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Bonjour,

L'intervention d'un produit symétrique du type F(x, y, z)*F(y, z, x)*F(z, x, y) = 0
avec permutation cyclique des coordonnées suggère chaque terme F(u, v, w) successivement défini par rapport aux 3 directions de l'espace.

Le premier terme s'écrit: F(x, y, z) = |G(x, y)| + |H(z)| .

Qu'il soit éventuellement nul (c'est l'une des trois conséquences possibles de la première équation) implique:

G(x, y) = 0 ET H(z) = 0 ;

a) G(x, y) = 0 implique |x-a|+|x+a|+|y-a|+|y+a| = 4a soit: M(x) + M(y) = 0 en convenant de prendre

M(u) =  |u - a| + |u + a| - 2a;

# pour (x < -a) , on a: (x + a) < 0 d'où: |x + a| = -(x + a) , (x < +a) d'où: (x - a) < 0 et |x - a| = -(x - a)  , il vient dans ce cas: M(x) = -x - a - x + a - 2a = -2(x + a) = , d'où M(x) > 0 ;
# pour (-a ≤ x ≤ +a), il vient: (x + a) ≥ 0 et (x - a) ≤  0 , d'où: |x + a| = (x + a) et |x - a| = -(x - a) ,
ce qui donne dans ce cas: M(x) = (x + a) - (x - a) -2a = 0 ;
# pour (a < x), on a: (x - a) > 0 d'où: |x - a| = (x - a)  , (x > -a) d'où: (x + a) > 0 et |x + a| = (x + a) , il vient alors:  M(x) = (x + a) + (x - a) - 2a = 2(x - a) , d'où: M(x) > 0 .
Résultats analogues vis à vis de la variable (y).

G(x, y) apparaît ainsi comme la somme de deux termes non négatifs: G(x) = M(x) + M(y);
l'égalité G(x, y) = 0 implique donc M(x) = 0 ET M(y) = 0 , soit: (-a ≤ x ≤ +a) ET (-a ≤ y ≤ +a).

b) H(z) = 0 implique |z| = a , soit: z = ± a , équations de deux plans parallèles à (xOy), et distants de (a).

Par conséquent l'égalité F(x, y) = 0 entraîne que le point M(x, y, z) considéré appartient à l'une des deux faces (ABCD, EFGH) du cube parallèles à (xOy).

§ D'une manière analogue, F(y, z, x) = 0 implique G(y, z) = 0 ET H(x) = 0 , donc

(-a ≤ y ≤ +a) ET (-a ≤ z ≤ +a) ET x = ± a ;

le point appartient à l'une des deux faces carrées (ABFE) ou (CDHG) ;

§ De même, F(z, x, y) = 0 implique G(z, x) = 0 ET H(y) = 0 , donc

(-a ≤ z ≤ +a) ET (-a ≤ x ≤ +a) ET y = ± a ;

le point appartient à l'une des deux faces carrées (BCGF) ou (ADHE) .

L'ensemble des points vérifiant la solution donnée correspond bien à la surface frontière du cube centré en (O), d'arêtes parallèles aux axes et de longueur (2a).

Bonne année à tous.

Voici, en confirmation de ce qui précède, le programme source relatif à l'édition des 4 listes précédentes (rédigé en Pascal).

Bonjour,

L'entier (5⁵) n'admet pas d'autre diviseur premier que (5); chercher à l'exprimer par une somme (ou une différence) constitue une complication inutile:

(a-1)(a)(a+1)(a²+1)+a = (a² - 1)(a² + 1)a + a = (a⁴ - 1)a +a = a⁵ - a + a = a⁵ .

L'expression proposée résulte de la factorisation de (a⁴ - 1) .

On pourrait envisager une expression plus générale de F(a) = a^{2^n + 1}:

F(a) = a^{2^n + 1} - a + a = a(a^{2^n} - 1) + a = a + a(a^{2^(n-1)} + 1)(a^{2^(n-1)} - 1) = ... etc

qui fait intervenir lun produit de (n + 1) termes:

G(a) = (a - 1)Π_k=0^n-1(a^{2^k} + 1) = a^{2^n} - 1 .

Que le chiffre des unités soit un (5) est une propriété liée à l'écriture décimale du nombre; s'intéresser à cette propriété oriente les calculs dans une direction différente:

N = 10*q + u avec q = (N DIV 10) et u = (N MOD 10).

-i² = -(-1) = + 1

La remarque de Yoshi était fondée.

... Pas trop mal aux cheveux ?

Je ne vois vraiment pas la raison du choix de cette valeur: Exp(π) = 23.140 692 ...
N'y aurait-il pas un malentendu ?

Cela devrait donner:

A/Sin(a) = B/Sin(b) = C/Sin(c) = P/(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b)) ,

d'où:

A = P.Sin(a)/(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b)) ;
B = P.Sin(b)/(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b)) ;
C = P.Sin(a + b)/(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b)) ;
S = P²Sin(a)Sin(b).Sin(c)/2(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b))² .

