Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Pour continuer sur le sujet, il y a une ÉNORME différence d'échelles entre $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac 1 x = 0$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ .

Bonne journée

Bonjour,

En dehors de la trisection d'un angle droit ou d'un angle plat [ajouté : et d'un angle de 135°], qui peuvent effectivement être réalisées à la règle et au compas (il faut certes quelques étapes, mais cela se fait relativement facilement), quels sont les autres cas où la trisection est possible ?

Bonjour bibmgb, bonjour tout le monde,

Cette modération très prononcée s'explique par la transformation de $\ln x^a$ en $a \ln x$.

Donc, $\ln 10^{-n} = -n \ln 10$
Et comme $\ln 10 \approx 2,303$,    $\ln 10^{-n} = -n \times 2,303$

Ainsi,
$ln 10^{-3} = -3 \times 2,303 \approx -6,908$
$ln 10^{-6} = -6 \times 2,303 \approx -13,816$
$ln 10^{-9} = -9 \times 2,303 \approx -20,723$
$ln 10^{-12} = -12 \times 2,303 \approx -27,631$
etc.

[Ajouté] Pour que $ln 10^{-n}$ devienne inférieur à $-1000$, il faut que $n$ soit égal à $435$ !!

On est très loin de valeurs infinies !

Il faut donc savoir appréhender $+ \infty$ et $-\infty$ avec discernement et bon sens...

Bonne journée vacancière

Bonjour CO2,

A une exception près, la division d'un vecteur par un nombre n'est pas admise. Seule la multiplication par un nombre existe, le nombre étant obligatoirement placé en premier.

L'écriture juste est donc $$\frac 1 3 (\vec{AB}+\vec{AC})$$

L'exception concerne la définition du vecteur unitaire associé à un vecteur : $ \dfrac {\text{vecteur}} {\text{norme du vecteur}}$ : $ \dfrac {\vec{u}} {\lVert \vec{u} \rVert} $

La fonction logarithme népérien tend certes vers $-\infty$ lorsque sa variable tend vers $0^+$, mais de façon très modérée.
Donc, très rapidement, la variable tendant vers $0^+$ devient largement prédominante par rapport à la fonction $ln$, et c'est elle qui fait tendre le produit vers $0^-$.

Concrètement :
$\ln {0,1} = -2,3$ ; donc $0.1 \times \ln{0.1} = -0.23$
$\ln {0,01} = -4,6$  ;  donc $0.01 \times \ln{0.01} = -0.046$
$\ln {0,001} = -6,9$  ;  donc $0.001 \times \ln{0.001} = -0,0069$

Bonjour Komi,

Excuse s'il te plaît ma réponse tardive : je suis en vacances en Turquie et me connecte irrégulièrement au forum.

Je pense au contraire qu'entre les courbes de Bézier et les polynômes de Bernstein, tu as largement de quoi moudre, et à un relativement bon niveau, d'autant plus que tu ne disposes que de dix minutes. Et tu as largement de quoi montrer ton travail de recherche et de compréhension.
Ne t'inquiète donc pas, et continue d'avancer !
Je ne doute pas, si tu tires ce sujet, que tu assureras une prestation de haut vol !
(Quel est ton autre sujet ?)

PS : Ce serait peut-être bien que tu mettes par écrit ce que tu as compris des polynômes de Bernstein, car écrire une explication est toujours profitable pour sa propre compréhension.

Bonjour Komi,

Tu as très bien fait d'ouvrir une discussion spécifiquement dédiée aux courbes de Bézier, le principe étant que le contenu d'une discussion doit correspondre à son titre.

J'avais écrit dans mon précédent message (j'ai ajouté le soulignement).

Ta démarche de comprendre d'abord par toi-même est donc on ne peut plus louable !

Concernant les polynômes de Bernstein, j'avoue humblement que je les ai insuffisamment compris, si ce n'est que dans la représentation paramétrique de la courbe à partie de trois points, on retrouve les composantes du polynôme de Bernstein $B_1^2$.

Je ne me suis donc pas risqué sur ce terrain pour guider mon élève. (Je me suis contenté du cas classique que j'utilise en pratique avec mes logiciels de dessin, à savoir deux points fixes et un troisième point glissant servant à établir un premier jet de la courbe ; ensuite je l'affine en modifiant l'emplacement et la tangente des points de contrôle.)
En évoquant ces polynômes, tu élèves sensiblement (à mon sens) le débat, avec le risque que cela comporte si tu ne maîtrises pas parfaitement le sujet.

Par ailleurs, je ne me souviens plus comment vectoriellement expliquer que le point de départ d'un segment est affecté du coefficient $1 - t$, alors que le point d'arrivée est affecté du coefficient $t$.
(Je me souviens que la démonstration est simple, mais ne sais plus la retrouver. Merci à qui voudra bien éclairer notre lanterne.)

