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Bonjour,

On considère un anneau A unitaire commutatif. Quels sont les sous A-modules libres de A ?

Comme la question est formulée de façon ouverte je ne suis pas sûr de ce qu’on doit trouver.

Je dirais qu’il s'agit des idéaux principaux.

En effet un sous module de A est un idéal I. S’il est libre, il est isomorphe à $A^{(K)}$ (désignant l’ensemble des tuples presque tous nuls indexés par K).

Grâce à l’injection naturelle $I \to A$, on construit alors une injection $\iota : A^{(K)} \to A$ qui est en particulier une A-application linéaire.

Supposons que K a un cardinal plus grand que 2, en prenant une restrictionde $\iota$, on peut construire $\kappa : A^2 \to A$ une injection A-lineaire.

Posons alors $x=\kappa(1,0)$ et $y=\kappa (0,1)$, non nuls par injectivite de $\kappa$.

On a donc $xy = \kappa(0,x)$ et $yx =\kappa(y,0)$. Comme A est commutatif,  on alors $\kappa(0,x)=\kappa(y,0)$. Par injectivite on a donc $x=y=0$. Contradiction.

Donc K a au plus un élément. Si K n’a pas d’élément,  I est l’idéal nul engendré par 0. Si K a un élément on peut considérer $\phi : A \to I$ un isomorphisme, ainsi I est l’idéal engendré par $\phi(1)$ .

Dans tous les cas l’idéal est principal.

Qu’en pensez vous ? Est-ce correct ? Peut-on être plus direct?

Sébastien