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#351 Re : Entraide (collège-lycée) » Étude d.'une fonction exp » 14-05-2024 19:36:56
Je crois que l'explication se trouve peut-être dans l'attrait que représentent ces équations : elles sont simples car n'ayant pas d'autres coefficients que $1$ et $-1$.
#352 Re : Entraide (collège-lycée) » Étude d.'une fonction exp » 14-05-2024 19:33:15
Snif ! Je désespère Cailloux ! :-(
Je note qu'un certain nombre d'exercices tournent autour des équations
$x^2 + x -1 = 0$ ,
$x^2 - x -1 = 0$ ,
$-x^2 + x + 1 = 0$ ,
$-x^2 - x + 1 = 0$
aboutissant toutes, sans le dire explicitement, au nombre d'or.
Cette observation revient suffisamment de fois pour faire douter qu'il s'agisse d'un phénomène fortuit.
Je n'aurais pas initié ce débat si ce n'était pas la n-ième fois (intuitivement, de l'ordre de 50 ou 60, peut-être davantage) que j'ai la surprise de voir apparaître le nombre d'or dans un exercice de Première ou de Terminale semblant n'avoir aucun rapport avec celui-ci, souvent, comme ici, à la fin de l'exercice.
#353 Re : Entraide (collège-lycée) » Étude d.'une fonction exp » 14-05-2024 18:38:32
Notre ami Borassus semble penser qu'en retournant un quelconque caillou, on trouve systématiquement ce nombre d'or.
En retournant plusieurs cailloux, on trouve toute une mine de nombres d'or. :-)
#354 Re : Entraide (collège-lycée) » Étude d.'une fonction exp » 14-05-2024 18:33:28
Mais pourquoi pas $100000$ ?
Pourquoi alors faire démonter en première partie que $e^{2\alpha}$ est égale à la fraction spécifiée en $\alpha$ ?
Car c'est bien cette égalité, et pas une autre, qui aboutit au nombre d'or !
Hypothèse : L'auteur est probablement parti de la symétrie des signes que je mentionnais plus haut.
Le fait d'intégrer $\alpha$ dans $f$ est une façon naturelle de faire dans ce genre d'exercice.
(Un classique du genre : étude de deux fonctions $f$ et $g$, la dérivée de $f$ faisant intervenir $g$, et $g$ s'annulant pour une valeur $\alpha$. On demande en fin d'exercice de montrer que $f(\alpha)$ s'écrit selon une certaine expression (1) .)
Or, cette intégration aboutit à l'égalité demandée, qui aboutit à l'inéquation $\alpha ^2 - \alpha - 1 \le 0$, qui, elle, aboutit à notre fameux nombre d'or.
(1) Voici un document que j'avais écrit il y a quelque temps sur ce genre de question : https://www.cjoint.com/c/NEorDi3H8CD
Je conseille très vivement à nos amis de Terminale de mémoriser la technique. Elle pourra leur être d'un joli secours le jour J...
#355 Re : Entraide (collège-lycée) » Étude d.'une fonction exp » 14-05-2024 18:10:02
Re,
ou bien il se trouve que partant de cette fonction $f$ on est tombé par hasard sur ce nombre qui vaut de l'or ?!
Quel est le cours actuel du nombre d'or ? :-)
Il est possible en effet que l'auteur de l'exercice ait juste voulu jouer sur la symétrie des signes : 1 - x, exponentielle de + x ; 1 + x, exponentielle de - x.
[ Comment faire pour colorier à l'intérieur d'une expression en LaTeX ? ]
Ceci dit, je note qu'un certain nombre d'exercices tournent autour des équations
$x^2 + x -1 = 0$ ,
$x^2 - x -1 = 0$ ,
$-x^2 + x + 1 = 0$ ,
$-x^2 - x + 1 = 0$
aboutissant toutes, sans le dire explicitement, au nombre d'or.
