Forum de mathématiques - Bibm@th.net

La focale de l'appareil (d) est une donnée fictive, puisqu'elle varie proportionnellement à l'agrandissement imposé à l'image, lors de toute exploitation.

On ne peut pas faire, par contre, l'économie de l'une des distances horizontales (D₁) séparant le centre optique (C) de l'objectif de l'un des points objets. Ton problème me paraît malheureusement sans solution en ce qui concerne la photographie étudiée.

Par contre, pour les paysages urbains, une photographie aérienne (ou satellitaire) combinée à une perspective pourrait te permettre de déterminer certaines hauteurs.

Le plan de la table est à priori horizontal, de même que l'axe optique (z'z) de l'objectif.
On peut éventuellement définir des angles, mais ce procédé ne permettra pas de sortir de l'impasse puisque les fonctions trigonométriques (sin(u), cos(u), tan(u)) correspondent à des rapports de longueurs.

On peut aussi introduire le point de fuite (F), projection sur le plan de l'image d'un point rejeté à l'infini sur l'une des droites parallèles (A₁A₂), (B₁B₂) ... etc .
L'image ci-dessous illustre la difficulté de le localiser correctement, à cause des distorsions produites par la lentille:
https://www.cjoint.com/doc/20_01/JAvlYz … 00x490.png

Un tracé reste néanmoins envisageable; le point (F) permet de situer l'axe (x'x), mais pas d'aller (beaucoup) plus loin:
https://www.cjoint.com/doc/20_01/JAvmve … 00x490.png
L'introduction de points supplémentaires (M₁, N₁) se heurte rapidement à l'absence d'informations concernant la distance (d), en raison de l'intervention de la projection centrale.

"Si je connais la taille du premier verre, ainsi que la profondeur entre les 2 verres, je peux savoir qu'elle taille devra faire le 2ème verre.
Donc, si je connais la taille des 2 verres alors je pourrai connaitre la profondeur entre les 2 verres"

L'égalité de deux rapports suppose l'intervention de 4 distances: les tailles des 2 verres, la distance cherchée (D) plus l'une des deux autres (D₁ ou D₂) .
Une donnée supplémentaire paraît nécessaire, malheureusement.

Une autre démarche pourrait être envisagée: la projection des bords circulaires en ellipses sur la plaque photoréceptrice.
Cependant l'aplatissement est si prononcé qu'il entraîne une grande incertitude sur les éventuels résultats; et le procédé n'est pas transposable à des immeubles parallélépipédiques, ou de forme quelconque.

Bonjour,

Le ballon de foot est un icosaèdre tronqué, dont chaque sommet est partagé entre un pentagone régulier (d'angle α₀ = π - π/5 = 4π/5 = 144°) et deux hexagones réguliers (d'angle β₀ = 2π/3 = 120°).
https://www.mathcurve.com/polyedres/arc … dien.shtml
https://www.mathcurve.com/polyedres/ico … nque.shtml

On peut imaginer 3 arêtes du polyèdre concourant à l'origine d'un repère orthonormé direct (Oxyz), et orientées par les vecteurs unitaires (u₁, u₂, u₃) placés de telle sorte que:
a) u₁ et u₂ correspondent à deux arêtes successives du pentagone, et soient disposés dans le plan (xOy), symétriquement par rapport au demi-axe (Ox');
b) u₃ oriente l'arête commune aux deux hexagones, et se situe dans le plan (xOz), au-dessus de (Ox).

Ils présentent dans ces conditions les composantes suivantes:

u₁ = (-Cos(α), Sin(α), 0) ;
u₂ = (-Cos(α), -Sin(α), 0) ;
u₃ = (Cos(t), 0, Sin(t) ,

si l'on convient de poser α = α₀/2 = 2π/5 = 72° .
Par ailleurs (t) désigne l'inclinaison du vecteur (u₃) sur l'axe (x'x), choisie de telle sorte que

(u₃, u₁) = (u₃, u₂) = 2π/3 ,

ce qui entraîne pour les produits scalaires:

(u₃│u₁) = (u₃│u₂) = Cos(2π/3) = -1/2 .

