifiant l'équation cartésienne
ax² + by² + cz² = 1 
- tandis que l'opérateur rotationnel s'applique à une fonction vectorielle V_{(x, y, z)} définie sur $\mathbb{R}^3$ .

Tout rentre dans l'ordre si l'on considère la famille d'ellipsoïdes coaxiaux d'équation: ax² + by² + cz² = K ;
le vecteur gradient correspondant V_{(x, y, z)} = 2ax.u_x + 2ay.u_y + 2az.u_z conduit à un rotationnel nul, conformément à la relation:
Rot(Grad(U)) = 0 indirectement évoquée par Fred.

2°) C'est d'ailleurs probablement de cela qu'il s'agissait dans l'ouvrage cité, (n) pouvant correspondre au vecteur champ électrique
E = - Grad(U_{(x, y, z)}), normal en tout point à l'équipotentielle d'équation U_{(x, y, z)} = K .

3°) Il suffit de reprendre l'expression du vecteur unitaire (u) normal à une surface d'équation U_{(x, y, z)} = K
u = N^-1.Grad(U)  avec N = ║Grad(U)║
pour constater que - sauf cas très particulier - Rot(u) n'est pas identiquement nul.

Bonjour,

Pour que la rupture d'un câble déconnecte un minimum de machines, il faut que la liaison avec Internet soit établie au voisinage de la racine, et que dans la même région le degré de chaque noeud soit maximal.

Exemple: si la racine (N₁) est reliée à quatre noeuds voisins (N₂ ... N₅), eux-même racines de 4 sous-graphes d'importance comparable, il y aura au pire déconnexion du quart des ordinateurs.

Le noeud en liaison directe à Internet le plus avantageux sous ce rapport est celui (ou l'un de ceux) pour lequel (ou lesquels) la plus petite distance aux noeuds les plus éloignés est maximale (ou proche du maximum).
Il est difficile d'être plus précis faute d'informations sur la structure du graphe étudié.

# Il me vient une une idée simple: supprimer toutes les extrémités des branches du graphe (noeuds de degré 1); le renouvellement de l'opération jusqu'à disparition quasi-totale des sommets conduira à une suite de matrices d'adjacence (M₀, M₁, ... M_n) présentant un nombre décroissant d'éléments non-nuls.
Les derniers noeuds épargnés par cet élagage devraient constituer des solutions intéressantes, sinon optimales.

J'ai lu attentivement vos réponses, et je ne vois toujours pas comment extraire la solution de l'ensemble des valeurs possibles.
J'avais effectivement (mais en vain) cherché dans l'énoncé une contrainte concernant le chiffre des unités.

En introduisant en effet le quotient et le reste de la division euclidienne q = m (Div 10) et r = m (Mod 10), il vient:
m = 10.q + r d'où: m^k = 10.q' + r' ,
avec: r' = r^k (Mod 10) , suite périodique de courte période, de valeur 1 (dans le cas où r = 0 , 1 , 5 , ou 6), 2 (pour r = 4 ou 9) ou 4 (pour r = 2 , 3 , 7 ou 8).

L'exposant étant donné: k = 1789 = 0 (Mod 1) ou 1 (Mod 2 ou 4), il était donc à priori facile de s'assurer de la vérification d'une contrainte supplémentaire sur la liste des 10 termes possibles, situés dans [8171 ; 8180] ... Mais je ne vois toujours pas de quoi il s'agit.

PS: Je m'aperçois en corrigeant quelques inexactitudes que c'est encore plus simple que prévu: (m) et (n) admettent le même chiffre des unités.

Traduisons donc en Turbo Pascal le pseudo-code qui nous est fourni, en gardant les noms des diverses variables, autant que faire se peut. Cela donne pour l'essentiel

Notons au passage les huit lignes de code (au lieu de cinq) résultant de l'indentation indispensable à l'intelligibilité du texte.

On ne tarde pas à s'apercevoir, dès le lancement du programme, que l'algorithme est erroné (par défaut d'une paire de délimiteurs BEGIN ... END) et conduit à des résultats systématiquement faux:

Tout rentre dans l'ordre dès que l'on déplace les deux dernières instructions d'affectation:

Une simple calculatrice permettait de contrôler la validité du résultat sur des nombres de cinq chiffres.
Pour s'assurer de la fiabilité du code sur les grands nombres, il suffit de vérifier l'identité des deux résultats obtenus en base 100 et 10000; l'algorithme est dans ce cas élémentaire.

Autre aspect concernant le choix des bases: la séquence de quatre bytes (9, 9, 9, 9) correspond à quatre octets; l'entier Word équivalent (9999) n'en occupe que deux, soit un espace mémoire deux fois moindre; d'où l'intérêt de choisir (pour le même algorithme) la base la plus élevée (10⁴), l'avantage devenant décisif pour les très grands nombres, dans le cas du Turbo Pascal 7.