Forum de mathématiques - Bibm@th.net

En fait, je viens de rendre compte que mon message de 10:10:10 répond à la (c) (enfin, je crois) mais je ne vois pas où interviennent les théorèmes de convergence du cours d'intégration...

Les 2 questions sont en fait exactement :

Après avoir écrit la longueur d'un intervalle J borné en fonction de [tex]1_J[/tex] (déjà résolu plus ci-dessus)
(c)En déduire qu’on peut définir la mesure d’une union dénombrable d’intervalles ouverts
bornés disjoints (penser aux théorèmes de convergence vus en cours).
(d) Montrer qu’un ouvert borné est union dénombrable d’intervalles ouverts disjoints. En
déduire qu’on peut définir la mesure des ouverts et des fermés bornés de R. Exprimer
ces mesures comme des intégrales.

pour la (d), soit U un ouvert borné par a et b.
U est de la forme [tex]I_0 union I_1 union... union I_n[/tex] avec [tex]I_0,...,I_n[/tex] les parties connexes de U. Elles sont disjointes entre elles donc U n'est pas connexe, 
On suppose que [tex]I_0 <= I_1 <= ... <= I_n[/tex] .
Puisque U est minoré par a, [tex]I_0[/tex] est aussi minoré par a. Pareillement, [tex]I_n[/tex] est majoré par b.
Comme U n'est pas connexe mais U est borné, l'union est dénombrable.
Qu'en pensez-vous ?

Soit U un ouvert borné de R. D'après la (c), on en déduit que ça mesure est :
[tex]\sum_{k=0}^{n}{\int_{a_k}^{b_k}{1_{I_k}(x) \, dx}}[/tex]

Soit F un fermé borné de R donc il existe un ouvert U de R tel que F = R - U donc la mesure de F est définie. Les fermés bornés de R sont des intervalles de R donc la mesure de F est (si F est borné par a et b):
[tex]\int_{a}^{b}{1_{F}(x) \, dx}[/tex]

Ma question : Comment montrer que l'union dénombrable d'intervalles ouverts bornés disjoints est définie ? J'ai proposé une réponse mais je ne suis pas sure que c'est juste.

Pour montrer que l'union dénombrable d'intervalles ouverts bornés disjoints est définie :
soit une suite [tex](J_n) n \in N[/tex] , une suite d'intervalles ouverts bornés disjoints. Par exemple, leur borne inférieure dans R est [tex](a_n)[/tex] et leur borne supérieure dans R est [tex](b_n)[/tex] , comme l'union est dénombrable, j'ai posé [tex]N \in R[/tex] et on a :
longueur(union des [tex]J_k[/tex]) = [tex]\sum_{k=0}^{N}{\int_{a_k}^{b_k}{1_{J_k}(x) \, dx}} <= (b_N - a_0)[/tex]