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#226 Re : Entraide (supérieur) » Exercice d'équation différentielle » 30-12-2012 21:50:25
théorème de Weierstrass !
#227 Re : Entraide (supérieur) » Exercice d'équation différentielle » 30-12-2012 21:29:57
il faut que [tex]y \leq C[/tex] ,C>0
#228 Re : Entraide (supérieur) » Exercice d'équation différentielle » 30-12-2012 21:27:21
[tex]0<y(t)< x_0 , t_0 \in [0,+\infty[[/tex] !
#229 Re : Entraide (supérieur) » Exercice d'équation différentielle » 30-12-2012 21:22:36
j'ai pas compris ce que je doit déduire -_-
#230 Re : Entraide (supérieur) » Exercice d'équation différentielle » 30-12-2012 21:00:38
[tex]g(x(t)) \leq - \beta x(t) \Rightarrow g(x(t))+\beta x(t) < 0 \Rightarrow x'(t)+ \beta x(t) < 0 \Rightarrow y'(t)<0[/tex]
s'il vous plait on peut ignorer la fonction y ,et par le fait que [tex]g(x) \leq -\beta x[/tex] en déduit la suite ?
Merci
#231 Re : Entraide (supérieur) » Exercice d'équation différentielle » 30-12-2012 18:32:19
Pour la deuxième question : je fait comme tu la dit et pour voir si j'ai bien compris je résume tout
soit [tex]\alpha , \beta[/tex] telle que [tex]0<\beta <\alpha[/tex]
[tex]g'(0)=-\alpha[/tex] , comme g est de classe [tex]C^1[/tex] il existe un intervalle [tex][0,\delta][/tex] sur lequel [tex]g(x) \leq -\beta x , x \in [0,\delta][/tex]
soit la fonction [tex]y(t)=x(t) \exp( \beta t)[/tex]
[tex]y(t) > 0[/tex] pour [tex]t \in [0,\infty[[/tex]
[tex]y'(t)= x'(t) \exp ( \beta t) + \beta x(t) \exp ( \beta t) = (x'(t)+ \beta x(t)) \exp ( \beta t)[/tex]
[tex]\displaystyle \lim _{t \rightarrow \infty} y (t) = 0 ,y(0)=x_0 > 0[/tex]
donc [tex]y'(t)\leq0 sur [0,\infty[[/tex] ce qui implique que :
[tex]x'(t) \leq \beta x(t) \Rightarrow \int \displaystyle \frac{x'(s)}{x(s)} ds \leq \int \beta \Rightarrow \ln x(t) \leq -\beta t +c \Rightarrow x(t)\leq C \exp(-\beta t)[/tex]
[tex]C=\exp(c) >0[/tex]
c'est ça ?
#232 Re : Entraide (supérieur) » Exercice d'équation différentielle » 30-12-2012 10:58:28
c'est bon j'ai compris la limite merci
#233 Re : Entraide (supérieur) » Exercice d'équation différentielle » 30-12-2012 09:45:41
ah d'accord alors c'est pour ça que je n'est pas su utiliser Gronwall !
j'ai une petite question au sujet de la limite
si x' tend vers 0 alors x aussi tend vers 0 ?
s'il vous plait
#234 Re : Entraide (supérieur) » Exercice d'équation différentielle » 29-12-2012 19:57:55
ok, merci
et pour la limite s'il vous plait ,x est décroissante , alors on peut dire que[tex] 0<x(t)< x_0[/tex] et comment faire après ?
après y a une autre question
on suppose que [tex]g'(0)=- \alpha <0[/tex] , montrer que pour tout[tex] 0< \beta <\alpha[/tex] , il existe une constante [tex]C >0[/tex] telle que[tex] x(t) \leq C \exp ^{-\beta t}[/tex] pour tout [tex]t \geq 0[/tex]
je pense je suis même quasiment sure que je doit appliquer Gronwall mais j'ai pas su comment faire ,c'est le fait que je ne sais pas ou utiliser le fait que [tex]g'=-\alpha[/tex]
s'il vous plait
merci.
#235 Re : Entraide (supérieur) » Exercice d'équation différentielle » 29-12-2012 14:04:54
donc on considère une solution maximal et on prouve par l'absurde qu'elle est globale
c'est ça ?
#236 Re : Entraide (supérieur) » Exercice d'équation différentielle » 29-12-2012 11:25:36
S'il vous plait; on a [tex]0<x(t)<1[/tex] pour tout [tex]t \in [0,T[[/tex] , es qu'on prend [tex]]a,d[ \subset [0,T[[/tex] ?
Merci.
#237 Re : Entraide (supérieur) » Exercice d'équation différentielle » 28-12-2012 21:37:24
J’avoue que je n'ai pas bien compris le théorème ,
moi j'ai une solution locale unique , maintenant je doit supposer qu'il existe une solution maximal , c'est ça ?
et après je fait quoi ?
s'il vous plait
merci.
