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On en a besoin pour le terme $[g(x)\varphi(x)]$

Elle vaut $g(x)=x$ sur $[0,2\pi[$, ensuite, elle est périodique (j'ai mis ouvert à droite car elle est discontinue).
Essaie de trouver son expression sur $[2\pi, 4\pi[$ par exemple

Il n'y a aucune raison que $\varphi(2(k+1) \pi)= \varphi(2k\pi)=0$. Imagine une fonction plateau qui vaut $1$ sur $[-1000000,+1000000]$, il y a plein de points $2k\pi$ où elle vaut $1$ !
De plus, tu as fais une erreur de signe sur $[uv]_a^b$ ! De plus, il y a une somme (ce n'est pas juste $k$)
Pour la somme des intégrales, il faut reconstituer une intégrale sur $\mathbb{R}$.

Attention à ce que tu écris.
D'abord, $\varphi$ est quelconque, on ne pas imposer une condition sur sont support (autre que support compact). Donc quand tu dis : $\varphi$ telle que $Supp(\varphi)= \cup_{k \in \mathbb{Z}} ]2k \pi, 2(k+1) \pi[$, tu commets plusieurs erreurs :
- Tu imposes une condition au support (égal à une réunion d'ouverts)
- Une réunion d'ouverts et un ouvert, le support étant compact, cette condition est toujours fausse
- Vu la plage de $k$, la réunion que tu écris est $\mathbb{R} \setminus \{2k\pi\ |\  k \in \mathbb{Z}\}$, c'est à dire $\mathbb{R}$ presque entier.

Il faut que tu fasses un dessin pour bien voir les choses. Le truc est que comme $\varphi$ est nulle en dehors de son support, peu importe si on "déborde" à droite ou à gauche du support, du moment que ça reste borné.
Comme le support est compact, tu peux toujours trouver deux réels $R_1$ et $R_2$ qui l'"encadrent", c'est à dire, tels que $Supp(\varphi) \subset [R_1,R_2]$. Ensuite, il faut que tu partitionnes $[R_1,R_2]$  avec des intervalles de la forme $[2k\pi, 2(k+1)\pi]$. Donc, il existe $k_1$ tel que $2k_1\pi \le R_1$ (prendre $k_1=\lfloor \dfrac{R_1}{2\pi}\rfloor$) et $k_2$ tel que $R_2 \le 2(k_2+1)\pi$ ((prendre $k_2=\lfloor \dfrac{R_2}{2\pi}\rfloor$).

On a donc $\displaystyle Supp(\varphi) \subset [R_1,R_2] \subset \cup_{k=k_1}^{k2}[2k \pi, 2(k+1) \pi]$

Pour toute fonction $f \in L^1_{loc}$, on a $\displaystyle \int_{\mathbb{R}} f\varphi d\mu = \sum_{k=k_1}^{k_2} \int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} f\varphi d\mu$

Bonsoir,
Je ne pense pas que tu puisses affirmer aussi simplement que la suite diverge.
Certes la série $\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ diverge (minorée par la série harmonique), mais ici, il y a un terme $-2\sqrt{N}$ qu'il s'agit de prendre en compte

Oui, tu as raison, je n'ai pas fait attention.
Ce qu'on veut, c'est un intervalle fermé qui contienne le support (le support est compact, donc borné, donc inclut dans un intervalle fermé).
Avec $\Omega=\mathbb{R}$, on choisit des intervalles du type $[-R,R]$, symétriques par commodité (ce n'est absolument pas nécessaire). ça permet de dire $\exists R > 0$ tel que blabla
Ici, on a le choix entre :
$\exists\ 0<a<b<\pi$ tels que $Supp(\varphi) \subset [a,b]$. On aura alors $\varphi(a)=\varphi(b)=0$
Ou, si on veut un intervalle symétrique autour de $\dfrac{\pi}{2}$ :
$\exists a>0$ tel que $Supp(\varphi) \subset [a,\pi-a]$. On aura alors $\varphi(a)=\varphi(\pi-a)=0$

Comme freddy, je m'immisce puis disparais ;-)
Ecrire $2^{n+1}u_{n+1} - 2^{n}u_{n}$, puis faire un changement d'indice, ça devrait être immédiat après.

Bonne fêtes (for what it worth)

Tu y es presque !
Il ne faut pas oublier que tu es dans $\mathcal{D}'(]0,\pi[)$, dans $\varphi(0)$ et $\varphi(\pi)$ ne sont pas vraiment définis. En réalité, les bornes d'intégration vont être $\int_{-R}^R$ avec $[-R,R]\subset ]0,\pi[$ et $\varphi(R)=\varphi(-R)=0$.
Il ne te restera alors que l'intégrale (pas de termes $\delta_0$ ou $\delta_\pi$).
Tu pourras la simplifier (en écriture) en introduisant la fonction $\rm{sgn}(x)$ qui vaut $1$ si $x > 0$, $-1$ si $x < 0$ et $0$ si $x=0$.

Une autre approche, plus "distribution like", est de constater que $|\cos(x)|=\rm{sgn}(\dfrac{\pi}{2}-x)\cos(x)$, de calculer la dérivé de $\rm{sgn}(x)$ via la formule des sauts : $\rm{sgn}'(x) = 2\delta_0$, de dériver avec la formule de Leibniz le produit $\rm{sgn}(\dfrac{\pi}{2}-x)\cos(x)$ et de constater que, comme $\cos(\dfrac{\pi}{2})=0$, alors $\cos(x)\delta_{\frac{\pi}{2}}=0$

Non !
Je t'ai dit qu'il manque la dérivée du cosinus dans ton IPP

L'intégration par partie est incorrecte

C'est quand même très simple !
je veux montrer que $(\forall x \neq 0, \varphi(x)=0) \implies \varphi = 0$.
Donc,je commence par supposer que la prémisse de l'implication est vraie. Comme manifestement $\dfrac{1}{n} \neq 0$, alors $\varphi(\dfrac{1}{n})=0$
Ce qui permet de conclure, c'est la continuité de $\varphi$. Elle ne peut pas être nulle proche de $0$ et non nulle juste en $0$. La limite permet d'exprimer ça.
On peut se passer de ça et exprimer juste le fait que $\varphi$ étant continue en $0$, si est non nulle en zéro, alors elle est forcément non nulle sur un voisinage de $0$, et ce voisinage contient forcément des éléments non nuls.

Petit exercice : montrer que $(\forall x \neq 0, \varphi(x)=0) \implies \varphi = 0$