Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Il peut par exemple donner des informations assez condensées sur des propriétés qu'entretient le sous-groupe distingué H dans G vis à vis du groupe G, tel que G/H est abélien ssi H contient tout les éléments de la forme $xyx^{-1}y^{-1}$.

Bonjour,

C'est incompréhensible:
h. g = ?

Bonjour,

Ce que tu écris est faux, sans autre précision.
De quelle action de groupe parles-tu en rapport avec ta relation d'équivalence ?
Sur un plan conceptuel, pour moi l'apport des actions de groupe est essentiellement géométrique, à la fois dans le sens du lien de Fred, mais aussi dans le sens de la "géométrie" qui peut se nicher intrinsèquement dans les groupes.
Un exemple concret qui me vient en tête est celui des triplets d'entiers croissants compris entre 0 et 5.
(0,0,0), (0,0,1) .... (5,5,5)
Sur un plan strictement algébrique on peut au moyen de bijection en  dénombrer le cardinal (56).
On peut aussi loger toutes les valeurs possibles  aux sommets d'un triangle équilatéral, faire agir sur l'ensemble des triangles obtenus un groupe particulier,
et en déduire ipso facto ( si on connaît les actions de groupes) le cardinal cherché.
On conviendra qu'on est à la croisée de l'algèbre pur et de la géométrie.
On obtient un jeu de société bien connu, pendant des dominos ...

Bonsoir,

@Bernard:
Graphiquement cela s'interprète en un sous-quadrillage p x p ( combien ?)  , puis par exemple pour chaque ligne spécifier  à quelle colonne on place sa croix, ce qui donne pour chaque quadrillage choisi p x p ,  p! options.

Si tu raisonnes (comme je l'ai fait à tort ) choix de cases  les uns après les autres (donc dans un ordre quelconque ) les mêmes  réseaux de croix vont se retrouver  à permutations près, le résultat sera p! fois trop grand.

Bonsoir,

Hélas tu reprends ce que j'ai fait avec la même erreur, ça ne tient pas la route... Tu auras un facteur p! sur le bon résultat.
Voir les divers messages de ce fil ...

En désignant par $L_p$ , $C_p$ respectivement les sous-ensembles de p lignes et les sous-ensembles de p colonnes, $S_p$ l'ensemble des bijections s entre eux  , C l'ensemble des configurations cherché, alors C
est en bijection avec le produit cartésien de ces trois ensembles, autant donc qu'un choix groupé de p lignes  , de p colonnes , et d'une bijection s ( ou injection) entre eux.
Une façon de voir peut-être plus "géométrique".

Oui en première colonne on a deux choix, puis un seul pour la deuxième.
Tu as raison je pense, il y a une erreur dans sa formule , effectivement.
Mon erreur provient du fait que dans mon choix en colonne j'en  compte p! fois trop, alors que les choix sont les p-uplets parmi {1,...,N} strict. croissants, ce qui est plus restrictif: nombre de combinaisons de p parmi N.
Par exemple avec p =3 et N =5 je comptais par exemple
(2,4,5) (4,2,5)... etc (6 fois) pour un seul cas réel.
Après au niveau des croix pour les choix 1,2,3 des lignes,
par exemple, (1,2,3) se retrouvait avec (2,1,3) ...etc (6 fois) alors que c'est pareil.
Ok avec toi pour résumer.

Bonjour,

En raisonnant sur les colonnes d'abord ( mais sur les lignes c'est tout aussi valable évidemment),
Vous devez affecter un choix en ligne pour la colonne n°1 la plus à gauche choisie ( M points croix possibles), puis pour la colonne suivante n°2 choisie il n'y a plus que M-1 croix possible vu qu'une ligne est proscrite,  etc jusqu'à la colonne n°p choisie.
Remarquez que le calcul donne NxMx(N-1)x(M-1)x... avec un nombre de double-facteurs égal à p.
Je ne vois pas ce qui vous permet d'avancer votre expression, vous dénombrez juste le nombre choix de p rangées relativement à la plus petite dimension du tableau, ce qui n'a rien à voir...

Remarque: vu en projections, sur un plan ensembliste on a un produit cartésien d'injections pour l'ensemble des configurations possibles.

