Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Soit une arête (A_iA_j) reliant deux sommets consécutifs, portée par la droite (d),
(θ) l'inclinaison de celle-ci par rapport à l'axe (x'x), située dans l'intervalle ]-π ; + π] ,
(P, Q) ses points d'intersection avec les axes, de coordonnées (a, 0) et (0, b),
(OH_i) le segment normal à la droite (d).

1°) Il vient, si l'on considère le triangle rectangle (OPQ):

h = - a.Sin(θ) = b.Cos(θ) (l'angle θ est négatif dans le cas de la figure)
d'où: 1 = (h/a)² + (h/b)² et h² = a²b²/(a² + b²) ;

2°) Et en ce qui concerne le rectangle (A_iB_iA_jB_j)

A_iA_j² = A_iB_i² + B_iA_j² , d'où: A_iA_j = ((x_j - x_i)² + (y_j - y_i)²)^1/2 = L_ij (par convention)
y_i - y_j = A_iA_j.Sin(θ) (l'angle θ est négatif dans le cas de la figure);
x_i - x_j = A_iA_j.Cos(θ)

3°) Enfin la droite (d) admet pour équation cartésienne: (x/a) + (y/b) = 1 ;
du fait qu'elle passe par les points (A_i, A_j) on déduit les expressions des deux termes associées:

a = (x_iy_j - x_jy_i)/(y_j - y_i) , b = -(x_iy_j - x_jy_i)/(x_j - x_i) ;

on retrouve au passage le déterminant de deux rayons vecteurs consécutifs:

D_ij = Det(OA_i, OA_j) = (x_iy_j - x_jy_i) ,

nécessairement non-nul dans le cas d'un polygone convexe, et positif dans le cas d'un enroulement des arêtes successives dans le sens direct.

On obtient finalement: h² = (x_iy_j - x_jy_i)²/((x_j - x_i)² + (y_j - y_i)²) =  D_ij²/L_ij² ,
ce qui conduit pour la racine positive à h = |D_ij|/L_ij .

L'équation de la droite (d) s'écrit finalement K_x.x + K_y.y = 1 , avec

K_x = 1/a = -Sin(θ)/h = -(y_i - y_j)/|D_ij| , K_y = 1/b = Cos(θ)/h = (x_i - x_j)/|D_ij| .

Pour la droite (d') symétrique de la précédente par rapport à l'origine (O), les paramètres prennent des valeurs opposées (a' = -a , b' = -b) et conduisent à l'équation: (x/a) + (y/b) = -1 . Ainsi apparaît le second terme évoqué dans les précédents échanges.

Merci de me signaler les éventuelles erreurs de calcul.

Bonjour,

Je crois que la relation corrigée par Yoshi ne permet que de définir un cercle à partir de deux points (A, B) et de l'angle ($\hat C$).

# J'avoue avoir du mal à suivre toutes tes digressions:

... des fonctions non-linéaires feront sans doute apparaître des lignes courbes, mais ce n'est plus le sujet !

# Et puisque la multiplication des lièvres tourne à l'élevage, je donne ici un lien vers une ancienne discussion dont le sujet, assez exotique, n'est pas sans rapport avec le présent échange.
J'avais pris au mot un personnage qui paraissait avoir plus de problèmes avec les mathématiciens qu'avec les mathématiques.
@ Yoshi: du boulot pour toi, sans doute, puisque je viens d'y débusquer une publicité clandestine (et de la signaler).

# Le dernier programme, hâtivement rédigé, n'utilise que des variables entières; il fait appel à des fonctions élémentaires du type:

F(d, x, y) = |mx + ny - d| + |mx + ny + d| - 2d ;

& la fonction Fabxy01(a, b, x, y) fait intervenir
F(a, x, y) = |x - a| + |x + a| - 2a ; F(b, x, y) = |y - b| + |y + b| - 2b , avec a= 100 , b= 70 , marge = 50 ;
& la fonction Fabxy02(a, b, x, y) fait intervenir
F(a, x, y) = |2x + 3y - a| + |2x + 3y + a| - 2a ; F(b, x, y) = |2x - 3y - b| + |2x - 3y + b| - 2b , avec a= 300 , b= 200 , marge = 200 ;
& la fonction Fabxy03(a, b, x, y) fait intervenir
F1(a, x, y) = |x - a| + |x + a| - 2a ; F1(a, x, y) = |y - a| + |y + a| - 2a ,
F2(a, x, y) = |x + y - b| + |x + y + b| - 2b ,
F3(a, x, y) = |x - y - b| + |x - y + b| - 2b , avec a = 100, b = 141, marge = 100 .

