Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Exercice 1 (9 pts)
Soient A = cof4(X) - cof3(X)+ aX + B (avec a, B € R) et B = cof2(X) - X +1.
• Soit C (X) = cof2(aX) + bX + cE R[X] tel que a ‡ 0. Calculer deg(C+ A), deg(C + B) et
deg(CB).
® Effectuer la division euclidienne du polynôme A par le polynôme B.
© a) En déduire que le polynôme B divise le polynôme A lorsque a = 1 et B = -1.
b) Dans ce cas, en deduire la factorisation de A dans R/X:
Exercice 2 (5 pts)
On considère les polynômes suivants:
A = cof4(X)- cof43(2X) - cof(11X) + 12X + 36, B = cof3(X) + cof2(3X) - 4.
• Montrer que pged(A, B) = cof2(X)+ 4X + 4.
• Calculer les coefficients de Bézout pour A et B.
Exercice 3 (6 pts)
On considére le polynôme
A = cof5(X) - cof4(2X) - cof3(11X) + cof2(12X) + 36X.
• Vérifier que -2 est une racine double de A.
® Trouver le polynôme Q tel que A = (X + 2)-Q(X).
• Factoriser A dans R[X].