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Pour une fonction, la propriété d'être nulle sur un voisinage d'un point est beaucoup plus forte que d'être nulle en ce point. Elle implique notamment que toutes les dérivées de la fonction sont nulles en ce point.
Donc, pour le contre-exemple, il était naturel d'exploiter cette différence en prenant une fonction nulle en un point mais dont la dérivée est non nulle, et de trouver une distribution dont le support est ce point et qui n'est "sensible" qu'à la dérivée.

@freddy : tu étais déjà exclu, je m'étais adressé aux jeunes ;-)

Je n'ai pas fait d'analyse fonctionnelle dans ma jeunesse ;-)
(ô rage, ô désespoir ...)
Je suis en train de suivre des "Lectures" d'un certain F. Schuller pour les "mathématique de la mécaniques quantique". C'est plutôt bien fait (il a aussi posté des cours pour la géométrie différentielle).

Le lien est ici, sur Youtube.
A partir du cours 7.

C'est bien sûr dans la langue de Shakespeare !

Il faut noter que $\mathcal{E}' \subset \mathcal{D}'$ (les distributions à support compact sont d'abord des distributions).
Ensuite, il est marqué que $\chi \in \mathcal(D)$, ce qui veut en particulier dire que c'est une fonction à support compact.

On va essayer de regarder un cas particulier. Prenons la fonction $\delta_0 \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$.
Techniquement, on ne peut écrire $\langle \delta_0, \varphi \rangle = \varphi(0)$ que pour des fonctions à support compact. Mais on voit bien sur la définition que $\delta_0$ est "insensible" à ce que vaut la fonction en dehors de $0$. Donc, si je prends une fonction quelconque $\in C^\infty(\mathbb{R})$, je suis capable d'appliquer la même recette : $\langle \delta_0, f \rangle = f(0)$. Mais la définition de $\delta_0$ m'en empêche : on ne peut l'appliquer qu'à des fonctions à support compact.
C'est la qu'intervient $\chi$. Elle me permet de fabriquer une fonction à support compact à partir d'une fonction $f$ quelconque sans modifier la valeur de la fonction à l'intérieur d'un compact donné.
Ici, ce qui m'intéresse, c'est de préserver la valeur de la fonction en $0$. Je considère une fonction plateau qui vaut $1$ sur $[-1,1]$ par exemple (il suffit que ce soit un voisinage de $0$). La fonction $f\chi$ est alors à support compact (car $\chi$ est à support compact) et préserve la fonction sur $[-1,1]$ ($\chi$ est un filtre : il laisse tout passer à l'intérieur de $[-1,1]$ et efface tout, i.e met $0$, en dehors), j'ai donc le droit d'écrire $\langle \delta_0, f\chi \rangle = f\chi(0) = f(0)$.
De plus, le choix de $\chi$, du moment que c'est une fonction à support compact qui vaut $1$ sur un voisinage de $0$, n'intervient absolument pas. La définition $\langle \bar{\delta}_0, f \rangle = \langle \delta_0, f\chi \rangle$ est en réalité indépendante du choix particulier de $\chi$.

C'est comme le déterminant (ou la trace) d'un endomorphisme, il est indépendant du choix de la base. Mais pour la calculer, on est souvent obligé de se donner une base

Ce qui change, c'est que quand $T$ est à support compact, on peut l'appliquer à des fonctions $\psi \in C^\infty(\Omega)$ et pas uniquement à des fonctions $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ (j'ai utilisé un symbole différent pour les distinguer).

Acte 1 : $T$ est une distribution à support compact, c'est donc en particulier une distribution, on sait donc l'appliquer à toutes les fonctions $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ et on a la propriété de continuité $\forall K, \forall \varphi \in \mathcal{D}_K(\Omega): |\langle T,\varphi \rangle| \leq C P_{K,m}(\varphi)$

Acte 2 : $T$ est à support compact. Donc, ce qui se passe en dehors de son support n'est pas important. On peut donc essayer de l'applicquer à un ensemble de fonctions plus général que les fonctions à support compact, à savoir $C^\infty(\Omega)$ tout entier (le support n'est plus obligé d'être compact).
La recette est simple, se ramener à quelque chose qu'on sait déjà faire. Donc, on part d'une fonction $\psi \in C^\infty(\Omega)$ et on veut construire une fonction dans $\mathcal{D}_{Supp(T)}(\Omega)$. Il ne faut pas oublier que $T$ n'est pas "sensible" à ce qui se passe en dehors de son support. On veut donc annuler la fonction $\psi$ en dehors d'un compact et garder ce qui se passe à l'intérieur de $Supp(T)$. On choisit donc une fonction plateau $\chi$ à support compact qui vaut $1$ sur un voisinage de $Supp(T)$, du coup, la fonction $\varphi = \psi\chi$ est à support compact et coïncide avec $\psi$ sur $Supp(T)$, et ce ce qui est important du point de vue de $T$.
On définit alors l'action de $T$ sur $\psi$ comme étant l'action de $T$ sur $\psi\chi$ :
$Action(T, \psi) := \langle T, \psi\chi\rangle$.
Pour ne pas alourdir les notations, on garde le même symbole : $Action(T, \psi) := \langle T, \psi\rangle$.

