Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

ayant un examen à la fin du mois, je m'entraîne à faire plusieurs exercices. Malheureusement, je bloque sur des question. Je vous explique l'énoncé :

Soit G un groupe d'ordre fini, non abélien, engendré par deux éléments a et b d'ordre 2.

1) On pose u=ab et H=<u>, montrer que H n'est pas d'ordre 2. On notera n l'ordre de u. (fait)
2) Montrer que tout élément de G est de forme b^r (ab)^l a^t avec r et t € {0,1}. Montrer que a(ab)a = (ab)^-1 et que H est distingué dans G. Montrer que l'intersection de H et de <a> et égal à e. (fait)

Voici les questions où je bloque :

3) En déduire que G=H.<a> et que G est d'ordre 2n.
4) En déduire que G=<u=ab,a>, et que u et a sont liés par les relations u^n=1,a^2=1,aua=u^(n-1).
5) Montrer que tous les éléments n'appartenant pas à H sont d'ordre 2.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,

j'ai un problème pour faire une partie d'exercice et surtout pour rédiger. Voilà la question :

     Soit G un groupe fini.
     Si x<>e vérifie x²=e on considère, pour tout u appartenant à G, les parties Bu = {u, xu}. Si u<>v, comparez         
     Bu et Bv. En déduire que s'il existe un élément d'ordre 2 dans G alors |G| est pair.

Est-ce que quelqu'un pourrait me mettre sur la voie.
Merci d'avance pour votre aide.