Forum de mathématiques - Bibm@th.net

salut.

moi non plus , il y a 6 mois je ne savais même pas que ça existait. c'est ma fille ainée qui vient d'acquérir une maison . Elle a d'abord fait un apport personnel . et l'écureuil lui a fait la meilleur proposition via un courtier.

j'ai personnellement été fasciné par ce truc et je ne l'ai plus lâché. je lui ai demandé son échéancier et j'ai travaillé dessus.

plusieurs page de calcul ..

l'exemple est le suivant   a)  un prêt principal de 77609.31 euros sur 240 mois  au taux de 3.07%
                                      b) un prêt secondaire de 44000 euros sur 114 mois au taux de 2.35%  + assurance de 20.24 e par mois
                                      c)  un prêt employeur de 20000 euros  sur 180 mois au taux de 2.25  et pas d'assurance

                              tous les prêts commencent à être remboursé à t=0

   sur internet "calculatrice de prêt à palier"  je rentre les paramètres demandés ; à savoir C : le montant du prêt principal , son taux et sa durée
             le premier prêt secondaire j'entre la mensualité que j'ai moi même calculée : 431.03 + 20.24 = 451.27   et la durée: 114 mois

             le prêt employeur   , j'entre la mensualité  et la durée   131.02  sur 180 mois

         le simulateur donne M =  204.99 pendant 114 mois  ,  656.26 pendant 66 mois et 787.29 pour les 60 mois restant.

  Il faudra donc qu'elle paie 787.29   euros hors assurance durant toute la durée des emprunts .

l'échéancier donne la même chose au centime prêt et ma formule aussi. car il y a bien une formule .

j'ai ensuite continué en ajoutant pour le plaisir 2 autres prêts , mais pour éviter de déraper dans les amortissements négatifs , j'ai augmenté le prêt principal puis j'ai lancé la simulation ; et ma formule était en accord avec le simulateur .

ensuite , j'ai travaillé la formule pour calculer avec un prêt à remboursement différé ; j'ai simulé et de même , le résultat était conforme à une dizaine de centimes d'euro.

la formule n'ai pas monstrueuse puisque je peux l'écrire les yeux fermés ..   j'exagère un peu là..

et encore merci de vous intéresser à ce problème car je le trouve très intéressant.

salut à tous.

salut.

salut.

@totomm.  pourrais tu développer ?  la forme du tronc de cône n'est pas définie ; et il y a un nombre infini de formes tronconiques qui répondent aux trois critères de départ.

salut.

salut.

la résolution va suivre .

tout d'abord .  lorsque vous placez de l'argent à un taux annuel de 6%  , votre capital est multiplié au bout de n années par

[tex](1+0.06)^n[/tex] et ça c'est le taux équivalent pour n années

maintenant , si on vous prête de l'argent à 6% l'année  , le taux équivalent doit être de  [tex]1.06^{\frac{1}{12}}-1 = 0.004867..[/tex]

donc 0.4867% . Mais au lieu de ça on vous le divise par 12 . il ne faut pas oublier que la mensualité impayée va générer automatiquement des intérêts.

autrement pour en revenir aux logarithmes . je vais les utiliser dans mon équation de durée . un petit exemple , le poste #20

je prend le premier échéancier .  la mensualité M constante est 1027.71 euros at le premier amortissement A = 977.71

le taux mensuel à été divisé par 12  . cela donne  t = 0.005   et 1+t = 1.005

à partir de ces 3 données je suis en mesure de calculer la durée du prêt si je ne la connais pas . M & A ont été arrondis au centième d'euro

[tex]n = \frac{\ln{M}-\ln{A}}{\ln{1+t}}=\frac{\ln{1027.71}-\ln{977.71}}{\ln{1.005}}=9.999957...\approx10 [/tex]

pour résoudre le problème , je vais tout redémontrer . 

le problème  ici , c'est que l'unité monétaire est le lingot , la période de remboursement c'est la journée , la mensualité est constante et égale à M = 10 lingots ; le taux d'emprunt est  0.5% la journée c'est à dire t =0.005

a) calcul d'une mensualité .

