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Bonjour,
Une transformation par des relations de trigonométrie et sachant limite quand x tend vers 0 de sin x/x=1.

Bonne continuation.

On veut calculer \[\lim_{x\rightarrow 0}  \dfrac{1-\cos ax}{x^2}\]
\\
Le début de la résolution commence par une transformation trigonométrique :
\\
Partant de \[\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\], on a en prenant b=a :
\\
\[\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a\]
et par conséquent
\[\cos a=\cos^2\dfrac{a}{2}-\sin^2 \dfrac{a}{2}\]
\[\cos ax=\cos^2 \dfrac{ax}{2}-\sin^2 \dfrac{ax}{2}\]
et utilsant 
\[\cos^2 x+\sin^2 x=1\]

\[ \cos ax=\cos^2 \dfrac{ax}{2}-\sin^2 \dfrac{ax}{2} =1-2\sin^2 \dfrac{ax}{2}    \]
\[ 1-\cos ax=2\sin^2 \dfrac{ax}{2}    \]
\[ \dfrac{1-\cos ax}{x^2}=\dfrac{2\sin^2 \dfrac{ax}{2}}{x^2}=\dfrac{2\times a^2/4\times\sin^2 \dfrac{ax}{2}}{x^2 \times a^2/4} =\dfrac{a^2}{2}\left( \dfrac{\sin \dfrac{ax}{2}}{\dfrac{ax}{2}} \right)^2   \]
Il faut connaître la limite $\lim_{u\rightarrow 0} \dfrac{\sin u}{u}=1$ pour conclure
\[ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos ax}{x^2} = \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{a^2}{2}\left( \dfrac{\sin \dfrac{ax}{2}}{\dfrac{ax}{2}} \right)^2  =  \dfrac{a^2}{2}  \]