Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Difficile à suivre.
Pour le loto, les 49 boules sont équiprobables. Donc toute combinaison de 5 numéros est équiprobable. 
Par contre le tirage successif de pile ou face, chaque jet est équiprobable, mais on constate que sur un grand nombre de jets, on tend vers l'égalité des pile et des face.
Si on groupe les résultats de jets par 4, 5 ou 6 ou ce qu'on veut, et qu'on forme ainsi un nombre en base 2 (composés de 0 et de 1) puis que l'on calcule la moyenne (facile), puis les écarts à la moyenne et que l'on reporte cela sur un graphique, on obtient une courbe qui ressemble à la courbe de Gauss. Si tu fais l'expérience et que tu obtiens autre chose, tu m'en fais part.

Concernant la notion de "quantité mesurable", c'est très clair dans mon esprit et apparemment dans celui qui l'a lu et corrigé : il n'a levé aucune objection. Comme explication, je pourrais par exemple dire que la température n'a pas d'unité définie dans le système MKSA, contrairement à une longueur, si tu veux la température tu mesures la longueur de la colonne de mercure dans le thermomètre. Je n'ai pas d'autre exemple de "quantité" qui ne soit pas définie dans ce système MKSA, directement ou indirectement. (Pardon, les angles, ci-après)

A propos de la définition d'un nombre, soit il désigne une quantité correspondant à une dimension réelle, soit il est un nombre sans unité, alors il ne désigne pas une quantité mesurable. C'est dans ce contexte qu'on m'a dit une fois qu'un angle n'était pas mesurables., Suivant les conventions dont on parle, j'avoue avoir été très surpris, mais c'est exactement comme la température. Un angle est mesurable que si on fixe arbitrairement l'unité employée. Moi, je parle en grades, toi en radians, les écoliers en degrés (décimaux ou centésimaux, ça simplifie pas les choses), les militaires en millièmes, les mécaniciens en tours etc.

Tu parles de la notion de "point", pas de chance, c'est un de mes sujets favoris. La définition d'un médiatrice (exemple) est "l'ensemble des points qui etc...". Pour moi, cette définition n'a pas de sens, elle devrait être "est le lieu géométrique des points qui etc..."
La nuance est importante, un ensemble est une série (non ordonnée) qui a des propriétés sur lesquelles je ne m'étendrai pas. Or un point n'a aucune réalité, c'est une localisation. Si on change de repère, c'est à dire de système de référence, les points ci-avant décrits n'auront plus aucune signification. Ce point de sémantique est complètement hors sujet, mais il me parait très important.

Pour conclure, les probabilités constituent une part importante, voire très importante, des techniques calculatoires à cette époque. Je lis des non-sens, alors, je réagis. Je sais que c'est un péché, mais je ne peux pas m'en empêcher. Dis moi un point sur lequel je me suis trompé (et non que tu ne comprends pas) ?
Le cours de l'université de Rennes, indiqué par Yoshi, est très intéressant. Cependant, je conseille de passer directement au chapitre 9 "Théorèmes limite". J'ai remarqué tout de même que la définition de la moyenne est pudiquement éludée.   

Bonne soirée.

PS. juste pour rigoler, tu cherches à mesurer la température moyenne ou la moyenne des températures ? C'est pas tout à fait la même chose.

Bonjour Yassine,
Oui, effectivement, je me suis limité à répondre aux points qui me paraissaient les plus importants. Mais, je n'ai jamais refusé de répondre.
J'ai relu tes deux observations 1- résultat du loto = 1-2-3-4-5, bien sûr c'est possible : il s'agit d'un seul tirage de 5 numéros (ou 5 sans remise, ce qui est pareil). 2- il s'agit de 100 tirages d'une variable de Bernoulli. C'est pas du tout pareil. Le TCL indique que quelle qu soit la loi de probabilité, le résultat de tirage suivant la même loi tend vers la loi normale.

M. Jean-Claude Girard est en retraite depuis quatre ans environ.

Ton message d'aujourd'hui.
Une quantité mesurable correspond à une quantité réelle, palpable, observable. Par exemple qu'on mesure une longueur en pouce, en coudées, en pieds en années lumière, on change seulement l'unité de mesure. Il n'en est pas du tout pareil pour un nombre. Un nombre n'est qu'une suite de chiffres dans une base donnée. Un nombre n'a pas d'unité, il ne représente rien par lui-même. Dans certains cas, ce nombre représente une mesure, mais ce n'est pas toujours vrai. Exemple pi, c'est un nombre, 2xpi, on sait combien ça vaut à peu près en base 10. Est-ce le périmètre du cercle de rayon 1, pourquoi pas ? Est-ce la moitié de l'aire d'un sphère de rayon 1, pourquoi pas ? En fait, c'est pas vrai, tant qu'on n'y a pas mis une unité. Ca me rappelle la confusion (voulue ou pas) entre le caractère de label et la caractéristique "valeur" du nombre de taches peintes sur les faces.         