Bonne soirée

Bonjour,

Sans vouloir semer le trouble, certains aspects de la théorie frisent avec la métaphysique.
La notion d'ensemble est a priori créée au sein de ladite théorie afin de pouvoir espérer concevoir et gérer simultanément
tous ce qui est possible d'imaginer, mathématiquement,  sans tomber sur des paradoxes patents.
Le sens direct "ensemble", donc "éventail" de ses ensembles-éléments induit donc déjà une difficulté puisqu'on s'autorise curieusement à prendre en compte une notion qui certes a un représentant dans la théorie ( l'ensemble considéré), mais n'en est pas un intrinsèquement (Krivine).
Pire dans l'autre sens puisqu'il existe des éventails d'ensembles sans aucun représentant ensembliste
( le tout , mais il y en a d'autres bien moins grands, comme la classe des ordinaux).
Des théories conjointes ont été élaborées de manière à incorporer dedans par souci d'homogénéité différents types de classes, le premier niveau de ces classes étant les ensembles, ceux de la théorie ZF(C).
Après je n'ai pas investigué assez loin pour te certifier que ce genre de perfectionnement n'aboutit pas qu'à repousser la question si on souhaite pouvoir gérer des classes de classes de ...
Bref c'est pour ça que j'ai évoqué la métaphysique, mais heureusement on peut faire des maths de façon passionnante et raisonnée, sans se préoccuper de ces questions dévolues aux spécialistes.

Bonjour,

C'était effectivement la configuration ou, dit autrement, une cavité centrale communicant avec l'extérieur 1 fois  au travers de chaque face.
Mea culpa pour le manque de précision.
Un trou servant uniquement à passer d'un côté de la surface à l'autre, sur N ouvertures, il y en a une qui ne dessert visiblement pas ce but, et le nombre de trous effectif est N-1.
Pour reprendre l'image d'un ballon, s'il n'est pas  percé, soufler à travers l'embouchure ( 1 orifice comme un autre mais pas un trou, et pour cause...), gage avec un bon espoir son gonflement... L'éventuel retour d'air inopiné dans les poumons si on est exténué par les fêtes ne compte pas , car ce n'est pas la membrane qui est traversée.
Après, si on soufle dans un ballon sans orifice du tout,
il vaut mieux aller consulter d'urgence...

Précision pour la figure de Bernard: elle possède 3 trous...

Bonne et joyeuse fin d'année

Bonjour,

Si tu bouches cinq orifices, le cube n'est plus traversable.
Si tu considères le patron d'un cube évidé sur une face,
Il suffit de le percer 5 fois pour reconstituer par pliage un cube ayant 6 ouvertures ( 1 par face).
Sauf erreur, cela fait six orifices mais que cinq trous, l'un des orifices n'est du qu'à la forme dans l'espace de l'objet.

Bonjour,

je crois que mathématiquement il y a une définition topologique, mais là le trou est carrément dans ma mémoire.
En tous cas pour moi qu'on prenne un carton  avec des trous (intuitifs) au nombre de N pour en faire un cube dont il manque une face (ou une partie de cette face ), le carton présente toujours N trous.
Si je perce N trous dans la paroi d'un ballon à gonfler, j'ai N trous et N+1 orifices. L'embouchure ( à permutation près avec les N créés) n'est pas un trou supplémentaire par rapport aux autres : une fois N orifices rebouchés, le dernier ne participe qu'à la forme en creux, on pourra gonfler naturellement le ballon (sans fuites d'air !)
J'aimerais être plus clair mais j'en suis totalement incapable, ma vision en attendant mieux étant complètement intuitive.
Après je pourrais aussi te demander ce que tu entends par tunnel, ouvertures etc... vu l'appât du gain les rongeurs et autres mulots ne font heureusement pas de topologie.
J'aurais juste envie de dire qu'il y a 1 trou lorsque en réduisant la matière autour on a un anneau, 2 trous un 8 etc.
Les topologues de ce monde vont sans doute tiquer, et les autres se retourner dans leur tombe, mais bon...
Désolé de ne pouvoir faire mieux.

Bonsoir,

Jean-Louis:
Si tu prends un patron en carton  "à plat"  de cube dont juste une face n''est pas pleine ( il manque par exemple un petit carré pour que le pliage soit possible), en faisant cinq trous bien placés du même acabit sur le patron, qui avait au départ 0 trous, une fois la forme cubique reconstituée, tu obtiens bien un cube évidé sur ses six faces, mais toujours avec cinq trous... non?