Cette observation revient suffisamment de fois pour faire douter qu'il s'agisse d'un phénomène fortuit.
#356 Re : Entraide (collège-lycée) » Étude d.'une fonction exp » 14-05-2024 17:48:01
Je n'avais pas compris que tu faisais allusion à ma proposition de l'énoncé, l'extrait que tu cites concernant l'échange entre nous à propos mon étonnement de voir arriver le nombre d'or.
On peut effectivement limiter l'énoncé à
En vous souvenant que, pour tout réel $x$, $e^x \ge 1 + x$, montrer que $\alpha$ est compris entre $1$ et $\dfrac {1 + \sqrt 5} 2$.
en laissant ceux qui le connaissent s'apercevoir qu'il s'agit du nombre d'or.
#357 Re : Entraide (collège-lycée) » Étude d.'une fonction exp » 14-05-2024 17:36:20
A savoir ?
#358 Re : Entraide (collège-lycée) » A propos de l'angoisse du sujet de Grand Oral » 14-05-2024 17:30:05
Bonsoir,
Voici un article libre de Philosophie magazine qui rejoint le sujet de cette discussion : https://www.philomag.com/articles/comme … -219159865
#359 Re : Entraide (collège-lycée) » Étude d.'une fonction exp » 14-05-2024 17:27:05
Bonsoir Cailloux,
L'utilisation de l'inégalité me semble plus jolie. (D'autant plus que, très souvent, la dernière question fait appel à une certaine finesse. C'est pour cela qu'elle est souvent la plus difficile.)
Je pense que l'énoncé de la seconde partie de la question aurait dû être
En vous souvenant que, pour tout réel $x$, $e^x \ge 1 + x$, montrer que $\alpha$ est compris entre $1$ et le nombre d'or $\dfrac {1 + \sqrt 5} 2$.
#360 Re : Entraide (collège-lycée) » Étude d.'une fonction exp » 14-05-2024 17:14:56
Et pour répondre à Borassus, le fait de voir apparaitre le nombre d'or est fortuit. C'est justement parce qu'on compare l'exponentielle (ou le logarithme) à un polynôme... et qu'on obtient une borne qui est racine d'un polynôme... mais on pourrait trouver d'autres bornes plus (ou moins) fine indépendamment du nombre d'or.
Certes, mais l'écriture de l'inégalité $e^{2\alpha} \ge 1 + 2\alpha$ aboutit précisément à la borne du nombre d'or !
Est-il possible que l'auteur ait conçu cet exercice à l'envers en partant volontairement de l'inéquation $\alpha^2 - \alpha - 1 < 0$ ?
(Je suis toujours surpris de découvrir le nombre d'or à la fin d'un exercice ! Et me demande toujours comment l'auteur de l'exercice a procédé !)
#361 Re : Entraide (collège-lycée) » Étude d.'une fonction exp » 14-05-2024 17:07:47
Bonsoir Roro,
Merci de cette indication !
Effectivement, en utilisant directement $e^{2 \alpha} \ge 1 + 2\alpha$, on aboutit à l'équation $\alpha^2 - \alpha - 1 < 0$, qui revient à encadrer $\alpha$ entre $\dfrac {1 - \sqrt 5} 2$ et $\dfrac {1 + \sqrt 5} 2$.
Et comme $\alpha > 1$...
Oui, cette fin de question est plus difficile que les précédentes !
Oui, il aurait été judicieux de rappeler l'inégalité avec l'exponentielle !
#362 Re : Entraide (collège-lycée) » Étude d.'une fonction exp » 14-05-2024 16:43:15
Je sais par expérience que ce genre de question joue à la fois sur $f(\alpha)$ et sur $f'(\alpha)$.
Il semble cependant que je me sois précipité et qu'il s'agisse d'une fausse piste. :-(
#363 Re : Entraide (collège-lycée) » Étude d.'une fonction exp » 14-05-2024 16:32:06
Maintenant, je voudrais qu'on m'explique comment l'auteur de l'exercice a procédé dans sa conception pour faire in fine apparaître le nombre d'or ??