Bonjour Komi,

Oh que ta façon de te passionner est plaisante !!
Elle te permettra d'aller plus loin que ce que tu apprendras en cours.

A propos des courbes de Bézier, voici ce que j'écrivais dans la discussion initiée par nolann_lm20 (discussion fermée) et intitulée "Aide grand oral" :

Je pense que tu as de quoi compléter les connaissances que tu as déjà acquises.
(J'imagine que tu es bien au-dessus de la solution de facilité consistant à pomper simplement le texte de présentation...  :-)

Comme tu pourras le voir, le courbe expliquant le principe est assez facile à préparer lors de la vingtaine de minutes qui te seront octroyées pour préparer ton exposé.

Hé bien, disons alors que je me suis efforcé de consolider les connaissances et de relier les savoirs, consolidation, je te rappelle, à laquelle tu as toi-même participé en aidant Komi à mieux comprendre ce que j'avais écrit.

Bonjour Doc,

Je persiste et signe : l'objectif du Grand Oral n'est pas de tester des connaissances acquises par un moyen ou un autre, mais de tester la capacité à exposer oralement un sujet et à l'argumenter devant un auditoire somme toute réduit (un prof de la spécialité, et un prof d'une autre spécialité) !

Donc, à mon sens, peu importe comment le candidat s'est approprié son sujet, et sur quel site il l'a éventuellement pompé, ce qui importe c'est sa façon de l'exposer et de l'argumenter, clairement, et avec assurance.
(Les questions des deux profs ont davantage pour but de vérifier si l'élève perd ou non ses moyens à la moindre question qu'elle ou il n'avait pas prévue. Pas de lui chercher des poux dans la tête sur le contenu technique du sujet.)

Or, mieux un(e) candidat(e) comprend son sujet, plus il sera à l'aise.
(Les questions de Komi vont ce sens : elles montrent qu'il cherche à bien comprendre le fond du sujet.)

Je pense avoir écrit un cours — d'ailleurs beaucoup trop gros pour être utilisé comme tel à l'oral — qui permet de bien comprendre le sujet.
Je ne pense pas avoir rédigé la présentation, et avoir fourni un sujet tout cuit, prêt à emballer, qui ne nécessite pratiquement aucun effort de la part de l'élève.
(Je m'implique beaucoup plus dans le sujet de maths de mes élèves : on le travaille et retravaille ensemble jusqu'à ce que l'élève ait le sentiment de le maîtriser, du moins dans un contexte calme et non stressant. Malheureusement, mes élèves ont jusqu'ici manqué de chance : il tiraient l'autre sujet.)

Donc, de grâce, de grâce, ne vous focalisez pas sur le contenu technique du sujet !!
Je maintiens : c'est la bonne compréhension et la bonne maîtrise du sujet, obligatoirement acquises par le travail préparatoire, qui feront que l'élève se sentira à l'aise.

Maintenant, si certains veulent prendre le risque d'utiliser le sujet sans l'avoir compris, et sans même l'avoir préparé, c'est leur choix. Ils ne pourront s'en prendre qu'à eux-mêmes s'ils subissent une catastrophe.

[ suite 8, et fin ]

Bonjour Komi, bonjour à ceux qui suivent cette discussion,

Je conçois que cela te fût difficile d'assimiler mon feuilleton, surtout en une journée.  :-)
Reviens autant qu'il t'est (qu'il vous ?) est nécessaire. Si je ne suis pas en mesure de te répondre dans l'immédiat du fait de mon séjour de vacances, un de nos membres, par exemple DrStone, te répondra très sûrement.
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Pour résumer, une grandeur peut être calculée par intégration s'il est possible de définir un élément pouvant être infiniment sommé.

Cet élément doit être composé d'une fonction, à une, deux, ou trois variables, multipliée par le produit des variations infinitésimales de ces variables, l'ordre d'intégration — de l'intérieur vers l'extérieur — étant celui du produit.

De plus, lorsqu'on intègre la fonction par rapport à une de ses variables, les autres variables sont considérées comme constantes.

Par exemple, l'intégrale $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \int_{\delta}^{\gamma} f(u,v)dudv$ doit être calculée en intégrant d'abord $f(u,v)$ entre $\delta$ et $\gamma$ par rapport à la variable $u$, ce qui produit une fonction $g$ en $v$, puis en intégrant la fonction $g(v)$ obtenue entre $\alpha$ et $\beta$ par rapport à $v$.

Alors que l'intégrale $\displaystyle \int_{\delta}^{\gamma} \int_{\alpha}^{\beta} f(u,v)dvdu$ doit être calculée en intégrant d'abord $f(u,v)$ entre $\alpha$ et $\beta$ par rapport à $v$, ce qui produit une fonction $h$ en $u$, puis en intégrant la fonction $h(u)$ obtenue entre $\delta$ et $\gamma$.

