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Bonjour,
Merci de m'aider à comprendre le point de la  fin de la démonstration ou il est affirmé que S est d'image dense.
En vous remerciant.

Soient (E, || ||) et  (F, || ||’)  deux espaces de Banach et T une application linéaire continue de E dans F.
Appelons T’ la transposée de T, F’ le dual de F et E’ le dual de E.
Il s’agit de montrer que T’ (F’) fermé dans E’ implique T(E) fermé dans F.

Démonstration
B= clôture (T(E)) est de Banach.
Soit S l’application linéaire continue de E dans B définie par :
S(x) = T(x). Alors on a Im(S’) =Im (T’) en appelant S’ la transposée de S.
Donc Im(S’) est fermé dans E’ par hypothèse.
Comme S est d'image dense, il résulte du cours que S est surjective. Autrement dit S(E) =B Or T(E) = S(E)   donc T(E)  = B

Bonjour,

On considère E  un K espace vectoriel et A une partie convexe et absorbante de E.
Soit f la fonctionnelle de Minkowski de A.    r>0
Pourriez vous me dire comment prouver que  f(x)< r implique x est dans rA.

Merci