Les normales unitaires aux trois faces s'expriment alors par les produits vectoriels:

n₂ = (1/N₂)*(u₃×u₁) (face hexagonale);
n₁ = (1/N₁)*(u₂×u₃) (face hexagonale);
n₃ = (1/N₃)*(u₁×u₂) (face pentagonale);

(orientées sauf erreur vers le haut), sachant que l'on a de plus:

N₂ = ║u₃×u₁║ = N₁ = ║u₂×u₃║ ;
N₃ = ║u₁×u₂║ .

Les angles dièdres déterminés par les faces adjacentes sont supplémentaires des angles séparant les directions des normales:
a) pour deux hexagones:

A₁₂ = π - (n₁, n₂) ;

b) pour un pentagone et un hexagone:

A₁₃ = π - (n₁, n₃) = A₂₃ = π - (n₂, n₃) ,

avec (n_i, n_j) = Arccos(n_i │ n_j) .

Il reste le choix du calcul à entreprendre: soit entièrement numérique, soit algébrique à l'aide de radicaux (ce qui est tentant, mais peut se révéler un peu lourd).

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/T … PisurN.htm

Bonjour,

Une suite de matrices (4x4) à éléments réels ne pourrait-elle pas convenir, pour approcher la solution ?

Chaque ligne pourrait correspondre aux subdivisions (A, B, C, D) de la 1ère catégorie, caractérisées par les proportions idéales (ou recherchées) L°_i = (0.15, 0.10, 0.50, 0.25) pour i = (1, 2, 3, 4);
chaque colonne aux subdivisions (_1, _2, _3, _4) de la seconde, caractérisées par les proportions idéales  C°_j = (0.20, 0.40, 0.10, 0.30) pour j = (1, 2, 3, 4) .

Le terme initial de cette suite serait représenté par la matrice M₀ = [m_ij]₀ , dont chaque élément admettrait pour valeur (m_ij)₀ = L°_i*C°_j dans le cas d'une combinaison autorisée, zéro dans le cas contraire.

Second point: la relation de récurrence permettant de passer du terme de rang (k) au suivant (k+1); il faut disposer:
a) de la somme S_k de tous les éléments de la matrice (M_k) ,
b) des sommes partielles correspondant à chaque ligne (Sl_i)_k (soit quatre termes dans le cas présent),
c) et de celles correspondant à chaque colonne (Sc_j)_k (là encore, 4 termes).
Les deux séquences vérifient par définition:

S_k = (Sl₁)_k + (Sl₂)_k + (Sl₃)_k + (Sl₄)_k = (Sc₁)_k + (Sc₂)_k + (Sc₃)_k + (Sc₄)_k .

Les proportions de chaque subdivision de la première catégorie ont alors représentées par les rapports:

(p_i)_k = (Sl_i)_k/S_k ≠ L°_i,

celles de chaque subdivision de la seconde par les rapports:

(q_j)_k = (Sc_j)_k/S_k ≠ C°_j ;

ce qui conduit à envisager la matrice de transformation (T_k), dont chaque élément admettrait pour expression:

(t_ij)_k = ((L°_i*C°_j)/((p_i)_k*(q_j)_k))^1/2

La nouvelle matrice (M_k+1) pourrait alors résulter du produit terme à terme M_k+1 = M_k│T_k ,
où chaque élément serait simplement donné par

(m_ij)_k+1 = (m_ij)_k*(t_ij)_k ;

les termes initialement nuls le resteraient indéfiniment.

Je n'ai aucune idée de la convergence de la suite engendrée, faute d'avoir abordé ce problème.
La convergence pourrait être constatée en calculant la norme euclidienne de la différence entre deux termes successifs

∆M_k = M_k+1 - M_k ;

Cette norme N(E_k) devrait tendre vers zéro - ou tout au moins devenir inférieure au seuil de précision attendu.
Autre critère, encore plus important finalement: s'assurer que les conditions recherchées sont bien vérifiées en calculant les écarts-types (u_k, v_k)  donnés par les relations:

4*u_k² = ∑_i=1⁴((Sl_i)_k - L°_i*S_k)²   ,   4*v_k² = ∑_i=1⁴((Sc_i)_k - C°_i*S_k)²

et qui doivent devenir très petits devant la moyenne des termes non nuls.

