Forum de mathématiques - Bibm@th.net

[tex]n = 204 - (6^2 + 5^2 + 4^2 + 3^2 + 2^2 +1)  = 1 + 4\times{\frac{7\times{8}}{2}} = 113[/tex]
sauf erreur.

dans un triangle pythagoricien  d'hypoténuse  c  ,  a+b-c est toujours pair

et le rayon de son cercle inscrit  se formule ainsi:

[tex]   r = \frac{a+b-c}{2} [/tex]   

alors a+b-c étant pair , r est toujours un entier.

avec déjà 5 points c'est inévitable je pense.  En effet si Xp est une abscisse paire , Yp  une ordonnée paire , Xi une abscisse impaire &Yi une ordonnée impaire . On peut déjà tracer 4 points :

A(X1p,Y1p)  ,  B(X2i,Y2i) , C(X3p,Y3i) &  D(X4i,Y4p)  tels que les six segments  AB , BC , CD , DA , AC & BD  ont des coordonnées , ou de parités différentes , ou alors des coordonnées impaires premières entre elles. 

Maintenant si je trace un cinquième point  E(a,b)  , le couple (a,b) sera analogue à l'un des 4 types de coordonnées

        (Xi,Yi) , (Xp,Yi) , (Xi,Yp)  &  (Xp,Yp)  ; et dans ce cas les coordonnées d'un des segments EA , EB , EC ou ED  seront toutes les deux pairs.

et si elles sont paires , alors ce segment passe automatiquement par un point M à coordonnées entière.

Qu'en penses-tu ?

si  20/4 = 4 , alors  10/3 = 8/3  les égalités ont les membres de gauche en base 8 et les membres de droit en base 10 , il me semble.

dis moi où le bât blesse. je détaille mes calculs.

A) le voyage aller.

a) si toutes les heures et les durées données lors des dépositions sont exactes , alors de 8h à 11h , Richard ne s'arrêtant qu'une

demi-heure aura marché 2heures et demi soit 1h 15min de marche pour chaque étape. Il arrive donc à WF à 9h 15min

b) John , lui , part 20 min avant Richard et il est 7h 40min , ne s'arrête pas  et arrive à GD , se repose 20min et repart 15min

avant l'arrivée de Richard à WF (9h 15min) .  Il est donc arrivé à GD à  9h 15min -  35min =  8h 40min.

son temps de parcours est donc d'une heure . Et comme les 2 premiers parcours se sont déroulés sans pause, alors le rapport k

des vitesses est  1.25 , le plus rapide étant John.

c) maintenant je calcule les vitesses de chacun. 

  Lorsque les 2 amis se retrouvent en même temps aux 2 bords de la tamise , ils sont séparés de 0.2 km (si largeur du fleuve=

longueur du pont)  . On sait aussi que Richard va marcher 1 min de plus que son ami sur le pont. d'où l'équation de temps:

t  est le temps de traversée de Richard , Vr est sa vitesse et k est le rapport des vitesses .

[tex]   t = \frac{0.2}{Vr}  = \frac{1}{60}  + \frac{0.2}{k.Vr} = \frac{k.Vr + 12}{60k.Vr}[/tex]

on en déduit Vr :

[tex]  Vr = 12\times{\frac{k-1}{k}}  [/tex]

comme k = 1.25 alors Vr = 2.4 km/h  et Vj = 3 km/h .

d) la distance WF - GD   :  En une heure de trajet , John marchant à 3km/h aura donc parcouru 3 km.

Et lorsque Richard commence sa promenade  à 8 heures , john a déjà parcouru  1 km puisqu'il a marché 20 minutes à 3km/h.

A 8 heures  2 km séparent les deux amis. On peut donc déterminer à quelle heure Richard s'est retrouvé seul sur le pont.

_ tout d'abord  il lui restait  40 m de pont à parcourir .    2.4   x  1 / 60 = 0.04 km

entre 8 heures et ce moment précis , les deux amis ont parcouru à eux deux  2.160 km.

il est alors précisément :

                                           [tex]   8h + \frac{2.160}{3+2.4} =  8h 24min          [/tex]   

une minute plus tard , donc à 8h 25 min , Richard quitte le pont . Son arrivée à WF se produisant à 9h 15min , il lui reste

donc 50 min de marche . On en déduit la distance séparant le pont de WF.

               [tex] 2.4\times { \frac{50}{60} } = 2 \text{km de WF} [/tex]

Le pont mesurant 200m se situe donc à 800 m de GD.  Leur rencontre s'effectue à 8h 22min 13.333s ; et Richard à parcouru 88.8888m

sur ce pont.

B ) Le voyage retour.

