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re.

c'est quoi ton cirque ?
je pose un problème et toi tu changes les données et c'est à moi de répondre . c'est quoi ton trip ?

salut.

salut.

salut.

salut.

salut.

salut.

en fait on pose: [tex]a^2=(x-y)^2[/tex]

                 [tex]c^2=(x+y)^2[/tex]

                [tex]2xy = b^2[/tex]

  x & y sont bien entendu des entiers positifs . 2xy doit être un carré , alors au moins un des 2 nombres est pair

alors , en utilisant les identités remarquables [tex](x+y)^2 - 4xy = (x-y)^2[/tex]

                                                 [tex]c^2 - 2b^2 = a^2[/tex]

  on pose  y=2  par exemple . alors x   est un carré. Et les valeurs x =  4 , 9 , 16 , 25 ....100... donneront les couples (x,y)
suivants
           (x,y) =  (4,2) , (9,2) , (16,2) , (25,2)....(100,2)

  et les triplets (a,b,c) =  (2,4,6) , (7,6,11) , (14,8,18) , (23,10,27)....(98,20,102)...

  le triplet (1,2,3) est solution lui aussi. avec x=2 et  y=1

ça c'est uniquement pour y = 2 .  et il  y a déjà une infinité de triplets

                                                                                                        à plus.

salut .

@freddy 

pour répondre à ta question.   le premier prêt de 12000 euros  au taux annuel proportionnel de 5.45% donne une mensualité de 113.715 euros  hors assurance.
                                            le second prêt PTZ de 14800 euros est remboursé sur 2 périodes :

                                       12580 euros sur 276 mois avec une mensualité de 45.58 euros
                                       2220  euros  sur 24 mois à partir du 277ème mois inclus avec une mensualité de 92.50 euros.

                                        le troisième prêt de 12600 euros au taux annuel de 1.5% sur 120 mois donne une mensualité de 113.137 euros

si je lisse tout ça avec un prêt principal de 116600 euros au taux annuel proportionnel de 4.7% sur une durée de 360 mois.j'obtiens une mensualité lissée de 769.207  euros hors assurance.

                                                                                    à plus.

salut.

je commence avec un lissage avec 3 prêts. leurs différés de paiement est nul puisque qu'on rembourse les trois dès le début.
ensuite je lisserai un seul prêt secondaire dont le début de remboursement sera différé .

C'est uniquement le plus long prêt qui doit lisser les 2 autres puisque chaque somme est remboursée en temps et en heure.

Rappel:  le calcul d'une mensualité est donné par la formule suivante , en sachant que :

M  =  la mensualité hors assurance ( cette dernière est constante et doit être ajoutée dans la formule finale de lissage.

n   =   le nombre de mensualités ou durée du remboursement ( en mois).

C    =  prêt

t   =  taux mensuel qui , en général se trouve être le taux proportionnel  ---> [tex]t = \frac{I}{12}[/tex]

[tex]M = \frac{C.t}{1-(1+t)^{-n}}[/tex]             formule (1)

         
N.B.    les mensualités  M1   &  M2  relatives aux prêts P1  &  P2  seront calculées à l'aide de cette formule  en affectant chacune de leurs paramètres respectifs : montant du prêt, taux mensuel et durée .

Schéma de lissage :      |                    a                            |                      b                     |                         c                         |
                 
                                   |                              Prêt principal lisseur   remboursé sur une durée  r                                      |
                                    ---------------------------------------

                                   |  1er prêt (durée   p  )        |                                                                                                      |
                                                                                      |----------------------------------|
                                   |   2ème prêt ( durée q )                                                    |                                                        |
                                   |------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------     
                                 

On voit bien sur le schéma de lissage que le prêt lisseur est remboursé avec des échéances différentes selon les trois périodes de durée

p    ,    q - p     &    r - q    et  pour clarifier la démo  on appellera ces périodes   a , b  &  c  .  avec   p = a

                                                                                                                                                 q = a + b

                                                                                                                                                 r = a + b + c

Maintenant on voit bien que le prêt principal se compartimente en trois sommes  Ca  ,  Cb  &  Cc

ce prêt est aussi affecté de son propre taux mensuel :    t 

par la suite les termes  M1  &  M2  désigneront les mensualités des 2 premiers prêts avec leur assurance incluse .

Le troisième prêt  sera nommé   C  .

les trois sommes  Ca  ,  Cb   , Cc    sont remboursées respectivement sur les périodes a , b  et c

Afin de clarifier , on appellera la mensualité  finale après lissage , M  . Et à cette mensualité il faudra bien évidemment lui ajouter son coût d'assurance.