C'est un bon sujet de programmation.

Salut,

1°) L'expression proposée (non vérifiée) ne concerne que l'un des côtés (AB) du triangle
on met sur [AB]un point Q(x,y) tel que AQ=ε
et non pas l'ensemble de la figure.
Et rien n'interdit d'envisager le point (Q) hors du segment [AB], en posant AQ = (ε/AB).AB ;
il vient alors: AQ = │ε/AB│.AB = │ε│, et l'on peut avoir: ε < 0  ou  ε > AB .

2°) Dans un plan, l'équation d'une figure fait intervenir deux variables de position - et non pas trois, comme dans la relation donnée où apparaissent (x, y) et (ε).
Elle s'écrirait F(x, y) = 0  (équation cartésienne),
ou ρ = G(θ) (équation polaire).

Sachant qu'une ellipse définie par MF₁ + MF₂ = d se réduit au segment joignant les foyers dans le cas limite de l'égalité: d = F₁F₂ ,
un triangle quelconque (ABC) admet pour équations équivalentes:

Min((MA + MB - AB), (MB + MC - BC), (MC + MA - CA)) = 0

(MA + MB - AB)(MB + MC - BC)(MC + MA - CA) = 0  .

Bonjour,

Le terme (T), qui ne fait intervenir que des fonctions trigonométriques, est dans dimension et il n'y a aucune raison d'écrire son symbole en indice; la notation (R_T), qui tendrait à faire prendre le produit (R×T) pour une grandeur unique est fautive.
Prétendre "remplacer RT par 1" n'a aucun sens parce qu'il s'agit d'une longueur: on peut seulement, si l'on recherche des cas particuliers, envisager de remplacer RT par (P/5) , (S^1/2/6) ou (a + 2b)/7 , par exemple.
La relation proposée S = PRT (non vérifiée, mais peu importe) est homogène puisque figurent de part et d'autre du signe d'égalité deux grandeurs de même espèce: U_S = U_L² , U_PRT = U_L×U_L×1 = U_L² d'où U_S = U_PRT .

Il n'y a aucune relation concernant le triangle (ou toute autre figure) qui ne soit pas homogène; le défaut d'homogénéité constitue même un critère de détection des erreurs dans les formules.

http://debart.pagesperso-orange.fr/geop … rique.html
https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_ci … n_triangle

@ Roro

Bonsoir,

On a aussi pour le carré Max(│x│, │y│) = 1 .

Et pour un polygone régulier à (N) côtés circonscrit au cercle de rayon 1 centré à l'origine:

ρ = 1/cos(Arcsin(sin(Nθ/2))2/N) .

Une valeur fractionnaire de (N) conduit à un polygone étoilé.

Bonjour,

Non, car il ne s'agit pas de rechercher une éventuelle relation entre l'aire et le périmètre d'une figure (ici un triangle).

Le paramètre sans dimension (λ) est le rapport de deux mesures observées pour une figure initiale donnée, et liées à deux unités arbitrairement choisies:

λ = µP/µA = (P/u_L)/(A/u_A) = (P/A)(u_A/u_L) = P.u_L/A si u_A = u_L² .

Ce qui est en cause, c'est l'absurdité de l'énoncé initial, qui suppose l'égalité entre une aire et une longueur; quelle que soit la figure considérée, la relation A = P n'a aucun sens, à moins qu'on prenne le détour biaisé µ_A = µ_P évoqué auparavant.

Par contre, la recherche d'une autre égalité telle que A = P²/10 est tout à fait envisageable, parce que la relation est désormais homogène, et conduit à un résultat indépendant du système d'unités.

Autre contre-exemple: la formule de Héron S² = p(p-a)(p-b)(p-c)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_H%C3%A9ron
qui relie l'aire (S) du triangle à son demi-périmètre (p = P/2) est bien homogène, puisque le carré de l'aire est proportionnel à la quatrième puissance d'une longueur.

Il va de soi qu'il intervient un système d'unités cohérent, qui vérifie dans le cas des aires et des volumes:

u_A = u_L² et u_V = u_L³ .

