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Bonjour !

J'ai un exercice dont j'ai résolu la moitié facilement mais la seconde partie me pose problème, si quelqu'un pouvait m'aider s'il vous plait ce serait sympa ! :-)

Voici l'exercice :

Chez l'alligator d'Amérique, la proportion de mâles et de femelles varie en fonction de la température durant une période d'incubation (entre le [tex]7^{ème}[/tex] et le [tex]21^{ème}[/tex]  jour). La température moyenne relevée dans un marécage durant cette période étant de [tex]33\,^{\circ}\mathrm{C}[/tex], la proportion théorique de femelles est de [tex]25\%[/tex].

1. On observe les animaux issus de [tex]30[/tex] œufs. On note [tex]X[/tex] le nombre de femelles et [tex]Y[/tex] le nombre de mâles issus de ces [tex]30[/tex] œufs.
Quelle est la loi de [tex]X[/tex] ? De [tex]Y[/tex] ?
Que vaut [tex]X+Y[/tex] ?
Quelle est la probabilité d’obtenir au plus [tex]7[/tex] femelles ?
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins [tex]13[/tex] mâles ?
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins [tex]13[/tex] femelles ?
Quelle est la probabilité d’obtenir exactement [tex]8[/tex] femelles ?

2. On observe maintenant, toujours dans le même marécage, les animaux issus de [tex]100[/tex] œufs. On note [tex]S[/tex] le nombre de mâles issus de ces [tex]100[/tex] œufs.
Quelle est la loi de [tex]S[/tex] ? Son espérance ? Sa variance ? Peut-on approximer la loi de [tex]S[/tex] ?
Trouver un réel [tex]\delta[/tex] tel que [tex] \mathbb{P}(75-\delta \leqslant S \leqslant 75+\delta)  \approx 92\%[/tex].
Quel est l’entier naturel [tex]a[/tex] tel que [tex] \mathbb{P}(75-a \leqslant S \leqslant 75+a)  \approx 92\%[/tex].
Trouver le nombre de mâles [tex]K[/tex] tel que la probabilité d’observer au moins [tex]K[/tex] mâles soit inférieure à [tex]5\%[/tex].

La partie "1." ne m'a fait me poser qu'une seule question : la probabilité d'obtenir au moins [tex]13[/tex] mâles ([tex] \mathbb{P}(Y\geqslant 13)[/tex]) est-elle bien égale à la probabilité d'obtenir au plus [tex]17[/tex] femelles ([tex] \mathbb{P}(X\leqslant 17)[/tex]) ? Ça me parait évident donc je m'en suis servi mais je ne vois pas comment le montrer. Sinon c'était très facile.

Pour la deuxième partie, on a toujours, pour chaque œuf, deux issues possibles, [tex]\{mâle, femelle\}[/tex], tous les œufs réalisant leur éclosion de façon identique et toutes les éclosions étant indépendantes, on est bien dans le cas où [tex]S[/tex] suit la loi binomiale de paramètres [tex](100; 0,75)[/tex] (si je ne m'abuse).
Par conséquent, si je ne me suis pas trompé, l'espérance de [tex]S[/tex] est égale à [tex]75[/tex] (soit [tex]100\times0,75[/tex]) et la variance de [tex]S[/tex] égale à [tex]18,75[/tex] (soit [tex]100\times0,75\times0,25[/tex]). Dans ce cas, on ne peut pas approximer la loi binomiale par une loi de poisson de paramètre [tex]75[/tex] !... Puisque la probabilité pour chaque éclosion n'est pas faible du tout et qu'il y a une différence non négligeable entre l'espérance de [tex]S[/tex] et la variance de [tex]S[/tex]... C'est là que commence mon problème (les tables de la fonction de répartition de la loi binomiale dont je suis censé me servir n'étant pas du tout suffisamment étendues !), je pense que j'ai fait une erreur dans mon raisonnement précédent, du coup pour calculer la probabilité d'observer au moins [tex]80[/tex] mâles, je ne vois pas comment faire. Pour la suite avec les inégalités non plus... Enfin, j'ai quand même tenté un raisonnement pour la suite mais je suis à peu près sûr qu'il est faux. Le voici tout de même même :
[tex] 75-\delta \leqslant S \leqslant 75+\delta \Rightarrow \delta^2 \leqslant (S-75)^2 \leqslant \delta^2 \Rightarrow (S-75)^2 = \delta^2 \Rightarrow E((S-75)^2)=\delta^2[/tex] (puisque [tex]\delta^2[/tex] est un réel fixé) soit [tex]\delta=\sqrt{18,75}[/tex]. Pour [tex]a[/tex] j'ai pris la partie entière de [tex]\sqrt{18,75}[/tex] soit [tex]4[/tex] mais j'avoue que c'est purement irréfléchi, je ne vois pas comment y accéder non plus. Quant-à [tex]K[/tex], je pense qu'il est évident que je n'ai pas trouvé ce nombre...

En vous remerciant à l'avance de l'aide probable (tant qu'on y est...) que vous pourriez m'apporter !

Bonsoir,

J'ai simplement une question au sujet de mon cours de dénombrement. Je précise que je suis actuellement hors cursus scolaire et donc plus moyen de demander au prof qui m'a fait ce cours, mais j'en ai besoin pour l'année prochaine et même par simple curiosité d'ailleurs (j'ai quand même quelques bases de maths puisque je suis passé par une prépa bio "sup" et "spé", je précise pour donner une idée de mon niveau afin de faciliter les éventuelles réponses), or je ne trouve pas la réponse en cherchant par moi même.

Voilà, dans mon cours de dénombrement j'ai donc une formule, ci-dessous (le latex est plus facile que ce que je croyais !), dont je ne connais pas la provenance :

[tex]\Gamma_p^n = \frac{(n+p-1)!}{p!(n-1)!}[/tex]

Je me demandais, en fait, simplement à quoi sert cette formule, mais aussi s'il existe un rapport avec les fonctions [tex]\Gamma[/tex] et|ou [tex]\beta[/tex] (désolé le bêta majuscule refuse de s'afficher en latex apparemment), puisque je crois me souvenir au sujet de la fonction [tex]\beta[/tex], dans un exercice dont le sujet et le contexte m'ont complètement échappé, avoir vu l'inverse de cette fraction (mais peut être était-ce un rêve O_o).

Merci d'avance pour la (les) réponse(s) !