# Il faut bien sûr rationaliser tout cela, en partant de la liste des sommets du polyèdre.
Un nombre pair (N = 2N') de sommets permet de définir (N') bandes à bords parallèles (∆₁, ∆₂ ... ∆_N') à l'intérieur desquelles chaque fonction caractéristique F(d, x, y) est nulle:

L'intersection de toutes les bandes, sur (et seulement sur) laquelle la somme des fonctions précédentes est nulle, coïncide donc avec l'intérieur et le bord du polygone.

Il faut aborder le cas particulier des polygones convexes centrosymétriques, comme celui représenté ci-dessous:

On peut alors associer 2 par 2 les arêtes, et envisager d'introduire (c'est là le problème !) une relation du type

|W(x, y) - 1| + |W(x, y) + 1| = 2  quand -1 ≤ W ≤  1 ,

formellement apparentée à ce que tu as utilisé en début de discussion.
Les figures proposées auparavant en exemple sont dépourvues de centre de symétrie, de sorte qu'il n'est pas possible d'aller au delà de la série d'inéquations (ou tout autre résultat équivalent)

Det(MAi.MAj) ≥ 0 pour tout (i) de [1 ; N] ,

en ce qui concerne l'équation cartésienne vérifiée sur le domaine.

C'est en effet une observation astucieuse, mais je ne vois pas pour l'instant en quoi elle pourrait être utile - mais après tout, pourquoi pas ? Développe cette idée.
Cette propriété découle de la relation générale déjà indiquée

3.V = Σ_i=1^F(h_iS_i) .

dans le cas particulier de la pyramide régulière pourvue de (N) sommets et (F = N) faces, et caractérisée par un axe de symétrie d'ordre (N - 1), normale au polygone de base et passant par son centre; on obtient alors:

h₁ = 0 (pour la surface de base, d'indice 1) ,
S₂ = S₃ = ... = S_N (pour les faces latérales) ,

ce qui conduit à:

Σ_i=2^N(h_i) = 3.V/S_N .

Tout à fait d'accord.

Trouver le procédé permettant d'établir, à l'aide de valeurs absolues,  l'équation cartésienne d'un domaine polygonal plan, puis ensuite tenter de passer en dimension 3 ... si c'est possible ! Si j'ai donné l'impression d'être sorti du sujet de la discussion, c'est que je me suis mal exprimé.

Bonsoir Bernard-maths,

Oui, puisqu'il compare les deux termes de l'égalité

Σ_i=1^N(F(M, i, j)) = Σ_i=1^N|F(M, i, j)| ,

qui prennent des valeurs identiques en tout point intérieur au polygone;
les calculs sont effectués dans la procédure centrale Calc_Mat_Im2(Larg_Image, Haut_Image, Matrice_2)

- au point central (Xc, Yc) de l'image pour la somme algébrique (Sc),
- en un point quelconque (Xm, Ym) pour la somme (S) les valeurs absolues.
Le facteur (1/2), qui disparaît dans la vérification de l'égalité, est absent de l'algorithme; l'aire du polygone correspond donc à la moitié des sommes calculées: A = S/2 .
Le calcul peut être effectué au niveau de l'isobarycentre (G) des (N) sommets, toujours situé à l'intérieur du polygone lorsque celui-ci est convexe; il peut éventuellement coïncider avec l'origine, par raison de symétrie, dans le cas d'un polygone régulier - c'est une affaire de conventions.

Repose-toi bien,
Cordialement, Wiwaxia.

Il ressort de ce qui précède

Aire(A₁A₂ ... A_N) = (1/2)Σ_i=1^NDet(MA_i, MA_j) , avec j = 1 + (i Mod N) ,

et en introduisant la fonction dépendant de six coordonnées: F(M, i, j) = Det(MAi.MAj)
que l'intérieur du domaine (frontière incluse) délimité par un polygone plan à (N) sommets se caractérise par l'égalité:

Aire(A₁A₂ ... A_N) = (1/2)Σ_i=1^N|F(M, i, j)|

ou ce qui revient au même:

Σ_i=1^N(F(M, i, j)) = Σ_i=1^N|F(M, i, j)| .

L'égalité d'une somme de (N) termes avec celle de leurs valeurs absolues interdisant à chacun d'eux d'être négatifs, on en déduit:

Det(MAi.MAj) ≥ 0 pour tout (i) de [1 ; N] ;

la définition du polygone est bien un problème d'optimisation linéaire.

La transposition du problème dans l'espace à 3 dimensions s'effectue sans difficulté majeure, surtout si l'on se limite aux polyèdres réguliers ou archimédiens; il suffit pour cela de décomposer le solide en cônes (ou pyramides) de sommets commun (M), et s'appuyant sur chacune des faces.
Le volume du polyèdre à (F) faces est alors donné (puisqu'il y a eu partition du domaine, excluant tout vide ou recouvrement mutuel) par la relation:

V = (1/3)Σ_i=1^F(h_iS_i) .