Bonjour,

L'erreur est grossière. Le passage provient en fait d'Apocalypse 3:12.

Il conviendrait pour le moins de vérifier tes sources ... C'est à la portée de tout internaute honnête et conséquent, quelle soit sa culture.

Cette citation est doublement déplacée.

@ Zebulor

En posant a = x_m et ω₁ = ω.sinλ , il vient:

x = a.cos(ω₀t).cos(ω₁t)
y = -a.cos(ω₀t).sin(ω₁t)

et par dérivation:

x' = a[-ω₀sin(ω₀t).cos(ω₁t) - ω₁cos(ω₀t).sin(ω₁t)]
y' = a[ω₀sin(ω₀t).sin(ω₁t) - ω₁cos(ω₀t).cos(ω₁t)] .

1°) On obtient à l'instant initial (t = 0): x₀  = a ; y₀ = 0 ; x'₀ = 0 ; y'₀ = -aω₁ :
la vitesse initiale n'est pas conforme à la valeur attendue y'₀ = 0 .

2°) À chaque fois que le pendule atteint son écart maximal (t = k.T₀/2 = k.π/ω₀ , d'où: ω₀t = k.π), on obtient donc:
x_k = a.cos(k.π).cos(ω₁t) = (-1)^ka.cos(ω₁t)
y_k = -a.cos(k.π).sin(ω₁t) = -(-1)^ka.sin(ω₁t)

x'_k = a[- ω₁cos(k.π).sin(ω₁t)] = (-1)^k+1aω₁.sin(ω₁t)
y'_k = a[- ω₁cos(k.π).cos(ω₁t)] = (-1)^k+1aω₁.cos(ω₁t)

et par conséquent
x_kx'_k + y_k.y'_k = -a²ω₁cos(ω₁t).sin(ω₁t) + a²ω₁cos(ω₁t).sin(ω₁t) = 0 .

Le vecteur vitesse est alors normal au vecteur position, conformément à ce que l'on recherchait, mais c'est bien l'une des rares propriétés communes de la trajectoire observée avec l'ellipse !
Le passage systématique du mobile par l'origine toutes les demi-oscillations:

t = (k + 1/2).T₀/2 = (k + 1/2).π/ω₀ d'où ω₀t = (k + 1/2).π et x_(t) = y_(t) = 0

exclut qu'il s'agisse d'une ellipse: le point (0, 0) ne peut vérifier l'équation cartésienne de cette dernière, qui est du type

Ax²  + By² + Cx + Dy = 1 .

La seule approximation envisageable vient de la relative lenteur de la rotation terrestre (ω₁ << ω₀), et consiste à envisager le cas limite: ω₁ = 0 ; on a déjà vu que l'on obtient alors une droite (voir # 6).

Je me demande depuis quelques messages si les équations horaires mentionnées sont correctes; je me suis jusque là contenté de les exploiter.
Intuitivement, la trajectoire d'un pendule lâché sans vitesse initiale dans le repère terrestre devrait présenter, en chaque position extrême, un point de rebroussement ... cela tient peut-être à très peu de choses, dans l'expression des solutions.
Ou alors, une donnée de l'énoncé a été négligée.

Ce n'est justement pas une ellipse, et il n'est donc pas possible de trouver l'équation cartésienne correspondante.
Si la Terre était immobile (ω = 0) ou si le Panthéon se trouvait à l'équateur (λ = 0), le pendule lâché sans vitesse initiale oscillerait dans un plan vertical fixe, et la projection orthogonale de son barycentre décrirait le segment rectiligne (AB) centré en (O), de longueur (2x_m) et d'équation:

y.cos(θ₀) - x.sin(θ₀) = 0 ,

où (θ₀) représente l'angle (u_x, 0A) .
Il n'existe même aucune équation cartésienne, de quelque type que ce soit, dans la mesure ou le rapport q = ω₀/ω est généralement quelconque, et irrationnel.

Ce n'est que dans le cas d'un rapport entier (ou rationnel simple ?) que l'on peut en trouver une, au prix de plus ou moins grandes complications.