                       ---- Ca  est remboursé sur la période  a   avec une mensualité Ma   ;   Ma =  M - ( M1 + M2 )  et via la formule  (1) :

[tex]M_a = M - (M_1 + M_2) = \frac{C_a.t}{1 - (1+t)^{-a}}[/tex]

Alors :  [tex]C_a = \frac{M -(M_1 + M_2)}{t}\times{\left[1 - (1+t)^{-a}\right]}[/tex]

                        ---- Cb  est remboursé sur la période  b  avec une mensualité Mb   ;  Mb = M - M2  puisque le premier  prêt P1 est remboursé

Mais lorsque l'on commence à rembourser le prêt  Cb , il s'est écoulé  a mois et  on doit rembourser en fait sur la période b  une somme égale à:

[tex]C'_b = C_b\times{(1 + t)^a}[/tex]

et  [tex]M_b = M - M_2 = \frac{C_b . t . (1+t)^a}{1 - (1+t)^{-b}}[/tex]

Alors     [tex]C_b = \frac{(M - M_2)}{t}\times{(1 + t)^{-a}}\times{\left[1 - (1+t)^{-b}\right]}[/tex]

                        ----Cc  est remboursé sur la période c  avec une mensualité  Mc  ;   mais , ici , Mc  = M   puisque tous les autres prêts sont remboursés.

Mais lorsque l'on commence à rembourser le prêt  Cc ,  il s'est écoulé  a + b = Q  mois et on doit rembourser en fait sur la période  c une somme

égale à :

                   [tex]C'_c = C_c \times{(1 + t)^{a+b}}[/tex]

Alors :  [tex]M_c = M = \frac{C_c . t .(1+t)^{a+b}}{1 - (1+t)^{-c}}[/tex]

alors : [tex]C_c = \frac{M}{t}\times{(1 + t)^{-(a+b)}}\times{\left[1 - (1 + t)^{-c}\right]}[/tex]

Et au final ,   C = Ca + Cb + Cc   est le dernier capital à rembourser , et en sommant ces trois expressions ci dessus , on s'aperçoit qu'il n'y a qu'une inconnue :  M  car  toutes les autres données sont des paramètres connus

[tex]C  = \frac{M -(M_1 + M_2)}{t}\times{\left[1 - (1+t)^{-a}\right]}+\frac{(M - M_2)}{t}\times{(1 + t)^{-a}}\times{\left[1 - (1+t)^{-b}\right]}..[/tex]
[tex]..+ \frac{M}{t}\times{(1 + t)^{-(a+b)}}\times{\left[1 - (1 + t)^{-c}\right]}[/tex]

[tex]C.t = \left[M -(M_1+M_2)\right].\left[1 - (1+t)^{-a}\right] +\left[M - M_2\right].\left[1 - (1+t)^{-b}\right].\left[1+t\right]^{-a} + M .\left[1 - (1+t)^{-c}\right].\left[1+t\right]^{-(a+b)}[/tex]

[tex]C.t = M.\left[1 - (1+t)^{-a} + \left[1-(1+t)^{-b}\right].(1+t)^{-a} + \left[1-(1+t)^{-c}\right].(1+t)^{-(a+b)}\right]... [/tex]

[tex]..- \left[(M_1 + M_2) . \left(1 - (1+t)^{-a}\right) + M_2 . \left(1 - (1+t)^{-b}\right) . (1+t)^{-a}\right][/tex]

ainsi :

[tex]M.\left[1 - (1+t)^{-a} + \left(1-(1+t)^{-b}\right).(1+t)^{-a} + \left(1 - (1+t)^{-c}.(1+t)^{-(a+b)}\right)\right] [/tex]

                                [tex]= C.t + \left[M_1 + M_2\right].\left[1 - (1+t)^{-a}\right] + M_2 .\left[1 - (1+t)^{-b}\right]. (1+t)^{-a}[/tex]

[tex]M.\left[1 -(1+t)^{-(a+b)} + \left[1 - (1+t)^{-c}\right].(1+t)^{-(a+b)}\right][/tex]

                                [tex]= C.t + \left[M_1 + M_2\right].\left[1 - (1+t)^{-a}\right] + M_2 .\left[1 - (1+t)^{-b}\right]. (1+t)^{-a}[/tex]

[tex]M.\left[1 - (1+t)^{-(a+b+c)}\right] = C.t + \left[M_1 + M_2\right].\left[1 - (1+t)^{-a}\right] + M_2 .\left[1 - (1+t)^{-b}\right]. (1+t)^{-a}[/tex]

[tex]M.\left[1 - (1+t)^{-(a+b+c)}\right] = C.t + M_1.\left[1-(1+t)^{-a}\right] + M_2.\left[1 - (1+t)^{-a} +\left(1-(1+t)^{-b}\right). (1+t)^{-a}\right] [/tex]