Bien évidemment, le résultat est le même quel que soit l'ordre d'intégration. (Par exemple, le volume d'un parallélépipède reste le même que l'on calcule $L \times H \times P$, ou $H \times P \times L$.)

Pour ce qui est des exemples, le calcul d'une aire ou d'un volume simples, comme par exemple l'aire d'un disque ou le volume d'une sphère, peut être traité rapidement.
Par contre, le calcul de la distance parcourue par un skateboarder sur une piste parabolique est bien plus riche, et fait bien mieux percevoir, à mon sens, ce que le raisonnement par intégrale peut apporter.

Vous pouvez maintenant comprendre pourquoi je suis si dubitatif face aux avis de certains profs sur la difficulté de tenir 10 minutes avec ce sujet.
Je crois au contraire qu'il faudra bien faire attention à tenir dans ces dix minutes, et donc bien préparer son exposé, car il y a de quoi dire !

Pour terminer, je dirais que l'ensemble formé par le calcul intégral et les équations différentielles — qu'on appelle justement "calcul différentiel et intégral" — représente sans doute le fondement d'une (très) grande partie de notre évolution technique et scientifique depuis le troisième quart du XVIIème siècle, lorsque Newton et Leibniz ont élaboré, chacun de son côté, la notion de dérivée.

Bon courage dans ta (votre ?) préparation !
J'espère que je vous aurai donné envie de poser la question « L'intégrale permet-elle d'aller au-delà du calcul de l'aire sous une courbe ? »

Bonne journée, et bon début de semaine.
Bien cordialement,
Borassus

Конец (konets, fin)

[ suite 6 ]

Bonjour à tous, et notamment à Komi et Dr Stone,

Petites remarques avant de continuer sur notre sujet principal :

Plus qu'une étourderie, il s'agit bien d'un bug. Je sais que lorsque je produis ce genre de bug (en particulier avec une ou un élève), je dois impérativement partir me reposer quelque part.

Alors qu'elle était parfaitement visible, comme une verrue sur le nez :

Que signifie le fait que l'intégrale calculée soit égale à 0 ?

Comme une aire sous une courbe, un volume sous une surface est signé, et peut donc être positif ou négatif. L'intégrale égale à 0 signifie que le volume au-dessus du plan $(Ox , Oy)$ et le volume au-dessous de ce plan se compensent parfaitement, comme c'est le cas, par exemple, pour l'intégrale de $\cos x$ ou $\sin x$ sur une période : l'aire positive sous la courbe est exactement compensée par l'aire négative.

Pour terminer cette note préliminaire, en voyant les questions de Komi, auxquelles a si bien répondu DrStone, que je remercie de nouveau, je me suis rendu compte que j'ai agi "par excès d'évidence" : cela me semblait "évident" que la logique de calcul était immédiatement compréhensible, alors qu'une petite voix me disait de détailler les calculs...

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Revenons maintenant au sujet qui nous préoccupe, à savoir « L'intégrale simple permet-elle d'aller au-delà de l'aire sous une courbe ? »

Voici, pour commencer, le calcul de la longueur d'un arc de la courbe définie par $y = f(x)$.

Le principe, simple, consiste à considérer que la longueur entre deux points infiniment proches de la courbe peut être assimilée à un segment.
La longueur de l'arc de courbe est donc égale à la somme infinie de tous ces segments. (Dans le raisonnement intégral, il faut toujours sommer l'élément générateur. Tout réside dans le bon choix de cet élément.)

Or la longueur $l$ d'un segment élémentaire est égale à $\sqrt {(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ (théorème de Pythagore), où $\Delta x$ et $\Delta y$ désignent les variations de l'abscisse et de l'ordonnée.

Comme il s'agit de variations infiniment petites, on peut remplacer $\Delta$ par $d$.
La longueur d'un segment élémentaire devient maintenant $l = \sqrt {(dx)^2 + (dy)^2}$.
En mettant $(dx)^2$ en facteur,   $l = \sqrt {1 + \left( \dfrac {dy}{dx} \right)^2} dx$

Or, comme $y = f(x)$,   $\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {df}{dx} = f'(x)$.
La longueur d'un segment élémentaire est égale à $\sqrt {1 + \bigg[ f'(x) \bigg]^2} dx$.

D'où la longueur $L$ d'un arc de courbe entre les abscisses $\alpha$ et $\beta$ :

Prenons un exemple concret :
Soit une piste de skate board modélisée entre le plateau de départ et le plateau d'arrivée par $y = 0,1x^2$, avec $x$ compris entre $-8$ et $7$, les unités étant exprimées en mètres.
Quelle est la distance parcourue par un skate boarder allant du plateau de départ au plateau d'arrivée ?
Elle est égale à $\displaystyle \int_{-8}^{7} \sqrt {1 +  0,04x^2} dx$.
A la calculatrice, on obtient $D = 19,5$ mètres.

Vous voyez qu'on est assez loin du calcul de l'aire sous une courbe !

Prodolgénié sliédouiet