Il va de soi que les volumes élémentaires sont algébriques, comme les surfaces; ces dernières sont orientées par un vecteur unitaire normal dirigé vers l'extérieur (intéressant problème de programmation, mais pas insurmontable dans le cas d'un polyèdre inscriptible dans une sphère).

# Une question reste en suspend: celle de l'apparition logique des sommes de valeurs absolues, posée dès le départ de cette intéressante discussion. Je pense sa résolution liée à la présence d'un centre de symétrie, et qu'il faut commencer par envisager des cas très simples.
Dommage que personne n'apporte des suggestions.

Tu n'échapperas pas aux figures orientées, si tu ne veux pas t'empêtrer dans des complications échevelées (voir plus haut).

Cela a été montré au message #25; en bref:

S = Constante = S(H°) = Σ_i=1^N(h) = N.h .

Il m'a fallu aussi beaucoup de temps pour mémoriser la bonne procédure. Il faut garder un exemple simple sous la main.

Directement dans le message, avant validation.
Et il faut mettre l'adresse d'accès direct à l'image !
L'instruction

fait apparaître l'image correspondante:

1) Activer le lien vers l'hébergeur d'images: https://www.cjoint.com/
2) Faire glisser l'image dans le cadre prévu.
3) Cliquer sur le bouton "Créer le lien Cjoint", situé plus bas en-dessous de quelques pubs.
4) Copier éventuellement l'adresse du lien, par ex. https://www.cjoint.com/c/KAnwlUSXTC0
5) Cliquer dessus, puis sur le bouton d'accès au fichier.
6) On retrouve alors l'image en plein écran; copier son adresse URL:
https://www.cjoint.com/doc/21_01/KAnwlUSXTC0_1.jpg
créer éventuellement le lien Internet par glissement dans ton dossier personnel.
7) L'insertion dans une réponse sur le forum se fait à l'aide des balises image:
[img#]https://www.cjoint.com/doc/21_01/KAnwlUSXTC0_1.jpg[/img#]
la suppression des deux caractères "#" active immédiatement les balises - ce que je ne peux faire dans ce texte.

Là, je ne peux plus suivre ! Il faudra attendre un peu ...

Bon courage.

J'ai saisi en vol les animations présentes sur le site indiqué
https://mathcurve.com/polyedres/cubocta … edre.shtml
L'une des figures laissait à désirer, mais je n'ai pas eu le temps de la reprendre.

Je découvre la notion d'apothème à la lecture de ta dernière intervention; elle appelle les remarques intéressantes, et j'y viendrai dès que possible.

Tu trouveras de nombreux développements au sujet de ce nombre dans l'article que lui consacre Wikipédia:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_ca … 9e_de_deux

Si l'historique des recherches qui le concernent t'intéresse, tu peux consulter cet ouvrage:

https://www.editions-lepommier.fr/le-fa … -2#anchor2

Bonjour,

Le triangle rectangle envisagé est caractérisé par les données suivantes:

# les côtés de l'angle droit (a, b) ,
# l'hypoténuse, qui vérifie: h² = a² + b²

.
Si de plus a = h/3, alors (b) vérifie l'équation (h/3)² + b² = h² ,
d'où: b² = h².(8/9) et b = h√8/3 .

Et moi, un doute m'a saisi ...

Je reprends donc une représentation plus détaillée du polyèdre précédent:

L'équation cartésienne fait intervenir une somme de 3 termes: S = Sx + Sy + Sz , avec:

Sx = |x - a| + |x + a| ,
Sy = |y - a |+ |y + a| ,
Sz = |z - a| + |z + a| .

1°) Soit un point quelconque de la face carrée (ABCD), d'abscisse x = b > a
et vérifiant par ailleurs: |y| et |z| < a ;
on obtient dans ce cas: S = 2x + 2a + 2a = 4a + 2b .

2°) La face rectangulaire (ADLE) est quand à elle caractérisée par (x + y) = a + b , |x| et |y| > a , |z| < a ,
ce qui entraîne: S = 2x + 2y + 2a = 2(x + y) + 2a = 2(a + b) + 2a = 4a + 2b .

3°) On a enfin dans le cas du triangle (AEF): |x|, |y| et |z| > a , x + y + z = b + 2a ,
d'où S = 2x + 2y + 2z = 2(b + 2a) = 4a + b .

La somme proposée est bien constante sur toutes les 3 faces étudiées; compte tenu des symétries du polyèdre, elle présente la même valeur sur toutes ses faces.

Le cube chanfreiné admet donc pour équation cartésienne: S = 4a + 2b; l'identification avec l'expression initialement donnée S = 6a + 2e implique: 2b = 2a + 2e , soit: b = a + e .

Il suffit (!) de scier la pièce de bois selon un plan contenant les diagonales de trois faces carrées adjacentes.

La difficulté étant de fixer la pièce de bois sur son support; je crois que tu seras contraint d'y introduire quelques vis - mais tu y parviendras sans doute avec ton savoir-faire... bon courage !