-  Quand Richard repart de WF il est 9h15 (pas de pause) ; John , lui ayant marqué une pause de 20min , repart à 9h de GD . En un quart

d'heure il a donc déjà parcouru 750m ; et à ce moment là R & J  sont séparé de 2.250 km.  Ils se croiseront donc à

                       [tex] 9h15 + \frac{2.25}{5.4}  = 9h 40min  [/tex]

A 9h 40 , heure de rencontre Richard aura marché 25min et  parcouru depuis WF : 

                                           [tex] 2.4\times{\frac{25}{60}} = 1km [/tex]   

John quant à lui ,ayant quitté GD à 9h il aura parcouru :

                                           [tex]3\times{\frac{40}{60}} = 2 km[/tex]

conclusion : la discussion a lieu à 1km de WF et à  1km du pont ;  mais comme ils ont signé la déposition spécifiant que leur seconde rencontre a eu lieu à 2 km du pont , Watson en a conclu qu'il y avait comme un lézard  .

après lecture de l'interrogatoire , on déduit que Richard arrive à WF à  9h 15min puisque sa promenade a duré 3h et qu'il
s'est reposé 30 min ( 2 quarts d'heures)
John arrive , lui , à GD  35 min avant l'arrivée de Richard à WF . c'est à dire à 8h 40min.
John ne s'étant pas arrêté  non plus lors de sa première traversée a bouclé cette dernière en 8h 40min - 7h 40min = 1h
Le rapport des vitesse est donc  :
                                        [tex]k =\frac{V_{j}}{V_{r}} = \frac54 = 1.25[/tex]

Avec les infos concernant la première rencontre sur le pont , on déduit les vitesses de chacun .

[tex] V_{r} = 12\times{\frac{k-1}{k}} = 2.4 km/h[/tex]

[tex] V_{j} = 12\times{(k-1)} = 3 km/h[/tex]

On en déduit immédiatement la distance séparant GD de WF  :  d = 3km
et lorsque John a quitté le pont Richard est à 40m de la fin du pont. puisque qu'il lui faut 1min à 2.4km/h
on peut placer le pont aussi . A 8h , lorsque Richard démarre de GD , John est déjà à 1km de son point de départ WF .
Les amis ne sont plus séparés que de 2km . ils auront 2.160 km  au total  à parcourir jusqu'au moment où John quittera

le pont. ( richard est à 40m de l'autre bout du pont).  Il est alors:

[tex]   8h + \frac{2.160}{3+2.4} =  8h 24min          [/tex]   

une minute plus tard , donc à 8h 25min Richard quitte le pont à son tour. A ce moment là il lui reste 50 min pour atteindre WF.

comme il marche à 2.4 km/h .  Il se situe donc à :

[tex] 2.4\times { \frac{5}{6} } = 2 km de WF [/tex]  .

le pont se situe donc à  2km de WF  et à 800 m de GD.
Quand Richard repart de WF  , il est  9h 15min  ; et quand John quitte GD  , il est 9h . Alors en 15 min John a déjà parcouru 750m.
Les 2 amis sont alors séparés de 2.250 km et vont alors se croiser à:

[tex] 9h15 + \frac{2.25}{5.4}  = 9h 40min  [/tex]

Richard sera alors éloigné de [tex] 2.4\times{\frac{25}{60}} = 1km [/tex] de WF  et la discussion  aura lieu à 2km de GD . mais aussi
à 2km du pont . Le pont mesure 200m

Il y a donc une incohérence .  A l'aller , le pont est à 800 m de GD et 2000m de WF.

                                                   Au retour , le pont est à 3 km de WF  , et 3 km est aussi la distance qui sépare GD de WF.

Le pont est dans GD

Sauf erreur de ma part.

et si dans les 10% de perte au tournage étaient inclus les 2 derniers kg de copeaux réalisés pour tourner le dernier cône.

alors dans ce cas la perte de 10%  est liée à la seule quantité 50 . Alors dans ce cas l'usine n'a besoin que de 500/9 kg
de plomb soit  55.5555..kg . Elle perd effectivement  5.55555..kg soit 50/9 kg et elle obtient au final 450/9 kg soit 50 kg
de produit fini. 

avec 69kg de plomb ,  l'usine va perdre 19 kg de matière et va ainsi tourner 50 cônes

elle fabrique d'abord 23 cylindres de 3kg chacun .  la première séance de tournage donne  23 cônes.

il reste donc [tex] 46\times{\frac{9}{10}}=41.4kg  [/tex]   pour la seconde séance de moulage .

on ne peut utiliser que 39kg de plomb pour mouler 13 cylindres

la seconde séance de tournage donne 13 cônes . il reste donc :

[tex] 26\times{\frac{9}{10}}=23.4kg  [/tex]  de plomb pour la troisième séance de moulage.

l'usine ne peut mouler que 7 cylindres qui permettent de tourner 7 cônes .

il reste alors   [tex] 14\times{\frac{9}{10}}=12.6kg  [/tex]  de plomb pour la quatrième séance de moulage.

l'usine ne peut mouler que 4 cylindres qui permettent de tourner 4 cônes.

il reste alors [tex] 8\times{\frac{9}{10}}=7.2kg  [/tex]   de plomb pour la cinquième séance de moulage.

l'usine ne peut mouler que 2 cylindres qui permettent de tourner 2 cônes .

il reste alors   [tex] 4\times{\frac{9}{10}}=3.6kg  [/tex]   de plomb pour la dernière séance de moulage.

l'usine ne peut mouler qu'un seul cylindre afin de tourner le cinquantième cône.

au total : 23 + 13 + 7 + 4 + 2 + 1 = 50

si je conserve les surplus de fonderie je fabrique 50 cônes avec  61.8 kg de plomb. Et je peux détailler.

En fait pour résumer d'abord , le tourneur perd 200 g de copeaux par cône donc pour 50 cône il est perdu 10 kg 
à ces 10 kg viennent s'ajouter les 1800 g restants à l'issue du dernier tournage .
ce qui fait  11.8 kg de perte comme les cônes pèsent  1kg pièce , l'usine a besoin de 61.8 kg pour honorer sa commande