Forum de mathématiques - Bibm@th.net

La théorie des ensembles n'est pas contradictoire, ou du moins personne n'a montré qu'elle l'était jusqu'à présent. Pour ce qui est des résultats de Moiseti, il ne faut pas s'y fier puisqu'ils sont erronés. A la limite, la seule chose qui peut sembler paradoxale (paradoxale, mais non antinomique) c'est le fait qu'il existe un (des) modèle(s) dénombrables de la théorie des ensembles. Mais c'est justement uniquement paradoxal, et il ne s'agit en aucun cas d'une antinomie.

Donc, aucunes inquiétudes à avoir quant à l'avenir des mathématiques. Cependant, si la théorie des ensembles s'avèrait "contradictoire" (ou plutôt inconsistante), les mathématiques connaîtraient une crise assez importante je suppose..

Comme première intuition :
Lancer tous les 2 étages n'est pas bon : dans le pire des cas (étage 99) il faut 51 coups.
Lancer du 50 dès le départ n'est pas mieux : 51 coups également (étage 99).
Je pense que le mieux est de trouver une stratégie qui prends en compte le fait que plus ca casse haut, plus il faut de coups avec la première boule. Dans ce cas, on commencerait à l'étage 15, puis 29 (15+14), puis 43 (29+13), etc. il faut ensuite trouver l'étage de départ optimal.
J'aurais donc tendance à dire, à cette heure si tardive, que le mieux est de lancer la première boule depuis les étages 14,27,39,50,60,69,77,84,90,95,99,100. (puisque la somme des entiers de 1 à 14 est égale à 105)
Les cas où il faut le plus de lancers sont les étages 13,26,...,98, et il suffit de 14 coups pour résoudre le problème. On peut même prendre un immeuble de 105 étages et avoir toujours un cas maximal de 14 coups.

Il y a peut-être mieux, mais à cette heure-ci je vais pas chercher plus loin.

Il est malheureux que tu ne tiennes pas compte des remarques Moiseti. Je tente encore une fois, en espérant être écouté. Le problème de ta démonstration, c'est ton histoire de "puits sans fond". A ce propos, je ferais remarquer qu'un bon ordre n'exclue en aucun cas ces "puits sans fond", il n'y a qu'à voir les ordinaux, qui en contiennent, et qui sont bien ordonnés.
C'est pourquoi je me permet de dire que la démonstration est inexacte, sans pour autant dire que le résultat est faux, attention. En effet, le problème réside dans la "construction" de D, qui n'est pas suffisement explicitée, et qui, désolé de me répéter, présuppose la dénombrabilité de l'ensemble E. Alors soit tu as une méthode qui te permet de passer outre cette remarque, et alors il faudrait l'expliquer dans la démonstration, soit la méthode de construction est celle que j'imagine (il faut bien l'imaginer si elle n'est pas décrite), et qui consiste à choisir un élément avec l'axiome du choix, puis un deuxième (AC toujours) et le mettre en relation avec le premier, puis en choisir un troisième (AC) et le mettre en relation avec le second, etc... Je l'ai déjà dit, mais si cette méthode fonctionne, il faut encore prouver que cette méthode "épuise" l'ensemble E. Or, nous avons la preuve de Cantor et de sa diagonale magique qui nous donne un contre-exemple à celà, puisque dans le segment 0,1 je prends des éléments, les uns après les autres, et je construit une suite, mais cette suite n'est malheureusement pas exhaustive.

Je ne suis pas venu pour en remettre une couche, mais simplement pour répondre à l'appel de mon nom sur cette discussion. Je ne suis pas tellement intéressé par le texte B, mais par soit sa correction, soit son explicitation. Dans l'état actuel des choses, il n'est pas complet.

On ne peut, selon toi, substituer à E aucun ensemble particulier pour critiquer un raisonnement sensé être valable pour tout ensemble. Autant dire que tu refuses la critique.

Si si, je l'ai vue. J'ai bien comris ce qu'était la relation D, pas de problèmes. C'est un ordre strict, et A est une relation représentant la fonction successeur. Pas de "puits sans fond", cela veut dire sans aucuns doutes que tout couple d'éléments (a,b) de D peut être décomposé comme une suite finie de couples de A. C'est une conséquence triviale de la définition.

Mais ce n'est pas le problème.
Mon problème c'est la partie 2.7.
Lorsque tu définis A={(a,b),(b,c),...} sans "puit sans fond", tu supposes déjà que ton ensemble E est dénombrable. En effet, avec la définition de A donnée, puisque tu prends un premier élément, tu supposes que chaque élément z de E est atteint à partir de a (premier élément) en un nombre fini d'étapes. (il existe x1,x2,...,xp de E tels que (xi,xi+1) est un élément de A et x1=a et xp=z).
Supposer que, par exemple, R peut être muni d'une telle relation A, c'est supposer une bijection de R dans N.

Le problème est caché dans la construction de A.
En effet, avec l'axiome du choix, je peux dire "je prend un élément de E, je l'appelle a".
Puis, je peux réutiliser l'axiome du choix et dire "je prend un autre élément et je l'appelle b".
Je dis "(a,b) est dans A".
Puis je continue ainsi, je prends un troisième élément c, je dis que (b,c) est dans A, puis je prends un quatrième élément, etc.
Le problème est là : on aura pas forcément tous les éléments de E ainsi, puisqu'on va créer une relation A dont le domaine est nécessairement dénombrable.
Ainsi, dire que E peut être muni d'une relation D (ou A, la seule chose importante ici c'est A), c'est dire que E est dénombrable.

