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non, c'est ça : $\sqrt 5 \times2\sqrt 5$

$\frac{2\sqrt{5}}{5} .\vec i+\frac{4\sqrt{5}}{5}.\vec j = k . (2\vec i+4\vec j)$

$\frac{2\sqrt{5}}{5}.\vec i + \frac {4\sqrt{5}}{5}.\vec j = 2k .\vec i + 4k.\vec  j $

      $2 k = \frac{2\sqrt{5}}{5} <=> k = \frac{2\sqrt{5}}{5} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

     $ 4 k = \frac {4\sqrt{5}}{5} <=> k = \frac{4\sqrt{5}}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

c'est l'autre calcul avec les racines carré que je ne sais pas faire, celui où tu calcul le rayon de l'autre demi-cercle

on part du calcul des coordonnées de C et de D donc c'est la source

Bonjour Yoshi, pour l'exercice 1 , j'ai construit un vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis j'ai reporté 3 fois la norme de ce vecteur sur la droite (AB) , mais je ne vois pas où je dois placer le point O. Peux-tu me donner une toute petite indication , s'il te plait ?

j'ai commencé l'exercice n°2 avec la 2e méthode (sans calcul de OD')
(a) Montrer que D et C sont sur le demi-cercle (K) de centre O et de rayon $2\sqrt{5}$

   C et D sont placés tel que ABCD soit un carré
   A a pour coordonnées (-2;0) et B a pour coordonnées (2;0) donc ABCD est un carré de côté 4.

    Puisque B et C sont sur une même verticale alors le point C a pour abscisse 2
     et comme la longueur d'un coté du carré est 4  alors le point C a pour coordonnées (2;4)
        $OC = \sqrt{(x_{C}-x_{0})^2 + (y_{C}-y_{O})^2} $
        $x_O=y_O=0$ donc : $OC=\sqrt{(2)^2+(4)^2} = \sqrt{20} =  \sqrt{4\times 5} = 2\sqrt{5} $
    Puisque le cercle (K) a pour rayon $2\sqrt{5}$ et que la longueur OC aussi alors le point C est bien sur le cercle.

    Puisque A et D sont placés sur une même droite d'équation x = -2 alors le point D a pour abscisse -2
    et comme la longueur d'un côté est 4 alors D a pour coordonnées (-2;4)
        Calculons maintenant la longueur OD
       $OD =\sqrt{(x_{D}-x_{O})^2+(y_{D}-y_{O})^2} $
       $x_O=y_O=0$ donc : $OD=\sqrt{(-2)^2+(4)^2} =\sqrt{4+16 } = \sqrt{20} = \sqrt{4\times 5} = 2\sqrt{5}$
     Puisque le rayon du cercle (K) et la longueur OD sont pareils alors le Point D est bien sur le cercle

je dois montrer que B et C sont sur le même demi-cercle ?

j'ai commencé par faire un dessin :
$A\xrightarrow{h_O}B$ : j'ai placé un point A et le point B qui est son image
$C\xrightarrow{h_O}D$ : pareil avec C et D
pour la 1) j'ai décomposer $\overrightarrow{BD} $ en passant par O
c'est la relation de Chasles : $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OD}$
pour la 2) en utilisant la colinéarité , le vecteur $\overrightarrow{BO}$ c'est le vecteur $\overrightarrow{AO}$ multiplié par sa norme donc, on a : $\overrightarrow{BO} = k.\overrightarrow{AO}$
et $\overrightarrow{OD} = k.\overrightarrow{OC}$
en remplaçant dans la 1ère égalité , on obtient :
$\overrightarrow{BD} = k.\overrightarrow{AO}+k.\overrightarrow{OC} $
$\overrightarrow{BD} = k. \left( \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}\right)$

oui, ce que je veux dire, c'est que je ne regarde pas la démo, et je voudrais que tu me la fasse faire en exo..

j'ai trouvé les coordonnées du point D', et les coordonnées de A' et de B' qui montrent bien que A'B'C'D' est un carré

les vecteurs $\overrightarrow{OD}$ et $\overrightarrow{OD'}$ sont colinéaires
et la conclusion : je n'ai pas à me poser la question de savoir si je dois montrer que les points sont alignés, le seul fait de le dire que les vecteurs sont colinéaires suffit

Bonsoir Yoshi, je crois que je ne comprends pas bien ce que c'est une homothétie, et j'ai plus l'habitude de travailler avec des vecteurs
donc il faut que tu me ré-expliques ce que tu me demandes
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ceci n'a rien à voir avec les maths, mais on avait parlé de musique, alors, comme ce sont les vacances je te propose de regarder ce lien : https://www.youtube.com/watch?v=YqQ2sODxH3o
mais comme ça n'a rien à voir avec les maths, je supprimerais  immédiatement le lien si  tu me le demandes,

Oui, en traçant le vecteur $\overrightarrow{OD} : (0\,;\,4)$,  le vecteur  est à la vertical ce qui me donne un point qui est sur l'axe des ordonnées, (mal réveillé..)