Cette affirmation que la température n'est pas une quantité mesurable me vient de la classe de seconde. La phrase m'est restée et avec les années j'ai compris sa portée. Je pense qu'il est assez évident que 20° +  10°, ça fait pas 30°. Deux fois 20°, ça fait pas 40°.
Mais qu'en math 20+10=30 et 2x20=40.
Si ces chiffres sont des nombres (de voitures par exemple) et que chaque unité représente la surface occupée par une voiture, alors ce sont des quantités mesurables. Bien-sûr on peut inventer un appareil, le thermomètre, qui mesure des températures, ou plutôt qui utilise un système physique pour mettre en relation l'effet de la température actuelle et la variation de volume provoquée par la dilatation d'un corps, par exemple le mercure. On peut aussi représenter sur un graphique les variations de température en reportant en Y un nombre de degrés lus sur un thermomètre. Pas de problème pour le min et le max, par contre, ça parait plus délicat pour calculer la moyenne. Il est vrai que si on mélange un litre d'eau à 30° et un litre d'eau à 10°, on obtiendra 2 litre d'eau à 20°. Dans un autre paragraphe on avait pourtant vu que hier 20° aujourd'hui, 10° de plus, donc 30°. N'y aurait-il pas un problème sur cette notion de "mesure" dans le cas de température. Par contre on sait que la chaleur est de l'énergie que l'on mesure en calories. C'est pas du tout la même chose.       

La question 3 est plus compliquée. Concernant les probabilités que je connais et dont je parle, tout est basé sur le postulat de la moyenne. Le "tout" n'est pas trop fort. Un exemple d'application est la méthode des moindres carrés. "Je" dis "c'est la méthode qui donne le résultat le plus probable", on me répond "non, il y a une infinité de façon de calculer" et certains vont jusqu'à refaire un calcul fait par Gauss dans son exposé, naturellement trouvent un résultat différent et reviennent tout fiers "tu vois moi aussi, j'ai trouvé un résultat". Je rajouterai un point important : les probabilités concernent le monde réel, donc mesurable et même "observable". On aura peut-être l'occasion de reparler de cette dernière qualité. Type de chose qui se mesure, le temps (time), le degré d'humidité, la température de l'air (oui, mais c'est pas contradictoire avec ce que j'ai dit puisqu'on transforme cette "mesure" en différence, en pression, en énergie etc. Par contre le temps (weather) c'est complètement subjectif.

Bonsoir Yassine,
Je ne rentrerai pas dans les détails mais le paragraphe "inégalité de Bienaymé" devrait répondre à ta question.
Fais simplement l'expérience : avec un dé ordinaire, en bois ou en plastique, à 6 faces. Tu lances le dé une trentaine de fois. Tu notes le N° des faces (rien à voir avec leur valeur). La moyenne des sorties est le nombre de jets divisé par 6. C'est à dire, pour chaque face, tu comptes le nombre de sorties. Ensuite, pas très difficile, tu calcules les écarts de chaque face par rapport à la moyenne. Exemple, pour que tout soit bien clair, si tu fais 36 lancés, la moyenne des sorties est 6. Le N° n est sorti 4 fois. Donc, son écart à la moyenne est 2.
Ensuite, tu fais un joli graphique genre barres, et tu reportes les différents écarts. Tu obtiendras forcément un graphique ressemblant à une jolie répartition  Gaussienne. J'ai oublié de préciser que les écarts devaient être représenté suivant les abscisses croissantes.       
Naturellement, si tu as les outils nécessaires, un simple ordinateur avec un langage qui dispose de la fonction rand (sauf scilab ou matlab), les même exercices en simulant un jet de pièce et en groupant les résultats par mot de 4, 5 ou 6 donnera un graphique beaucoup plus sympathique.
Il me semble avoir décrit cela dans mon papier, par hasard, t'as pas essayé ?

Bon,
Il n'y a aucune agressivité de ma part, et aucun désir d'énoncé d'une théorie personnelle.
@ Yoshi,
Le qualificatif "M-M-a" ne t'étais en aucun cas destiné. Je pensais en l'occurrente à quelqu'une très précisément. Ce qualificatif s'applique aussi à quelqu'un que Léon connait bien. Par "vrai" matheux, j'entends quelqu'un qui serait incapable de dire "Moi je sais, donc t'as tort".
Concernant le TCL, à part le fait que c'est le théorème qui est central et non la limite, l'explication de Bibm@th me convient parfaitement.

