Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Une vue plus intrinsèque des choses:
Le tenseur contracté de T d'ordre n selon les indices (1,2) (par exemple , en suivant ton gabarit d'espaces) , est l'application d'ordre n-2 qui au n-2 uplet de vecteurs $ ( x_3, ..., x_n ) $ associe le réel $ T( e_i ,  e{^i}^* , x_3, ..., x_n )$, en adoptant la notation simplificatrice d'Einstein où on somme ad libitum sur l'indice répété de variance différente d'éléments , ici d'une base et de sa base duale.
Montrer qu'il s'agit bien d'un tenseur (multilinéarité) , et que la définition a un sens ( l'application ne dépend pas en fait de la base choisie pour sa définition, sinon cela n'aurait aucun sens). Bon exercice d'ailleurs.
Rien n'empêche de réitérer la contraction, qui fonctionne par paires de covariances différentes.
Comme dans ton exemple il semble que tu considères  n = 2m avec m paires (E,E*) , on peut finir par un tenseur d'ordre 0, autrement dit un scalaire, au bout de m contractions.
On a aussi le produit contracté de deux tenseurs T et S qui consiste à en effectuer le produit tensoriel $T \otimes S$, puis à contracter ensuite si c'est licite bien-sûr.

Je reprends en ce moment quelques échanges précédents, pas de surprise sur l'effet retard donc...

Pour résumer:

La contraposée de l'axiome d' extension est exprimable par la relation d'inclusion ( ou sa négation ).

Ce que tu fais:

- tu décomposes les inclusions  entre ensembles en relation d'appartenance au moyen de quantificateurs et de variables. OK.
- tu obtiens une implication $A \Rightarrow B$ . OK.
- tu t'aperçois qu'une propriété C plus forte que B  t'interpelles ( en l'occurence elle est fausse comme conjonction de deux propositions incompatibles... ). OK
- tu conclus qu'il y a une erreur.

Le problème se situe entre les deux derniers points.
"Si je vais randonner (A), c'est qu'il ne pleut pas (B)".
"S'il fait un grand soleil (C), il ne pleut pas (B)".

Cela ne veut pas dire que si je vais randonner, cela implique un grand soleil.
Et le fait qu'il fasse parfois grand soleil est même un bonus !
Dans le cas où le grand soleil est totalement utopique, pas de souci logique non plus!

Bonjour,

A mon sens dire que les assertions P(x) ,Q(x)  sont compatibles signifie que la proposition R  = "Il existe x : P(x) et Q(x)" est vraie.
C'est équivalent à dire que non R est fausse , autrement dit  S = "pour tout x: non P(x) ou non Q(x)" est fausse.
(x est considéré dans un référentiel donné).

Je ne suis pas un spécialiste de logique, mais ( par exemple ) quand on cherche à résoudre un système de deux équations linéaires à une inconnue (x,y), on est intéressé à ce que au moins un (X,Y) du référentiel ( disons un ensemble donné, ici le plan ordinaire) vérifie chaque relation.
Si c'est le cas, on dit que le système est compatible (la théorie dit qu'il existe un seul (X,Y) ou une infinité, par ailleurs ).
Dans le cas contraire , pas de solution, pour tous (X,Y) , au moins l'une des deux équations n'est pas satisfaite.

Je ne vois pas  où se situe ton souci ( ou bien je n'ai rien compris à ta question).

Bonjour,

Bonne journée

Bonjour,

Ta représentation ne concerne pas tous les réels, qui peuvent être négatifs, et la partie devant la virgule n'est pas toujours 0.

Bonjour,

Il peut par exemple donner des informations assez condensées sur des propriétés qu'entretient le sous-groupe distingué H dans G vis à vis du groupe G, tel que G/H est abélien ssi H contient tout les éléments de la forme $xyx^{-1}y^{-1}$.

Bonjour,

C'est incompréhensible:
h. g = ?