#238 Re : Entraide (supérieur) » Exercice d'équation différentielle » 28-12-2012 16:23:51
Oui merci, entre temps j'ai résolue cette question
mais s'il vous plait , je bloque sur la suite :
En déduire que le problème [tex]x(0)=x_0 ,x'=g(x)[/tex] admet une solution globale unique sur [tex][0, \infty[[/tex] , et montrer que cette solution vérifie [tex]\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} x(t)=0[/tex] .
je sait que comme [tex]g[/tex] est de classe [tex]C^1[/tex] alors il est localement lipschitzien et donc le problème admet une unique solution locale , mais comment dire la solution est globale
s'il vous plait
merci
#239 Entraide (supérieur) » Exercice d'équation différentielle » 26-12-2012 10:25:30
- vrouvrou
- Réponses : 60
Bonjour ;
j'ai cette question :
Soit g une fonction de classe [tex]C^1[/tex] de R dans R , telle que [tex]g(0)=g(1)=0[/tex] et [tex]g(x)<0[/tex] pour tout [tex]0<x<1[/tex].
1) Soit [tex]0<x_0<1[/tex] et soit [tex]x[/tex] une solution sur [0,T[ du problème [tex]x(0)=x_0 , x'=g(x)[/tex].
Montrer que[tex] 0<x(t)<1[/tex] pour tout [tex]t \in [0,T[[/tex] .
j'arrive pas a la faire , aidez moi s'il vous plait
#240 Re : Entraide (supérieur) » Fontion lipschitzienne » 25-12-2012 15:40:15
c'est bon.. les polynômes ne sont pas borné
#241 Entraide (supérieur) » Fontion lipschitzienne » 24-12-2012 14:12:05
- vrouvrou
- Réponses : 1
Salut,
pouvez vous me dire comment faire pour dire que ça :
[tex]\displaystyle \frac{||f(x_1,0)||}{|x_1|}=\frac{|-x_1^3+x_1|+|-x_1|}{|x_1|} \leq \frac{|x_1||x_1|^2+|x_1|+|-x_1|}{|x_1|} \leq |x_1|^2+2[/tex]
n'est pas majoré ?
merci
#242 Re : Entraide (supérieur) » Système différentiel » 19-12-2012 14:04:40
bonne idée , je vais essayer de lui envoyer un message !
#243 Entraide (supérieur) » Système différentiel » 19-12-2012 12:52:15
- vrouvrou
- Réponses : 2
Bonjour à vous
J'ai trouvé sur internet le fichier : http://www.math.univ-toulouse.fr/~raymond/book-B4.pdf
J'aimerais savoir, s'il vous plait, où je peux trouver les solutions des problèmes posés dans le fichier ?
Merci.
#244 Re : Entraide (supérieur) » Convergence faible de la base hilbertienne » 09-12-2012 21:47:15
réel donc fini c'est ça ! et après comme tu ma dit la série converge donc le terme général tand vers zéro
c'est ça
#245 Re : Entraide (supérieur) » Convergence faible de la base hilbertienne » 09-12-2012 21:20:46
parce que ||x|| est borné , la série converge ?
#246 Re : Entraide (supérieur) » Convergence faible de la base hilbertienne » 09-12-2012 09:38:47
l’avant dernière ligne du poste 2 ,
je n'ai pas compris
s'il vous plait
#247 Re : Entraide (supérieur) » Convergence faible de la base hilbertienne » 09-12-2012 09:37:19
Bonjour,
donc j'ai [tex]||x||^2= \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty} |(e_n,x)|^2[/tex]
je cherche sur le net je ne trouve pas un théorème qui dit si cet une formule de Bessel alors elle converge
je fait comment alors ?
je regarde si [tex]\displaystyle \sum _{n=1}^{N} |(e_n,x)|^2[/tex] tand vers 0 ?
s'il vous plait
merci
#248 Entraide (supérieur) » Convergence faible de la base hilbertienne » 08-12-2012 21:36:24
- vrouvrou
- Réponses : 8
Salut ,
pour prouver que la base hilbertienne $(e_n)_n$ converge faiblement vers 0
on fait :
1- tout élément x d'un éspace de Hilberte $H$ s'écrit comme une combinaison linéaire [tex]x= \displaystyle\sum _{n=1} ^{\infty} (e_n , x ) e_n[/tex] ..... c'est ok
2- donc on a [tex](e_n,x) \longrightarrow 0[/tex] ..... pourquoi ?
ce qui fait que [tex](e_n,x) \longrightarrow (0,x) \forall x \in H[/tex]
donc [tex]e_n[/tex] converge faiblement vers 0 .
comment passer de 1 vers 2 ?
j'ai lu qu'on prouver utiliser le théorème de Bessel
mais comment arriver a la formule [tex]x = \sum |(e_n ,x)|^2[/tex] en utilisant [tex]x= \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (e_n,x)e_n[/tex]
s'il vous plait
merci
#249 Re : Entraide (supérieur) » espace non complet » 16-11-2012 13:02:32
ok,et donc j’intègre pour deux variables [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex] ?
s'il vous plait
merci
#250 Re : Entraide (supérieur) » espace non complet » 16-11-2012 10:18:36
pour n=2
soit [tex]\varepsilon >0[/tex] , p,q >0 tq [tex]p>q>0[/tex]
[tex]||u_{p}(x)-u_{q}(x)||=|||log(|x|^2+1/p)|^{\alpha/2} -|log(1+1/p)|^{\alpha/2}-|log(|x|^2+1/q)|^{\alpha/2}+|log(1+1/q)|^{\alpha/2}||_V[/tex]=
[tex]\int_{\Omega}(\nabla|log(|x|^2+1/p)|^{\alpha/2} -|log(1+1/p)|^{\alpha/2}-|log(|x|^2+1/q)|^{\alpha/2}+|log(1+1/q)|^{\alpha/2})^2dx[/tex]
une idée pour terminer ?
s'il vous plait