@Léon.
Citation :

" 4. L’ambiguïté de la simulation
D’après le programme de lycée
“Simuler une expérience, c’est choisir un modèle de cette expérience, puis simuler ce modèle” mais “
Modéliser une expérience à valeur dans un espace E, c’est choisir une loi de probabilité P sur E”.
En conséquence, pour simuler une expérience en seconde, il faut avoir un modèle, c’est-à-dire une
loi de probabilité que l’on introduira en première seulement. Dans cette classe, les lois de probabilité seront alors définies par analogie avec les distributions de fréquences obtenues dans la simulation. Il y a là comme un cercle (didactique) vicieux."

Ce que je pourrais répondre :
"Le choix d'un modèle (loi de probabilité) n'a aucune influence sur la répartition du résultat. C'est le TCL et c'est naturellement fondamental."

Bon, Léon, j'ai une réponse d'avance sur toi. Le document auquel je faisais allusion, je t'en ai fait par, peut-être as-tu encore le lien.

Je lirai soigneusement le document de l'université de Rennes et si vous voulez, je dirai mon avis.

Message reproduit ici
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 609#p57609

Bonsoir,
Je réponds en tant qu'ignorant et hérétique.
Dans cette discussion il manque une chose fondamentale : la définition de "mathématiques".
Il y a des quantités de chapitres dans cette spécialité. Je ne prendrai comme exemple que l'arithmétique. Il y a les quatre opérations, et si on persévère, il y a les fractions, les pourcentages etc.
Je viens de lire de longs échanges où il est question de Gödel, de Cantor, de l'infini, etc. Bien sûr, ce sont des mathématiques, mais ne pas admettre qu'on peut peindre un mur de dimension infinie avec un nombre fini de pots de peinture est une incompréhension majeure des mathématiques ? Dire qu'en traitement informatique la connaissance du calcul matriciel n'apporte pas grand-chose, dire que l'inégalité de Bienaymé est démontrée et que l'implication est importante, est-ce une preuve d'hérétisme et mérite le bucher ?
Bonne soirée.

Bonsoir Yassine,
Toi qui me parais compétent, et qui, apparemment, a lu mon pdf de vulgarisation, c'est étonnant que tu n'arrives pas à résoudre les deux exercices proposés. Si j'ai bien compris les programmes de lycée, c'est du niveau terminale S. Pour Freddy, c'est normal, il a décidé, dès le départ, que tout était faux. Concernant Tibo, il a choisi de suivre les conseils de Freddy, c'est son choix et son droit le plus strict. Mais toi, j'avais cru comprendre que tu avais les compétences nécessaires pour résoudre un exercice posé sur un forum de math. Le premier nécessite quelques calculs, le second se résout en une seule phrase.
Par ailleurs, Léon connait bien le premier exercice, puisque c'est grâce à ses essais que j'ai pu montrer que la fonction rand() de Scilab n'était pas satisfaisante. Ou plutôt, j'avais des doutes suite à l'affirmation de S., puis une liste douteuse d'une élève de l'ENS, puis la confirmation sans doute possible, grâce à la liste de Léon.   
Bonne soirée.

Bonjour Yassine,
Merci pour cette longue réponse.
Je ne vais pas répondre point par point, juste quelques détails.
Ma définition du terme "probabilité" ... Le problème de l'aiguille est justement cité à titre d'exemple dans le cours de JJ Levallois (qui c'est celui-là ?) et sa conclusion est "On a exécuté pratiquement cette expérience pour savoir si elle s'accordait avec la théorie. Le résultat constitue une éclatante vérification de celle-ci ; sur un nombre de 5.000 épreuves on a calculé pour pi la valeur 3,15. Il est difficile d'obtenir mieux dans la vérification des lois physiques : avec une aiguille de 36mm et un écart de lignes de 45mm, Wolf a obtenu : 2.532 sécances au lieu de 2.546 calculées : 1/pi = 0.3169 au lieu de 0.3183."

Postulat de la moyenne ... Je n'ai fait que recopier (volontairement souvent de mémoire pour la raison que j'ai expliquée) des choses écrites par des gens dont les compétences en la matière ne peuvent être contestées.

Distinction entre variables réelles et variables entières ... J'ai toujours observé que cette distinction était faite pour des motifs pédagogiques. Elle est d'ailleurs sans objet si on lit le TCL, pour la bonne raison qu'il n'y fait référence.

Si tu pouvais m'indiquer un document sur le net où je pourrai trouver les éléments de base de la théorie de Kolmogorov, je suis preneur.

Il y a 2 sujets bien connus qui montrent des failles dans cette théorie de K. le problème de Monty-Hall et la Corde de Bertrand. Tout simplement parce qu'on peut démontrer que les conclusions habituelles sont fausses.

Si tu relis bien les différentes interventions, on ne m'oppose que des certitudes et de nombreux termes non définis (espérance, empirique, biais, estimation etc.). 

S'il te plait, donne moi ton avis, à défaut de réponse, sur les deux exercices à la fin de mon papier. Pour mémoire, les vérifications citées en annexe ont été faites par Léon.