C'est justement tout l'intérêt du raisonnement diagonal de Cantor. On peut trouver une "chaîne" d'éléments et en faire une relation A mais il y aura toujours des éléments de E que nous n'aurons pas considérés.
R nécessite ce que tu nommes des "puits sans fond". Une autre manière de dire que R n'est pas dénombrable.

Effectivement mon exemple ne fonctionnait pas. Avec NxZ on peut trouver une telle relation A en posant ((0,0),(0,1)),((0,1),(1,0)),((1,0),(1,1)),((1,1),(-1,1)),((-1,1),(2,0)),((2,0),(2,1)),((2,1),(-2,1)),((-2,1),(3,0)),etc.
Au passage on remarquera qu'il ne s'agit que de la preuve que NxZ est dénombrable.
C'est d'ailleurs pour ça qu'il ne fonctionne pas cet exemple.

Mais je crois avoir été suffisement clair cette fois-ci.

Pour ça, à voir les polynômes d'interpolation. Cela permet de trouver une fonction qui passe par ces points. Par exemple, celui de Lagrange (si mes souvenirs sont bons), qui donne un polynôme de degré n-1 passant par n points donnés.
Je crois que c'est un truc comme ça :
soient [tex]$(a_{i},b_{i})$[/tex] les coordonnées des points.
On définit
[tex]$L_{i}(x)= \frac{(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{i-1})(x-a_{i+1})...(x-a_{n})}{(a_{i}-a_{1})(a_{i}-a_{2})...(a_{i}-a_{i-1})(a_{i}-a_{i+1})...(a_{i}-a_{n})}$[/tex]
On peut vérifier que [tex]$L_{i}(a_{j})=0$[/tex] si [tex]$i \not = j$[/tex] et vaut 1 sinon.
Après, il suffit de prendre
[tex]$P(x)=\sum{b_{i}L_{i}(x)}$[/tex]

Par contre, c'est utile pour un petit nombre de points (je dirais jusqu'à 15 ça doit pouvoir aller s'ils ne sont pas trop rapprochés). Après on observe ce qu'on apelle les phénomènes de Runge (pas sûr, à vérifier).

P.S.: Je viens de me rendre compte qu'il s'agissait de discussions sur un logiciel de géométrie. Je laisse quand même le message, cela donne une méthode pour trouver une équation "à la main".

Bon, allez, je commence avec le deuxième texte.

1. Pourquoi tout ce travail pour définir D ?
Au fond, si j'ai bien compris, le but est de définir une relation d'ordre strict D, où A est une relation binaire représentant la fonction successeur et B est ce qu'il nous manque pour en faire une relation transitive. (en gros, tous les couples (a,b) sont ceux qui néccessitent plus d'une application du successeur pour passer de l'un à l'autre).
Petite remarque d'alleurs. Il n'y a aucunes différences entre les lignes 2 et 3 du "R4.2".
Je comprends pourquoi certains ont trouvé ça plein d'amateurisme. Pour ma part, je dirais plutôt que c'est maladroit. Disons que les deux pages de définition de D (et propriétés) pourraient être résumées en une demi-page. Ca rend le texte lourd et complique les choses pour rien. Ca décourage aussi beaucoup de gens à lire jusqu'au bout et à chercher à comprendre ce qui est caché derrière.

2. "D est totale". Non. D est totale sur son domaine de définition, mais n'est pas totale sur E. Faut faire attention à ce genre de choses. Et puis dire que D est totale sur D, c'est un peu comme dire que la fin du monde arrivera le jour de la fin du monde. Ca n'avance personne, et ça ne dit rien d'intéressant.
Ah! Pardon... Ca vient plus tard : "E est totalement ordonné par D". Je suppose que c'est de là que provient tout le foin. Attention à la démonstration :

Bon, le 2.6.1 on s'en fout royalement. Tout ce que j'ai envie de dire c'est : "oui, il suffit que... et comment le fais-tu ?". Alors bon, on peut se dire que si c'est expliqué ainsi, c'est facile à faire. En fait, on utilise ici l'axiome du choix, si je ne me trompe. Sinon, on peut pas décider comme ça de prendre un bon ordre sur E, comme c'est fait un peu plus loin. ("E={a,b,c,d,...}") Si l'axiome du choix n'est pas utilisé ici, j'aimerais vraiment savoir comment tu définis ton A sur un ensemble particulier. Par exemple, montre-moi comment tu définie A sur R, ça m'interesse. Sinon, si tu utilises l'axiome du choix, il faut peut-être le préciser dans ton raisonnement. Remarquons que  même si tu utilises l'axiome du choix, rien ne te permet d'affirmer que chaque élément à un "prédécesseur immédiat", puisque ce dernier nous donne un bon ordre sur E. Et juste çà. Le problème vient de la définition de E={a,b,c,d,...}. Qu'est-ce que c'est tes b et c ? Moi, par exemple, j'ai un bon ordre sur les rationnels positifs ou nuls, c'est l'ordre usuel. Je veux bien poser a=0, mais après, pour b, il faut m'aider. Bref, je ne sais pas si le résultat est faux, bien que je pense qu'il le soit, mais ce qui est sûr, c'est que la démonstration de ce théorème est erronée.

3. Ben du coup, vu que le théorème d'avant n'est pas démontré, il est inutile de continuer. Je ferai la suite si le fameux théorème est prouvé. En attendant j'ai d'autres choses à faire.

P.S.: Tant qu'à refaire cette démonstration, autant écrire de manière plus lisible le début, parce que cela manque effectivement de clarté. La définition de D,A et B pourrait être simplifiée énormément, et je ne dis pas ça pour t'embêter. Plus on est clair dans ce qu'on écrit, et moins on a de chances de faire des erreurs.