#364 Re : Entraide (collège-lycée) » Étude d.'une fonction exp » 14-05-2024 16:28:59
Je sais par expérience que ce genre de question joue à la fois sur $f(\alpha)$ et sur $f'(\alpha)$.
D'où le réflexe (je reconnais humblement, pas immédiat, car j'avais précisément oublié l'expérience citée ci-dessus) de voir du côté de la dérivée :-) .
#366 Re : Entraide (collège-lycée) » Étude d.'une fonction exp » 14-05-2024 16:20:57
Bonjour Hichsom et Zebulor,
l'égalité du 3b) ne semble être qu'une autre écriture de l'équation $f(\alpha) = 0$
Zebulor, tu m'as devancé de quelques secondes : j'ai découvert ton message au moment où j'allais saisir le mien qui faisait part de la même indication.
Maintenant, Hichsom, il faut réintégrer l'expression de $e^{2 \alpha}$ dans $f'(\alpha)$ en précisant que celle-ci est négative...
#367 Re : Entraide (supérieur) » La limite d'une fonction trigonométrique » 14-05-2024 07:47:13
Bonjour Zebulor,
Je faisais allusion à l'expression, pas forcément à la théologie... :-)
Bonne journée
#368 Re : Entraide (supérieur) » La limite d'une fonction trigonométrique » 13-05-2024 22:50:40
Bonsoir, Cailloux et Zebulor,
Merci de votre acquiescement.
Il y a là une "allergie" que je ne me suis jamais expliquée.
Comme celles du Seigneur, les voies de l'enseignement sont impénétrables... :-)
#369 Re : Entraide (supérieur) » La limite d'une fonction trigonométrique » 13-05-2024 21:12:07
Bonsoir,
Si je peux me permettre, la règle de L'Hospital, c'est quand même nettement plus simple... :-)
#370 Re : Entraide (collège-lycée) » A propos de l'angoisse du sujet de Grand Oral » 13-05-2024 21:09:42
Qu'est-ce que c'est gonflant ces "trop" et ces "pas assez" : "trop ceci" ; "trop cela" ; "pas assez cela" ; "pas assez ceci" !!
Cela me rappelle une petite anecdote d'ado : alors qu'on chahutait un soir en colo, le moniteur nous a demandé d'apporter un caillou.
Gros nuages de points d'interrogation au-dessus de nos têtes ! Il y a tout autour des milliers de cailloux ??!!
Nous lui apportons un premier caillou : « Trop commun ! »
Le caillou suivant : « Trop pointu ! »
Le suivant : « Trop rugueux ! »
Puis « Pas assez gros ! », « Trop clair ! », « Trop long ! », « Pas assez teinté ! » etc.
Il nous a tenu comme cela pendant toute une heure !
Mais il avait gagné : le chahut avait cessé. :-)
J'ai un peu l'impression de revivre cela en lisant les objections des profs aux sujets proposés.
#371 Re : Entraide (collège-lycée) » Grand Oral sur les intégrales » 13-05-2024 21:00:00
Bonsoir Robin,
[...] ou s'agit-il d'un sujet qui n'a pas été couvert dans le cadre de notre cours ?
C'est malheureusement le cas : il y a dans l'enseignement des maths une étonnante frilosité à vous faire découvrir un peu plus loin que le bout du nez des formules.
Parfois, un exercice va légèrement lever un coin du rideau, en abordant un aspect pouvant être intéressant, mais, en général, ne va pas plus loin que le cas particulier de l'exercice.