Bonjour,
Vous vous rendez compte, l'école nationale supérieure du pétrole dit le même genre d'imbécillité que moi ! Où va-t-on ?

@ Léon, c'est S. titulaire d'un doctorat dans ce domaine, qui enseigne et de plus est modérateur d'un forum de mathématique qui ne l'a dit (absence de référence de l'expression "postulat de la moyenne"). J'ai eu tort de le croire.

Petite question à Yoshi : "C'est moi qui suis incorrect ?"

@ Tibo,
"Si c'est ça, ce n'est pas un postulat. Ça se démontre très bien (sous certaines conditions), je l'enseigne à mes élèves de seconde...".
On mais c'est pas moi qui appelle ça un postulat, c'est dans le cours de Lévy, repris dans le cours de JJ Levallois.
Je suppose que vous démontrez cela à partir de la loi des grands nombres, laquelle est établie à partir du postulat de la moyenne.
Vois parlez de "valeur empirique", avez-vous une définition ?
En référence aux les deux documents que je site le plus souvent, l'adoption de la moyenne arithmétique comme valeur la plus probable est l'approche du Pr Rouaud, pour le Pr. Harthong, cette notion n'est pas abordée, son livre est plus orienté sur la notion de hasard, il parle simplement de "choix intuitif". Mais ces deux professeurs enseignent plutôt en fac.
Si vous pouvez le démontrer, je suppose que ça intéressera beaucoup de monde.
Tien, à propos de démonstration, vous démontrez que c'est la valeur exacte ou que c'est la valeur la plus probable ?

Pourquoi n'essayez-vous pas de résoudre les deux exercices indiqués à la fin du PDF ?

@ Yassine, heureusement, aujourd'hui, il fait deux fois moins chaud qu'hier.

@ Yassine,
A l'évidence vous avez lu soigneusement au moins le papier "Notions de probabilités".
Cela me ferait plaisir et me permettrait éventuellement de clarifier certaines choses si vous faisiez quelques commentaires.
Le seul sujet abordé qui ne fait pas référence à des notions parfaitement établies est le papier
http://www.dlzlogic.com/aides/Lorenz_Gini.pdf
Merci d'avance.

PS
<<ça me rappelle une célèbre réplique d'un film de Sergio Leone : "Tu vois, le monde se divise en deux catégories : ceux qui ont un pistolet chargé et ceux qui creusent. Toi, tu creuses".>>
Et je rajouterai, "il y a 10 catégories de gens, ceux qui connaissent le binaire et les autres".

Bonjour,
Je suis de la vieille école et je continue à raisonner de la même façon.
Axiome personnel : les mathématiques ne servent à rien sauf que c'est un outil indispensable.
Il y a 2 catégories de mathématiciens, ceux qui créent les outils et ceux qui les utilisent. Il est très rare que un individu fasse partie de ces 2 catégories, il n'y a que des génies du type Gauss qui a créé ses outils mathématiques pour ses besoins en astronomie.
Démarche nécessaire pour établir une théorie :
1- établir un certain nombre de définitions. Tous les termes employés par la suite devront être parfaitement définis de telle façon qu'aucune contestation, voire discussion ne soit possible, concernant les définitions.
2- définir le ou les axiomes nécessaires. Cette étape ne comporte pas de démonstration, mais d'affirmations de caractéristiques adoptées. On appelle cela aussi de postulats. Un exemple célèbre est celui des droites parallèles dans le plan. Ces axiomes doivent être suffisamment clairs et précis pour ne pas provoquer de controverse. Soit on les accepte et on peut continuer, soit on les refuser et on n'en parle plus.
3- l'établissement de tous les théorèmes nécessaires à l'établissement complet de cette théorie. Chaque point élémentaire de cet étape devra obligatoirement faire référence, soit à une définition, soit à un axiome, soit un théorème déjà établi avec cette rigueur.

Dans le cas des probabilités, j'essaye de suivre ce schéma, c'est pourquoi le point initial est "la moyenne". Quand je l'évoque, diplomatiquement on oublie la question.

Désolé de me répéter. Autrefois, ces notions n'étaient enseignées que dans le cadre de professions qui en avaient besoin. Le cercle était assez restreint, mais cela n'avait aucune importance. Maintenant c'est au programme, alors "bonjour les dégâts !".
J'ai pris soin de rédiger des papiers. Il y a 3 types de réactions
1- aucune (je ne peux pas savoir par exemple si Freddy l'a lu ou s'il estime que de toute façon je ne suis qu'un imbécile)
2- de la part de gens qui l'ont peut être lu et qui me répondent "tout est faux" (je simplifie), sans plus de précision.
3- ceux qui l'ont lu et n'ont rien laissé échappé (Léon en fait partie)