Acte 3 : On montre qu'en fait, cette définition ne dépend pas du choix particulier de la fonction $\chi$, dès lors que c'est une fonction plateau à support compact qui vaut $1$ sur $Supp(T)$. On a alors une définition correcte de l'action de $T$ sur une classe de fonction plus large.

Acte 4 : La propriété de continuité "standard" des distributions n'est à priori valable que lorsque $T$ est appliquée à une fonction test (à support compact).
La propriété dont tu parles concerne donc cette nouvelle définition de l'action de $T$ sur des fonction qui n'ont pas forcément un support compact. Il faut donc la démontrer.

Je n'aurais de meilleure démonstration que celle de ton cours.
Il faudrait que tu relises ce que j'ai écris et que tu vois si tu comprends les différentes subtilités.
Après, il faudra recopier un peu plus proprement la démonstration (tu fais pleins d'erreurs, des $i$ à la place de $j$, un $\mathcal{E}''(\Omega)$ à la place de $\mathcal{E}'(\Omega)$, des $\Omega_i \cup \Omega_j$ à la place des $\Omega_i \cap \Omega_j$, etc.). Tu vois bien qu'il faut être précis sur les objets qu'on manipule (le bouton "Prévisualisation" te montre ce que les autres vont voir).
Et après, tu m'indiqueras les étapes qui te posent problème.

Non.
Prends la fonction $\varphi(x)=x\chi(x)$ où $\chi$ est une fonction plateau qui vaut $1$ sur $[-1,1]$ et à support dans $[-2,2]$ par exemple. Alors, $\varphi(0)=0$ et $\forall x \in [-1,0[ \cup ]0,1], \varphi(x)=x \neq 0$.

Par contre, tu as la propriété (liée à la continuité) que si $\varphi(x_0) \neq 0$, alors il existe un voisinage $V$ de $x_0$ tel que $\varphi$ est non nulle sur $V$.

Non, ce n'est pas correct.

Voici la rédaction du Poly dont je t'avais donnée le lien :

Soient $\Omega$ ouvert de $\mathbb{R}^N$ et $(\omega)_{i\in I}$ famille d'ouverts de $\Omega$ telle que $\displaystyle \cup_{i\in I} \omega_i = \Omega$
Soit $(T_i)_{i\in I}$ famille de distributions telle que $T_i \in \mathcal{D}'(\omega_i)$ pour tout $i \in I$.
Supposons que
$T_i|_{\omega_i \cap \omega_j} = T_j|_{\omega_i \cap \omega_j}$ pour tous $i,j\in I$ tels que $\omega_i \cap \omega_j \neq \emptyset$ (1)
Alors il existe une unique distribution $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ telle que
$T|_{\omega_i} = T_i$ pour tout $i \in I$.

(1) Cette condition est importante est dit que $T_i$ et $T_j$ doivent être identiques sur $\omega_i \cap \omega_j$. On ne peut pas recoller des distribution si chacune donne un résultat différent pour un même ouvert.

Bonsoir,
Tu sais que si $v$ est un vecteur propre de $A$ pour une valeur propre $\lambda$, alors tout vecteur de la forme $\alpha v$, $\alpha \in \mathbb{R}$, est également un vecteur propre pour $\lambda$.
L'équation $Av=\lambda v$ ne va donc pas te donner une seule solution (j'imagine que c'est pour ça que tu tournes en rond). Il faut que tu impose une condition supplémentaire, genre $\|v\|=1$.

Bonsoir,
Pour la première écriture, pour être plus rigoureux, il faut dire d'ou provient $f$ avant la contrainte (sinon, on obtient le paradoxe de B. Russel).
Donc, écrire $E =C^1([-1,1]) = \{ f \in \mathbb{C}^{[-1,1]} \ | \ f \textrm{ continument dérivable }\}$

Je ne suis pas sûr de comprendre la deuxième écriture. Je l'interprète comme : $E$ est une application (ou opérateur) de $V$ dans $\mathbb{C}$ qui à une fonction $f \in V$ associe $f' \in \mathbb{C}$. Ce qui totalement faux !

Une norme est un réel positif ou nul, et elle s'applique à un élément de l'espace vectoriel, ici $E$
Donc : $\|.\| : E \to \mathbb{R}^+$

Voici un code Python que j'ai essayé.
Je n'ai pas eu la patience d'attendre longtemps.

Bonsoir,
Il me semble que la démonstration utilise le théorème de Banach-Steinhaus (ici sur Bibm@ath)
Je ne connais plus les détails. L'idée est de partir de la suite $(x_n)$ de l'espace $X$ et de la plonger dans le double dual $X^{**}$ de l'espace initial $X$. On obtient ainsi une suite de formes linéaires sur $X^*$ qui converge en chaque point de $X^*$, ce qui permet d'appliquer le dit théorème.