Je te propose (et vous propose à vous que le sujet intéresse) deux démarches :
Voici tout d'abord la réponse de Chat GPT à la question « Exemples d'applications pratiques de l'intégrale simple »
L'intégrale simple a de nombreuses applications pratiques dans divers domaines, notamment en mathématiques, en physique, en économie, en ingénierie et en sciences de la vie. Voici quelques exemples :
Calcul d'aire sous une courbe : L'intégrale simple est couramment utilisée pour calculer l'aire sous une courbe dans un plan cartésien. Cela peut être utile pour des applications telles que la détermination de la quantité totale d'eau stockée dans un réservoir en fonction de la hauteur d'eau.
Calcul de la longueur d'une courbe : L'intégrale peut être utilisée pour calculer la longueur d'une courbe dans un plan, ce qui est utile dans des domaines tels que la conception de routes, la modélisation de courbes dans les dessins animés, etc.
Calcul de la moyenne pondérée : En économie et en finance, l'intégrale peut être utilisée pour calculer des moyennes pondérées de grandeurs telles que les indices de prix, les taux de croissance, etc.
Calcul de la charge électrique : En physique, l'intégrale peut être utilisée pour calculer la charge électrique totale contenue dans un volume donné, en intégrant la densité de charge sur ce volume.
Calcul de la masse d'un objet : En physique, l'intégrale peut être utilisée pour calculer la masse totale d'un objet en intégrant la densité de masse sur le volume de l'objet.
Calcul du travail : En physique, l'intégrale peut être utilisée pour calculer le travail effectué par une force variable agissant sur un objet en déplaçant cet objet le long d'une trajectoire spécifiée.
Analyse de données et statistiques : L'intégrale peut être utilisée pour calculer des quantités telles que la probabilité sous une courbe de densité de probabilité, les valeurs attendues et les moments statistiques.
Modélisation en biologie et en écologie : En biologie et en écologie, l'intégrale peut être utilisée pour modéliser des phénomènes tels que la croissance des populations, la diffusion de substances chimiques dans un milieu, etc.
Ingénierie des matériaux : L'intégrale peut être utilisée pour calculer des propriétés matérielles telles que la résistance, la rigidité, la conductivité thermique, etc., en intégrant des fonctions de densité de propriétés matérielles sur le volume du matériau.
Calcul de l'énergie : En physique, l'intégrale peut être utilisée pour calculer l'énergie totale contenue dans un système en intégrant la densité d'énergie sur le volume du système.
J'ai aussi posé la question sur le moteur de recherche Ecosia (https://www.ecosia.org/search?method=ch … e%20simple).
Je vois qu'il y a plein de possibilités que je n'ai pas encore prospectées.
Je pense que vous pourrez y trouver quelque chose qui vous parle.
Je réitère, et complète, ce que j'ai écrit dans ma discussion consacrée au Grand Oral : l'important n'est pas tant la pertinence du sujet que la perception que vous en avez en termes de capacités de le présenter.
Il vaut mieux un sujet que votre prof apprécie bofement mais que vous savez pouvoir vous l'approprier et présenter avec enthousiasme, qu'un sujet convenant au prof mais que vous ne sentez pas, et donc que vous ne saurez pas défendre.
J'écrivais tout à l'heure à l'élève que je citais, et dont la prof critique les choix — c'est trop ceci ; c'est pas assez cela... — sans rien proposer :
Est-ce que tu peux accepter de tenir cette attitude affirmée par rapport à ta prof : « C'est mon oral ! C'est moi qui serai jugée ! Donc, c'est moi qui choisis le sujet qui me plaît le plus ! »
La difficulté est que le sujet doit être signé par la prof, et que le risque est qu'elle se braque et refuse de signer le sujet, ce qui serait de sa part un abus de pouvoir manifeste.
Réponse de l'élève :
Il est certain que mercredi, qu'importe ce qu'elle dira sur mon sujet (et peu importe si je garde celui-ci ou le modifie), j'insisterai pour qu'elle le signe car c'est en effet MON sujet et non le sien.
C'est votre Bac, c'est votre Grand Oral !
Et bientôt vous ne verrez plus votre prof !
