Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour Jean-Louis,

Oups ! Il fallait bien sûr lire.

Merci !
Bien amicalement aussi.

Si ce n'est déjà fait, vous allez apprendre à établir ce qu'on appelle la forme canonique du polynôme : $P(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$, avec $\alpha = - \dfrac b a$ et $\beta = c - \dfrac{b^2}{4a}$   (plutôt que $\beta = \dfrac {4ac - b^2}{4a}$).

La forme canonique est en quelque sorte une "fiche d'identité" permettant de spécifier tout polynôme du second degré à l'aide de trois paramètres, quelle que soit la forme sous laquelle il est initialement écrit, un peu comme un passeport : en effet, tous les passeports du monde sont formatés sur le même modèle.

La valeur $a$ correspond à l'orientation de la courbe (appelée "parabole") et à l'ouverture de la parabole : si $a$ est positif, l'intérieur de la courbe est orienté "vers le haut" (on dit que la courbe est convexe) ; si $a$ est négatif, l'intérieur de la courbe est orienté "vers le bas" (on dit que la courbe est concave) ; si $a$ est petit en valeur absolue, la parabole est plus ou moins largement ouverte ; si $a$ a une valeur absolue plus importante, la parabole est plus ou moins resserrée.

La valeur $\alpha = - \dfrac b a$ correspond à la valeur centrale du polynôme, et à l'abscisse de l'axe de symétrie de la courbe.

La valeur $\beta$ correspond à la valeur du minimum si $a$ est positif, et à la valeur du maximum si $a$ est négatif.
Graphiquement, cette valeur correspond à l'ordonnée du sommet de la courbe.

Demande-toi à quelle distance correspond le quotient $\dfrac {b^2}{4ac}$ intervenant dans l'expression de $\beta$. (Il s'agit d'une valeur signée, son signe étant celui de $a$).
Rappel : La courbe coupe obligatoirement l'axe des ordonnées au point $(0 \: ; \: c)$.

Dessine trois configurations avec $a > 0$ : la courbe est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses ; la courbe tangente l'axe des abscises ; la courbe coupe l'axe des abscisses.
En utilisant l'expression de $\beta$, détermine l'inégalité ou l'égalité correspondant à ces trois configurations.

Même réflexion pour $a < 0$ : courbe entièrement sous l'axe des abscisses ; courbe tangentant l'axe des abscisses ; courbe coupant l'axe des abscisses. (Attention : n'oublie pas que dans ce cas $a$ est négatif...)

Quelle que soit la fonction $f$, la courbe $y = f(x -\alpha)$,  correspond à la courbe $y = f(x)$ décalée horizontalement de $\alpha$ : vers la droite si $\alpha$ est positif, vers la gauche si $\alpha$ est négatif.

De même, la courbe $y = f(x) + \beta$ correspond à la courbe $y = f(x)$ décalée verticalement de $\beta$ : vers le haut si $\beta$ est positif, vers le bas si $\beta$ est négatif.

Le tracé de n'importe quelle courbe $y = ax^2 + bx + c$ devient alors très simple lorsqu'on a établi la forme canonique : il suffit de tracer à partir de la nouvelle origine $(\alpha \: ; \: \beta)$ la courbe $y = ax^2$ en prenant les points « 1 à droite et 1 à gauche" » et « 2 à droite et 2 à gauche".
Je te propose par exemple de tracer la courbe correspondant à la forme canonique $2(x + 3)^2 -1$. (Prévois un peu d'espace vers le haut.)

La suite suit.

Bonsoir à tous,

Toujours à propos de la fonction exponentielle de base $e$ :

Pourquoi tous les polycopiés de cours et tous les manuels présentent le nombre $e$ comme étant la limite de $\left ( 1 + \dfrac 1 n \right )^n$, qui tend extraordinairement lentement vers $e$, alors que le développement en série $1 + \dfrac 1 {1!} + \dfrac 1 {2!} + \ldots + \dfrac 1 {n!}$ (initié par Euler lui-même) tend très rapidement vers ce nombre ??!!

