Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Amis du numérique, bonjour.

Amateur, aimant à la fois les chiffres, les jeux mathématico-scientifiques et les articles / émissions / vidéos sur ce thème (cela me donne l’impression de comprendre quelque chose, c’est d’ailleurs fait pour), je suis tombé sur un papier du temps des premières calculatrices programmables, quand obtenir quelques décimales de Pi avec la série de Gregory-Leibniz faisait le bonheur des passionnés.

Attendre plusieurs heures pour obtenir une demi-douzaine de décimales, je me suis dit que même avec un matériel antédiluvien et une série à la convergence d’escargot, il devait y avoir moyen de faire mieux.

Étape 1, affichage de la somme 4 - 4/3 + 4/5 – 4/7 + …, effectivement faut quasiment un millier de termes pour obtenir 6 décimales exactes, et encore, en moyennant les deux dernières valeurs.

Étape 2, calcul d’une nouvelle série en prenant le milieu de deux segments consécutifs pour en faire la moyenne, nette amélioration. Et en refaisant la même chose avec cette nouvelle série, c’est 6 décimales exactes en un peu moins de cent vingt termes.

Ceci dit, le problème quand on parle de nombre de décimales exactes, c’est qu’on a tendance à s’arrêter au premier écart. Sauf que voilà, avec la série d’origine et pour certaines quantités de termes, il y en a quand même tout un tas d'exactes après ces écarts :

Rien qu’avec les trois premières lignes, en retenant la décimale quand deux chiffres sont identiques, on en obtient déjà 18 au lieu de 4. L’informatique actuelle qui permet de mouliner du chiffre sans effort, c’est quand même magique, même si je suis incapable de comprendre le pourquoi du comment.

(il existe bien sûr des formules plus simples et d’une convergence vraiment hallucinante, là je m’amuse, rien d’autre, d’ailleurs j’hésitais entre récréation et café, c’est dire)