Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Essaye avec des polynômes interpolateurs de Lagrange c'est assez efficace ! ;)

Shadock

On peut ajouter un petit plus que tu verras en deuxième année, c'est un classique :

Démonstration :
On définit une suite de polynômes [tex]\left(P_n \right)[/tex] par :
[tex]\forall n \in \mathbb{N}, P_n=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}[/tex]

Alors [tex]||exp-P_n||_{\infty}^{[a,b]} = \max_{x \in [a,b]} \left|\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\right|=\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{c^k}{k!}[/tex] où [tex]c = max(|a|,|b|)[/tex]

Or [tex]\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{c^k}{k!}[/tex] est le reste d'ordre [tex]n[/tex] d'une série convergente donc sa limite est nulle, ainsi :

[tex]\lim_{n \to \infty} ||exp-P_n||_{\infty}^{[a,b]} = 0[/tex] d'où le résultat !

Shadock :)