Avec le développement, la cinquième décimale est atteinte pour $n = 9$, alors que pour la définition habituelle, la première décimale est atteinte pour $n = 74$, la deuxième pour $n = 164$, la troisième pour... $n = 4822$ !!

Ah oui, c'est vrai : les développement en série ne sont pas au programme !
Ce n'est pourtant pas une notion difficile à comprendre, surtout pour le calcul d'une constante !

PS : Je devrais changer de pseudo : Borebelle !  :-)

Bonsoir Yoshissime, bonsoir à tous,

Ô que voilà de beaux sujets de débats et de réflexion !
Merci !

Effectivement, je n'attribue pas au mot "dressage" le sens d'habilité progressivement acquise facilitant ensuite la progression.

Je lui attribue plutôt le sens de "maths fouettardes" que je vois malheureusement trop souvent sur les copies corrigées de mes élèves :
la qualité d'un raisonnement est jugée pas tant pour ses qualités intrinsèques, mais plutôt à l'aune de la capacité de l'élève à strictement respecter "la ligne du parti", le formalisme primant sur la tentative de réflexion personnelle.
Si ce formalisme n'est pas respecté, on perd des points ! D'où la nécessité de « faire l'âne pour avoir du son ».
Et d'où aussi la crainte de beaucoup d'élèves de ne pas faire « comme le prof demande ».

Je reprends ma réflexion sur le "bon sens", car elle rejoint, autrement, celle de Yoshi.

Les échanges précédents m'ont permis de comprendre que le bon sens appliqué aux maths relève des maths comprises par rapport aux maths apprises.

Les deux exemples que Rescassol et moi avons proposés concernent la même indétermination $\infty - \infty$.

Les maths apprises disent « Il y a une indétermination de type $\infty - \infty$. Il faut donc séance tenante procéder selon tel ou tel formalisme pour la lever. »
Et on lance la cavalerie du développement mathématique, sabre au clair ! Boudoum, boudoum, boudoum !

Les maths comprises disent pour le premier exemple « Du fait des valeurs exponentielles devenant très rapidement énormes par rapport à 1 (exemples concrets à l'appui), les deux termes deviennent très rapidement égaux ; donc la limite est à l'évidence nulle. »

Pour le deuxième exemple, les maths comprises disent « Du fait de l'évolution très lente de la fonction racine carrée, et du fait que les deux termes sont de même ordre de grandeur, on ne peut d'emblée prévoir la limite de la fonction. Un développement mathématique ad hoc est donc nécessaire. »

Plus généralement, face à cette indétermination $\infty - \infty$, les maths comprises discernent schématiquement trois cas :

• le premier terme évolue, en valeur absolue, beaucoup plus rapidement que le second, auquel cas la fonction tend vers $+\infty$ ;

• le second terme évolue, en valeur absolue, beaucoup plus rapidement que le premier, auquel cas la fonction tend vers $-\infty$ ;

• les deux termes sont de même ordre de grandeur, auquel cas il s'agit d'une véritable indétermination qu'il faut lever mathématiquement.

(Il en est de même pour les autres indéterminations.)

Malheureusement, les élèves ont l'impression de se tirer une balle dans le pied, car leur raisonnement de maths comprises ne correspond pas à ce que les maths apprises exigent d'eux.

Je conseille donc de jouer sur les deux tableaux :
Commencer par le raisonnement de maths comprises, et faire la jonction avec les maths apprises par une phrase de type « Cette logique est bien évidemment confirmée par le calcul : »
S'ensuit la démarche mathématique attendue.
Le procédé est alors difficilement attaquable !

C'est effectivement l'impression qu'ont beaucoup d'élèves.
(J'avais dans un de mes messages cité un élève de Terminale très déplaisant qui ne voulait que connaître les recettes de résolution des exercices donnés au Bac. La compréhension de fond ne l'intéressait absolument pas.)

Nous nous rejoignons aussi sur ces points, cher Yoshi :

A quelques rares exceptions près, je déteste moi aussi les corrigés d'exercices, qu'ils soient en fin de manuel, qu'ils fassent l'objet de recueils — j'en ai toute une bibliothèque —, ou qu'ils soient rédigés par les profs.
(Pour ces derniers, j'utilise souvent l'expression « partie de bonneteau » : « regardez ! hop, hop, hop ! Vous n'avez rien compris ? Tant pis pour vous, bandes de nazes ! »
Je vois rarement des corrigés véritablement pédagogiques, qui expliquent la logique des choses.)