Bonjour,

Ce que tu écris est faux, sans autre précision.
De quelle action de groupe parles-tu en rapport avec ta relation d'équivalence ?
Sur un plan conceptuel, pour moi l'apport des actions de groupe est essentiellement géométrique, à la fois dans le sens du lien de Fred, mais aussi dans le sens de la "géométrie" qui peut se nicher intrinsèquement dans les groupes.
Un exemple concret qui me vient en tête est celui des triplets d'entiers croissants compris entre 0 et 5.
(0,0,0), (0,0,1) .... (5,5,5)
Sur un plan strictement algébrique on peut au moyen de bijection en  dénombrer le cardinal (56).
On peut aussi loger toutes les valeurs possibles  aux sommets d'un triangle équilatéral, faire agir sur l'ensemble des triangles obtenus un groupe particulier,
et en déduire ipso facto ( si on connaît les actions de groupes) le cardinal cherché.
On conviendra qu'on est à la croisée de l'algèbre pur et de la géométrie.
On obtient un jeu de société bien connu, pendant des dominos ...

Bonsoir,

@Bernard:
Graphiquement cela s'interprète en un sous-quadrillage p x p ( combien ?)  , puis par exemple pour chaque ligne spécifier  à quelle colonne on place sa croix, ce qui donne pour chaque quadrillage choisi p x p ,  p! options.

Si tu raisonnes (comme je l'ai fait à tort ) choix de cases  les uns après les autres (donc dans un ordre quelconque ) les mêmes  réseaux de croix vont se retrouver  à permutations près, le résultat sera p! fois trop grand.

Bonsoir,

Hélas tu reprends ce que j'ai fait avec la même erreur, ça ne tient pas la route... Tu auras un facteur p! sur le bon résultat.
Voir les divers messages de ce fil ...

En désignant par $L_p$ , $C_p$ respectivement les sous-ensembles de p lignes et les sous-ensembles de p colonnes, $S_p$ l'ensemble des bijections s entre eux  , C l'ensemble des configurations cherché, alors C
est en bijection avec le produit cartésien de ces trois ensembles, autant donc qu'un choix groupé de p lignes  , de p colonnes , et d'une bijection s ( ou injection) entre eux.
Une façon de voir peut-être plus "géométrique".

Oui en première colonne on a deux choix, puis un seul pour la deuxième.
Tu as raison je pense, il y a une erreur dans sa formule , effectivement.
Mon erreur provient du fait que dans mon choix en colonne j'en  compte p! fois trop, alors que les choix sont les p-uplets parmi {1,...,N} strict. croissants, ce qui est plus restrictif: nombre de combinaisons de p parmi N.
Par exemple avec p =3 et N =5 je comptais par exemple
(2,4,5) (4,2,5)... etc (6 fois) pour un seul cas réel.
Après au niveau des croix pour les choix 1,2,3 des lignes,
par exemple, (1,2,3) se retrouvait avec (2,1,3) ...etc (6 fois) alors que c'est pareil.
Ok avec toi pour résumer.

Bonjour,

En raisonnant sur les colonnes d'abord ( mais sur les lignes c'est tout aussi valable évidemment),
Vous devez affecter un choix en ligne pour la colonne n°1 la plus à gauche choisie ( M points croix possibles), puis pour la colonne suivante n°2 choisie il n'y a plus que M-1 croix possible vu qu'une ligne est proscrite,  etc jusqu'à la colonne n°p choisie.
Remarquez que le calcul donne NxMx(N-1)x(M-1)x... avec un nombre de double-facteurs égal à p.
Je ne vois pas ce qui vous permet d'avancer votre expression, vous dénombrez juste le nombre choix de p rangées relativement à la plus petite dimension du tableau, ce qui n'a rien à voir...

Remarque: vu en projections, sur un plan ensembliste on a un produit cartésien d'injections pour l'ensemble des configurations possibles.

Bonne soirée