(Je pressens une nouvelle volée de bois vert. Pas grave. J'ai mis mon casque. :-)
#372 Entraide (collège-lycée) » A propos de l'angoisse du sujet de Grand Oral » 13-05-2024 15:20:46
- Borassus
- Réponses : 6
Bonjour à tous,
La quasi totalité des discussions actuelles sur ce forum portent sur le sujet du Grand oral : Quel sujet me conseillez-vous ? Je suis paniqué(e) ! Aidez-moi !.
J'ai proposé à une de mes élèves le calcul d'aires et de volumes à l'aide de l'intégrale simple, avec extension possible aux intégrales doubles et triples, qui ne sont que des intégrales simples imbriquées.
Sa prof estime que le sujet ressemble davantage à un cours qu'autre chose, et qu'il est trop vague et trop général.
J'ai aussi proposé les courbes de Bézier, utilisées dans tous les logiciels de dessin, sujet que j'avais travaillé l'année dernière avec une élève, à qui le sujet avait beaucoup plu, mais que malheureusement elle n'a pas tiré.
Sa prof estime que c'est un sujet trop complexe et pas assez axé sur le programme. (Connaît-elle le sujet, au moins ? Ou bien trace-t-elle des courbes sur ordinateur sans avoir la moindre compréhension de la technique qu'il y a derrière ? Ce n'est pas parce qu'elle prof de maths qu'elle connaît forcément les courbes de Bézier, tout simplement parce qu'elles ne font pas partie de son métier de prof de maths !)
Qu'est-ce que c'est gonflant ces "trop" et ces "pas assez" : "trop ceci" ; "trop cela" ; "pas assez cela" ; "pas assez ceci" !!
Un véritable lit de Procuste !
Pour les profs aussi, cette épreuve de grand oral semble être un casse-tête supplémentaire imposé par l'Education Nationale, et chacun semble y mettre ce qu'il veut bien entendre.
Le biais terrible dans cette épreuve a été de spécifier que le sujet doit être relié au programme de la spécialité (ou être transversal par rapport à l'autre spécialité) :
les questions problématisées doivent être en lien avec les programmes du cycle terminal des deux enseignements de spécialité que vous suivez en Terminale. Elles peuvent soit être transversales aux programmes de ces deux enseignements de spécialité, soit porter sur un point précis du programme de l’enseignement choisi.
ce qui a entraîné une surestimation de l'importance du sujet, aussi bien par les élèves que par les profs.
Or, CE N'EST PAS LE SUJET QUI EST JUGÉ, mais bien les capacités orales du candidat !!
Je cite de nouveau education.gouv.fr (j'ai conservé la mise en gras) :
Le jury va faire attention à la solidité de vos connaissances, à votre capacité à argumenter et à relier les savoirs, à votre esprit critique, votre expression, la clarté de votre propos, votre engagement dans votre parole, votre force de conviction.
Je cite aussi studyrama.com (https://www.studyrama.com/revision-exam … ns-choisir) :
La première étape pour choisir les questions pour le Grand Oral est de trouver un sujet qui vous passionne. Vous aurez ainsi plus de facilité à en parler avec enthousiasme et à captiver l’attention du jury. N’oubliez pas que l’objectif principal du Grand Oral est de montrer votre capacité à réfléchir de manière critique et à communiquer efficacement. Si vous êtes passionné par le sujet que vous avez choisi, cela se reflètera dans votre présentation et vous aurez plus de chances de réussir. Réfléchissez à vos centres d’intérêt, à vos hobbies, à vos projets futurs ou encore aux sujets qui vous ont marqué durant vos années de lycée.
[...]
Le jour des épreuves du Grand oral, le jury devra évaluer des centaines de candidats. Il est donc préférable de se démarquer pour faire la différence et gagner des points. Essayez d’être créatifs et posez des questions qui sont pertinentes. En revanche, évitez les questions fermées qui nécessite une réponse que par “oui” ou “non” ou des sujets trop larges qui vous obligeraient à survoler plusieurs aspects sans pouvoir les approfondir. Préférez des questions ouvertes qui permettent une réponse plus détaillée et une discussion plus profonde. Sans pour autant faire trop compliqué ! N’hésitez pas à utiliser des exemples concrets, des anecdotes ou des situations pour donner un contexte à vos questions.