D'abord, parce que le plus souvent ils ne présentent, effectivement, qu'une seule approche de résolution.

Ensuite, parce que les résolutions sont le plus souvent fastidieuses, indigestes, sans le souhait de montrer des solutions élégantes qui font dire avec plaisir et émerveillement « Oh ! Jo-li !! »

Enfin, parce qu'ils n'incitent le plus souvent pas à aller au-delà de l'exercice, à essayer de généraliser les concepts qui y sont développés.
A la fin de l'exercice, les élèves peuvent dire « Oui. Et ??? », avec le sentiment de n'avoir en réalité pratiquement rien appris (ou plutôt, de n'avoir pratiquement rien fondamentalement compris).

Bonne fin de soirée.
Bien cordialement,
B.

Ah zup alors !
J'avais oublié !
Merci Bernard !

Nos deux exemples opposés permettent, semble-t-il, de mieux cerner la notion de "bon sens" appliquée aux maths :

Dans le premier cas, le bon sens consiste à dire que les valeurs exponentielles sont tellement énormes par rapport à $1$ qu'il n'est pas nécessaire de procéder au raisonnement mathématique rigoureux (qui peut être considéré comme étant "à côté de la plaque").

Dans le second cas, le bon sens consiste au contraire à dire qu'il n'est pas possible d'appliquer un raisonnement intuitif, et que donc seul le raisonnement mathématique rigoureux permet d'aboutir à un raisonnement fiable.

Tout à fait !

Il serait notamment BEAUCOUP plus intéressant, et BEAUCOUP plus formateur, de non pas demander d'étudier les variations d'une fonction, mais de DÉMONTRER, et de quantifier, les caractéristiques observées sur la courbe : périodicité éventuelle, limites, asymptotes (horizontales, verticales, obliques), maxima, points d'inflexion, points d'intersection avec l'axe des abscisses ou avec l'axe des ordonnées...

Cela permettrait de développer le sens d'observation et de répondre à des « Pourquoi ? », notamment quand on observe une bizarrerie.

Et cela vaut dans tous les domaines.
Par exemple, on peut observer une bizarrerie sociologique, médicale, physique... et s'évertuer à COMPRENDRE les raisons de cette bizarrerie.

Je rappelle à cette occasion deux des trois maximes que je place en signature :
« A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension. »
« « Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance. »

Bonjour Rescassol, bonjour à tous,

Oh que cette fonction et cette limite sont mignonnes !
D'abord juste le point $(0 \:;0)$, puis, à partir de $1$, une partie strictement décroissante de $\sqrt 2$ à la limite $1$.
Je la retiens et la proposerai en exercice. Merci !

Si on ne prend pas le soin de préalablement voir l'allure de la courbe sur sa calculatrice — Important à l'intention de amis lycéens : avant de vous lancer dans des développements mathématiques, ayez systématiquement le réflexe de vérifier d'abord l'allure de la courbe !! cela vous permettra de vous assurer que vos résultats sont bien en accord avec celle-ci —, elle est en effet piégeante.

En effet, le réflexe intuitif "à la louche" cité par Rescassol mène à une contradiction par rapport à l'observation.
Il en est de même si on réécrit l'expression sous la forme
     $\sqrt x \sqrt {1 + \dfrac {1}{\sqrt x}} - \sqrt x \sqrt {1 - \dfrac {1}{\sqrt x}}$     (Où est dans cette réécriture l'erreur de raisonnement ??)

Bernard a raison : il vaut mieux, par rapport à des lycéens — les développements limités ne sont malheureusement pas au programme de Terminale —, utiliser l'expression conjuguée.
On aboutit alors à l'expression
     [tex]\dfrac {2 \sqrt x}{\sqrt x \sqrt {1 + \dfrac {1}{\sqrt x}} + \sqrt x \sqrt {1 - \dfrac {1}{\sqrt x}}} [/tex]
qui tend vers $\dfrac {2 \sqrt x}{2 \sqrt x}$ , c'est-à-dire vers $1$.