L'équation S = LP devient:

P.Sin(a)Sin(b)Sin(a + b) = 2L.(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b))² ,

ou plus simplement:

C.Sin(a)Sin(b) = 2L.(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b)) .

Calculs à vérifier.

# On peut aussi proposer une autre forme d'énoncé: S = K.P²
dans laquelle (K) représente un facteur sans dimension, et ne peut dépasser un certain seuil qu'il serait intéressant de déterminer.

Bonjour,

(M₀) désignant le point d'intersection des deux droites (D, D') dans le plan, (M, M') deux autres points appartenant à chacune de celles-ci et distincts du précédent, les vecteurs (M₀M , M₀M') admettent pour composantes:

M₀M = (x - x₀).i + (y - y₀).j ; M₀M' = (x' - x₀).i + (y' - y₀).j .

Les coefficients directeurs correspondants peuvent être définis lorsque (x) et (x') sont différents de (x₀); il vient alors:

a = (y - y₀)/(x - x₀) ; a' = (y' - y₀)/(x' - x₀) ,

et le produit scalaire des deux vecteurs admet pour expression:

p = (M₀M|M₀M') = (x - x₀).(x' - x₀) + (y - y₀).(y' - y₀) = (x - x₀).(x' - x₀).(1 + a.a') .

Ce produit scalaire ne s'annule que dans le cas de deux vecteurs orthogonaux, puisque les normes ne sont pas nulles, et l'on observe dans ce cas que

p = 0 équivaut à a.a' = -1 .

Lights Out: voilà le mot-clef de recherche.

La résolution théorique ne paraît pas facile:

http://www.pierreaudibert.fr/tra/lightout.pdf   
http://rouxjeanbernard.ch/AM/html/amch84.html
http://revue.sesamath.net/spip.php?article950

Bonjour,

Il y a bien pire ! J'avais spontanément songé aux hélices de Boerdijk–Coxeter, résultant de l'accolement des tétraèdres successifs par leur face commune

mais je me suis abstenu de répondre, parce que cette idée n'était d'aucune utilité pratique, et de nature à paniquer un lecteur inexpérimenté.

D'autant que Yoshi t'avait immédiatement donné la bonne réponse ...

Le seul moyen d'obtenir des tétraèdres à partir d'une poutre, c'est d'abord de découper celle-ci en cubes, puis de tronquer ces derniers en supprimant un sommet sur deux.  Cela posera le problème de la détermination d'angles dièdres, dont la résolution dépendra des possibilités techniques de ton appareillage.

https://en.wikipedia.org/wiki/Boerdijk% … eter_helix
https://mathcurve.com/polyedres/tetraed … edre.shtml
https://mathworld.wolfram.com/RegularTetrahedron.html

Bonjour,

Le mouvement de la table résulte, dans le cas le plus simple, de la superposition:
a) d'un mouvement de translation uniforme du barycentre entre les positions extrêmes (G, G'), à la vitesse V_G = (1/t).GG' ;
b) d'un mouvement de rotation uniforme autour de la position instantanée du barycentre, faisant tourner l'objet d'un angle droit dans le sens antihoraire et s'effectuant à la vitesse angulaire ω = π/2t ;
ce dernier mouvement communique à chaque pied une vitesse d'entraînement normale à la diagonale, orientée vers la gauche de l'observateur placé en (G), et pourvu de la norme V_e = Rω = πR/2t (en convenant de poser

R = GA = GB = GC = GD = (1/2)(AB² + AC²)^1/2 = 5^1/2/2 ).

La vitesse absolue de chaque pied par rapport au sol, qui détermine l'orientation spontanée des roues montées sur un support mobile, résulte de la composition des deux vitesses précédentes: si l'on convient de caractériser les pieds (P_i) par les indices (1, 2, 3, 4) et de faire intervenir le vecteur rotation

Ω = (0, 0, ω) = ω.U_z

il vient:

V_i = V_G + ΩΛGP_i .

Il faudrait vérifier si pour toute position intermédiaire de la table, les roues présentent par rapport à l'objet une orientation constante, autrement dit si l'angle (GP_i, V_i) demeure constant, ce que paraît supposer la dernière question de l'énoncé:

Bonjour,

9 inconnues, 4 équations, cela fait 5 indéterminations (si les relations sont indépendantes). Que intérêt ?

Bonjour,

Soit F(a) = (a+1)^(a+1) - a^a = (a + 1)^a+1 - a^a .

Il vient F(a) = ((a + 1)^a)*(a + 1)¹ - a^a = a^a*[((a + 1)/a)^a(a + 1) - 1] = a^a*[(1 + 1/a)^a(a + 1) - 1] .

Sa croissance est beaucoup plus rapide que celle de G(a) =  (2a + 1) :
a          1          2          3          4          5
F(a)      3         23       229     2869    43531     
G(a)      3          5          7          9         11
L'identité F(a) = G(a) ne se produit que pour le premier terme.

Il y a peut-être comme un défaut dans tes calculs préliminaires:

4^4 - 3^3 = 229 (et non 4 + 3 = 7)
5^5 - 4^4 = 2869 (et non 5 + 4 = 9)