Le sujet est presque secondaire : Il sert seulement de fondement à l'épreuve de communication orale.
On ne juge pas la pertinence du sujet, mais la capacité à argumenter le sujet !!
Ce n'est pas du tout la même chose !!
[Ajout]Les conseils des profs devraient donc davantage porter sur la capacité émotionnelle de l'élève à traiter tel sujet : « Je ne te conseille pas ce sujet car tu risques de te prendre les pieds dans le tapis, et donc perdre tes moyens. Tel sujet me semble moins dangereux pour toi. »
Mais aussi « Si tu sens que ce sujet t'enthousiasme, traite-le, car ton enthousiasme se reflétera dans ton exposé et dans la façon dont tu le défendras. » [/Ajout]
A partir du moment où l'épreuve était à la base conçue comme une épreuve d'argumentation orale, il ne fallait pas la rattacher à une des deux spécialités !!
J'aimerais beaucoup échanger sur ce forum avec des profs de Terminale actuellement confrontés aux demandes de sujet de la part de leurs élèves.
Si un ou une prof ayant été membre d'un jury, et ayant donc une expérience concrète de cette épreuve côté jury, peut intervenir, ce serait l'idéal !
Merci d'avance pour vos participations !
#373 Re : Entraide (collège-lycée) » Grand Oral sur les intégrales » 13-05-2024 14:27:55
Bonjour Robin,
J'ai proposé à une de mes élèves des sujets sur l'application de la notion d'intégrale au calcul d'aires et de volumes.
(Tu trouveras plus bas une discussion libellée de la même façon que la tienne https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=17056 dans laquelle je propose des directions.)
Sa prof estime que ce sujet se rapproche plus d'un cours qu'autre chose, qu'il est trop général et vague...
Mais, sacré nom d'une pipe, ce n'est pas le sujet qui est testé, ce sont les capacités orales du candidat, ses capacités d'argumentation !!
Je cite la page de education.gouv.fr consacrée au grand oral (je conserve la mise en gras : « Le jury va faire attention à la solidité de vos connaissances, à votre capacité à argumenter et à relier les savoirs, à votre esprit critique, votre expression, la clarté de votre propos, votre engagement dans votre parole, votre force de conviction. »
(https://www.education.gouv.fr/reussir-a … ral-100028)
#374 Re : Entraide (supérieur) » La limite d'une fonction trigonométrique » 13-05-2024 11:07:32
Bonjour Zebulor,
Je ne vois pas bien ce que cela apporte dans la mesure où on aboutit à
[tex]\dfrac {1 - 2cos^2x}{1 + \sqrt 2(\cos x - \sin x) - \sin{2x}}[/tex]
qui reste une forme indéterminée.
Comment alors continuer ?
#375 Re : Entraide (supérieur) » La limite d'une fonction trigonométrique » 13-05-2024 09:30:08
Bonjour,
La dérivée de $1 - \sqrt 2 \cos x$ est $\sqrt 2 \sin x$.
Celle de $1 - \sqrt 2 \sin x$ est $- \sqrt 2 \cos x$
En utilisant la règle de L'Hospital, la limite demandée est $-1$. (La règle de L'Hospital est très commode pour résoudre des indéterminations de type $\dfrac 0 0$.)
Ce que confirme le tracé de la courbe par GeoGebra : https://www.cjoint.com/c/NEniDCCd1XD
Bonne journée
PS : Utilise LaTex pour que tes expressions soient facilement lisibles. (Au bas de la fenêtre de saisie, il y a le lien "Code Latex" qui renvoie sur l'excellente page explicative réalisée par Yoshi montrant les principales écritures.)