[tex]M.\left[1 - (1+t)^{-(a+b+c)}\right] = C.t + M_1.\left[1-(1+t)^{-a}\right] + M_2.\left[1 - (1+t)^{-(a+b)}\right] [/tex]

et comme   p = a  , q = a+b  &   r = a+b+c

une fois M  isolé  et après simplification on obtient la formule finale de lissage:

[tex]M = \frac{C.t + M_1\times{\left[1 - (1+t)^{-p}\right]} + M_2\times{\left[1 - (1+t)^{-q}\right]}}{1 - (1 + t)^{-r}}[/tex]

       à laquelle il faudra ajouter le cout d'assurance par mois de ce prêt principal .

on voit que  l'exposant p est la durée du prêt  P1

                  l'exposant  q est la durée du prêt P2

                  l'exposant r est la durée du prêt principal C

---- Lissage avec 2 prêts  ( le prêt secondaire est à remboursement différé ) . ça peut être un Prêt à taux zéro.

 
Durant une période  a , remboursement du prêt principal uniquement ; durant une période b , remboursement des 2 prêts ;

Durant la période  c  ,  le prêt secondaire est remboursé , on ne rembourse plus que le prêt principal.

C  est le prêt principal  remboursable au taux mensuel proportionnel  t  durant une période  n = a + b + c

Le prêt secondaire est remboursé durant la période  b  avec une mensualité M1  , assurance comprise.

Le remboursement du prêt principal est donc compartimenté en C = C1 + C2 + C3

a) 
      C1  est remboursé en  a  mensualités  M

[tex]M = \frac{C_1.t}{1 - (1+t)^{-a}}[/tex]  [tex]\Rightarrow[/tex][tex]5$C_1 = \frac{M}{t}.\left[1 - (1+t)^{-a}\right][/tex]   (1)

 
b)
      C2  est remboursé en b  mensualités   (M - M1)  .   mais  C2 , au début de son remboursement vaut C'2

[tex]C'_2 = C_2\times{(1+t)^a} = \frac{M - M_1}{t}.\left[1 - (1+t)^{-b}\right][/tex]

Alors :   [tex]C_2 = \frac{M - M_1}{t}.(1+t)^{-a}.\left[1 - (1+t)^{-b}\right][/tex]  (2)

c)
      C3  commence à être remboursé  à partir de  a + b  pendant une période  c  , mais cette somme devient:

[tex]C'_3 = C_3\times{(1+t)^{a+b}} = \frac{M}{t}.\left[1 - (1+t)^{-c}\right][/tex]   (3)

Alors :   [tex]C_3 = \frac{M}{t}.(1+t)^{-(a+b)}.\left[1 - (1+t)^{-c}\right][/tex]

Comme  [tex]C = C_1 + C_2 + C_3[/tex]   , alors il suffit de sommer  (1) , (2) & (3)  qui donne:

[tex]C=\frac{M}{t}.\lbrace{1 - (1+t)^{-a}+(1+t)^{-a}. \left[1-(1+t)^{-b}\right]+(1+t)^{-(a+b)}.\left[1-(1+t)^{-c}\right]\rbrace}..[/tex]

     [tex]... - \frac{M_1}{t}.(1+t)^{-a}.\left[1 - (1+t)^{-b}\right][/tex]

[tex]C = \frac{M}{t}.\left[1 - (1+t)^{-(a+b+c)}\right] - \frac{M_1}{t}.\left[(1+t)^{-a} - (1+t)^{-(a+b)}\right][/tex]

Alors:   [tex]M.\left[1 - (1+t)^{-(a+b+c)}\right] = C.t + M_1.\left[(1+t)^{-a} - (1+t)^{-(a+b)}\right][/tex]

Et finalement :   [tex]M = \frac{C.t + M_1.(1+t)^{-a}.\left[1 - (1+t)^{-b}\right]}{1 - (1+t)^{-(a+b+c)}}[/tex]

 
Dans cette formule on sait identifier les exposants    a  (en mois) est le différé du remboursement du prêt P1   durant une période b avec une mensualité M1  ,
alors que  a + b + c   se trouve être la période de remboursement avec la mensualité  M  calculée ci dessus .

en faisant la synthèse des 2 démonstrations , on obtient bien une formule générale

[tex]M_{lisse} = \frac{C.t  + \sum_{i=1}^n{M_i\times{(1 + t)^{-d_i}}\times{\left[1 - (1+t)^{-m_i}\right]}}}{1 - (1+t)^{-z}} + \text{assurance}[/tex]

                                                                     à plus.

salut.

salut.