Maintenant, cher Rescassol, ne me fais pas dire ce que je ne dis pas !!

Quand dans mon exemple je me réfère au bon sens, c'est parce que la calculatrice m'autorise à faire appel à lui : $1$ vs $485$ millions ; $1$ vs $10 \: 686$ milliards, etc.

Je ne dis absolument pas qu'il faut uniquement se fier à son intuition (ou au raisonnement hâtif "à la louche"), qui effectivement peut être trompeuse, et rejeter le raisonnement rigoureux !!

J'essaie de placer $x>0 \nearrow$ sous $e^x \uparrow ^{+\infty}$ à l'aide de "substaque" mais le système me répond "No spam please" (d'où l'écriture bizarre).

Je suis grandement aidé dans mon travail par ChatGPT, qui me fournit de précieuses indications.
Il me faut cependant rédiger soigneusement les prompts, en indiquant exactement les codes de structure, pour qu'il ne parte pas dans une fausse direction.

[Ajouté] C'est dans l'aide au codage que ChatGPT est véritablement bluffant ! Il comprend votre besoin, propose une solution de codage, propose des modifications à cette solution si la solution ne fournit pas le résultat attendu, repère dans votre code les erreurs de syntaxe, mais aussi de logique de programmation...
Et, au bout du compte, par itérations, on trouve ensemble la solution permettant d'obtenir le résultat escompté.

Bonjour,

En résumé — excusez-moi d'insister, mais c'est un sujet qui me tient à cœur —, et en étant "quelque peu" iconoclaste, les limites

     $\lim \limits_{x \to \infty} e^x = +\infty$

     $\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac {e^x} x = +\infty$

     $\lim \limits_{x \to -\infty} e^x = 0$

     $\lim \limits_{x \to -\infty} x e^x = 0^{-}$

     $\lim \limits_{x \to \infty} \ln x = +\infty$

     $\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac {\ln x} x = 0^{+}$

     $\lim \limits_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty$

     $\lim \limits_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0^{-}$

devraient être purement et simplement interdites car relevant d'un non-sens total !

A la place devraient être enseignées les formulations en français — c'est utile le français en maths ! — suivantes :

• La fonction exponentielle de base $e$ croît infiniment rapidement quand sa variable, positive, croît.
  Exemple : $e^{30} = 10 \: 686 \times 10^9$

• La division de la fonction exponentielle de base $e$ par sa variable ne change rien à la croissance infiniment rapide.
  Exemple : $\dfrac {e^{30}}{30} = 356 \times 10^9$

• La fonction exponentielle de base $e$ tend infiniment rapidement vers 0 lorsque sa variable, négative, décroît.
  Exemple : $e^{-12} = 6,1 \times 10^{-6}$

• La multiplication de la fonction exponentielle de base $e$ par sa variable lorsque celle-ci est négative ne change rien à la décroissance infiniment rapide.
  Exemple : $e^{-12} \times -12 = -7,4 \times 10^{-5}$

• La fonction logarithme népérien croît infiniment lentement.
  Exemple : $\ln 10^9 = 20,7$

• Comme la fonction logarithme népérien croît infiniment lentement, la division par sa variable lorsque celle-ci croît infiniment produit un nombre infiniment petit.
  Exemple : $\dfrac {\ln 10^9}{10^9} = 2 \times 10^{-8}$

• La fonction logarithme népérien décroît négativement lentement lorsque sa variable tend infiniment vers 0.
  Exemple : $\ln 10^{-9} = -20,7$

• La multiplication de la fonction logarithme népérien par sa variable lorsque tend infiniment vers 0 produit un nombre infiniment petit.
  Exemple : $\ln 10^{-9} \times 10^{-9} = -2 \times 10^{-8}$

Sur ce, je dois me préparer pour aller au Parc des Princes en tant que volontaire, malheureusement aux abords et non à l'intérieur du stade.

Bonne journée olympique à tous !

Bonjour Yop,

Merci de nous donner de tes nouvelles !
Bonne (brillante) suite, donc !