  si M est la mensualité , C le capital prèté , A_n , l'amortissement à la nième mensualité , alors :

  le capital dû à la première échéance est  [tex]C_1 = C - (M - C.t)=C.(1+t) -M[/tex]

Le capital dû à la seconde échéance  est [tex]C_2 = \left[C.(1+t) - M\right]\times{(1+t)}  - M[/tex]

  Ainsi de fil en aiguille , à la n^ième et dernière échéance , il est nul . Alors

[tex]C_n = C \times{(1+t)^n} - M \times{\big[(1+t)^{n-1} +(1+t)^{n-2}+(1+t)^{n-3}+(1+t)^{n-4}+.....+ (1+t) + 1\big] }= 0[/tex]

Entre les crochets on reconnait un polynôme il est de la forme:

[tex]x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+x^{n-4}+x^{n-5}+...+x+1 = \frac{x^n - 1}{x - 1}[/tex]

ce qui donne au final : [tex]C_n = C \times{(1+t)^n} - M \times{\frac{(1+t)^n - 1}{ t}} = 0[/tex]

   [tex]M \times\frac{(1+t)^n - 1}{t} = C \times{(1+t)^n} \Rightarrow  M = \frac{C.t.(1+t)^n}{(1+t)^n - 1} = \frac{C.t}{1 - (1+t)^{-n}}[/tex]

maintenant , connaissant la mensualité M ,  le capital C et le taux  t  , je peux calculer la durée .

[tex]C.t = M\times{\bigg((1 - (1+t)^{-n}\bigg)}[/tex]

[tex]1 - (1+t)^{-n} = \frac{C.t}{M}\Rightarrow  e^{-n\ln{(1+t)}} = \frac{M -C.t}{M}[/tex]

[tex] -n\times{\ln{(1+t)}} = \ln{(M-C.t)}-\ln{M}  \Rightarrow n = \frac{\ln{M}-\ln{(M - C.t)}}{\ln{(1+t)}}[/tex] (1)

dans le problème posé il y a 2 remboursements qui diffèrent de presque  19 jours .  on va tout d'abord considérer 19 jours pile.

si n(x)  et n(y) diffèrent de 19 jours , et si x est un des capitaux  et y , le second , alors  y = 1000 - x

on obtient l'équation suivante :

[tex]\frac{\ln{M} - \ln{(M-x.t)}}{\ln{(1+t)}} - \frac{\ln{M} - \ln{(M-(1000-x).t)}}{\ln{(1+t)}} = 19[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{\ln{(M-(1000-x).t)}- \ln({M - x.t)}}{\ln{(1+t)}} = 19[/tex]

après avoir isolé X  on obtient au final 

[tex]x = \frac{M - (M-1000t).(1 + t)^{19}}{t.[(1+t)^{19} + 1]}[/tex]

en rentrant les valeurs de t et M  , alors  x = 428.9807 lingots  . en arrondissant à 429  , on peut vérifier avec l'équation (1)

  n(x) = 48.40758 jours  et  n(y) = 67.4024 jours   . on doit avoir moins de 19 j et 8 min.

maintenant si vous pensez que quelque chose cloche dans la démo , alors indiquez moi ou .

n.b.   @Freddy , merci c'est corrigé.

salut à tous .

@totomm .  mais si mais si , je valide , j'aurais juste souhaité savoir d'ou tu étais parti pour trouver la formule finale .

le problème se résout assez bien d'ailleur. ja donnerai ma méthode puisque c'est moi qui ai conçu le problème . c'est pour ça , il y a peut-être d'autres méthodes .

                                                                                             à plus.

salut.

@totomm  il existe une solution mathématique sans avoir besoin d'un tableur .

                                                                                                à plus .

salut.

salut.

@totomm

j'ai effectué une démonstration , je me suis peut-être planté , mais je trouve : [tex]S = \frac14\times{(a^2+c^2-d^2-b^2)}\times{\tan{\alpha}}[/tex] 

donc un quart de ce que tu as écrit. j'ai vérifié avec un rectangle de 2 x 1 qui donne un angle des diagonales de 53°.13

                                                                                         à plus