Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut,

Le raisonnement est impeccable mais, dans la vraie vie, les moines auraient tellement eu la trouille qu'ils seraient TOUS partis.

Salut,

Contre-exemple : [tex]\theta = - \frac{\pi}{4}[/tex]. [tex]cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] et [tex]sin(\theta) = - \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. La somme des deux est dans [tex]\Q[/tex], mais pas chacun d'eux pris séparément.

Bis bald.

Salut,

J'ai refais le calcul, et je n'aboutis pas à grand chose de bien exploitable. J'ai dû faire une erreur la première fois.

Désolé.

Pour démontrer ce point :
1) Les deux polynômes ont même degré 2n.
2) Ils ont 2n racines communes.
Donc, ils sont égaux à un facteur multiplicatif près.
3) Ils ont le même coefficient devant x^2n.
Donc, ils sont égaux.

Et encore merci à Fred pour l'astuce !

C'est quand même un peu tordu. Je suis de l'avis de nérosson.

Salut,

Soit omega ton ensemble de personnes.
Soit A le groupe des chasseurs de loutres et B celui des chasseurs d'écureuils.

Tu as :
card(A) = 10
card(B) = 8
card(A union B) = 20 - 5 = 15

Tu en déduis donc card(A inter B).

A partir de tout cela, tu applique la formule de Laplace :
p(A union B) = card(A union B) / card(omega)
p(A inter B) = card(A inter B) / card(omega)

P.S : Je préfère dire un ensemble de personnes plutôt qu'un groupe car un groupe, en maths, ça a un sens particulier.

Salut,

C'est exactement ça.

Pour la formule de Stirling, elle est hyper classique ! Mais si tu veux une démo sans, tu peux calculer la limite du rapport [tex]\frac{U_{n+1}}{U_n}[/tex] de manière classique : simplification des factorielles et développement asymptotique. Je peux te passer le détail du calcul si tu veux.

Salut,

1) Tu utilises la règle de d'Alembert et la formule de Stirling.

2) Vn est positive pour n assez grand. Vn est équivalent à (a/b)^n. Tu utilises la règle de convergence d'une série géométrique.

3) Un peu plus technique celle-là...

Ta série est à termes positifs. Tu peux donc appliquer les règles habituelles de comparaison.

[tex]U_n = \frac{n^{\ln(n)}}{\ln(n)^{n}} = \frac{e^{\ln(n)^2}}{e^{n \ln(n)}}} = e^{\ln(n)^2 - n \ln(n)} = e^{-n \ln(n) \times [1 - \frac{\ln(n)}{n}]}[/tex]

[tex]1 - \frac{\ln(n)}{n} \to 1[/tex]
Donc, pour n assez grand, [tex]1 - \frac{\ln(n)}{n} \ge \frac{1}{2}[/tex].

Donc [tex]U_n \le e^{\frac{1}{2} [-n \ln(n)][/tex].

[tex]ln(n) \to +\infinity[/tex]
Donc, pour n assez grand, [tex]ln(n) \ge 1[/tex].

Donc  [tex]U_n \le e^{\frac{1}{2} -n[/tex]. Tu conclus alors en utilisant le théorème de comparaison.

4) Tu fais un développement asymptotique de ta série pour aboutir à [tex]U_n = e^{- \ln(n)^{\alpha - 1} + o(\ln(n) ^{\alpha - 1})}[/tex]. En fonction des valeurs de [tex]\alpha[/tex], ta série peut être convergente comme divergente.

Série bonus : en un mot, épouvantable. J'essaierai d'y réfléchir.

C'est [tex]|S|\le a_1[/tex]. Mais n'oublie pas que la somme donnant ton reste commence à n et non à 1.

Salut,

J'ai fait ça un peu vite sur un morceau de brouillon (en passant, un jour, faudra que j'apprenne à me servir de GeoLabo...), et je trouve : [tex]y = - R \sin(\theta) \tan(\frac{\pi}{2} - \alpha)[/tex]

EDIT : Calcul détaillé posté plus bas.

Salut,

Non, les ensembles [tex][0,\alpha][/tex] et [tex]R^+[/tex] ne sont pas et ne seront jamais égaux !

Par contre, [tex]\cup_{a=0}^{+\infinity} {[0,\alpha]} = R^+[/tex]. Donc, si pour tout [tex]\alpha[/tex], f est continue sur [tex][0,\alpha][/tex], alors, f est continue sur R.

Le truc de la démonstration, c'est que la continuité est une propriété locale, et que tu peux faire des regroupements d'intervalles.

Salut,

Je commence à mieux cerner le problème.

F est un ensemble de points de [tex]R^2[/tex], pas de [tex]R[/tex]. Si tu as une suite de points [tex](x_n,y_n)[/tex] telle que [tex]x_n \to 0[/tex] alors [tex](y_n)[/tex] diverge. Donc ton contre-exemple est faux.

On peut montrer que F est fermé ainsi : Soit [tex](x_n,y_n)[/tex] une suite de F telle que [tex](x_n,y_n) \to (x,y)[/tex] avec [tex](x,y) \in R^2[/tex]. On a, par définition de F, [tex]\forall n, \, x_n y_n = 1[/tex]. Donc, par passage à la limite, [tex]x y = 1[/tex]. Donc [tex](x,y) \in F[/tex]. Par suite, F est fermé.