Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

J'ai beau réfléchir et chercher, je n'arrive pas à comprends comment on passe de -15x congru à -21 [16] à 1x congru à -21 [16] dans l'exercice suivant, j'ai bien compris qu'on utilise le fait que -15 est congru à 1 [16] mais je ne comprends pas pourquoi ça nous permet de remplacer -15x par 1x :

[tex]
\section*{Correction}

a) Déterminer un inverse de 5 modulo 16.
b) En déduire les solutions de l'équation \(5x \equiv 7 \pmod{16}\).}

a) 5 et 16 sont premiers entre eux, donc 5 admet un inverse modulo 16. 
Déterminons cet inverse : 
\(x\) est inverse de 5 modulo 16, si \(5x \equiv 1 \pmod{16}\).

Or \(x\) est nécessairement congru à l'un des entiers \(0, 1, 2, 3, \dots, 15 \mod 16\). 
Par disjonction des cas, on a :

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x \mod 16 & 0 & 1 & 2 & 3 & \dots \\
\hline
5x \mod 16 & 0 & 5 & 10 & -1 & \dots \\
\hline
\end{array}
\]

On peut arrêter la recherche car si \(5 \times 3 \equiv -1 \pmod{16}\), alors \(5 \times (-3) \equiv 1 \pmod{16}\). 
Ainsi, \(-3\) est un inverse de 5 modulo 16.

b) \(5x \equiv 7 \pmod{16}\).

Pour « se débarrasser » du facteur 5, on va multiplier les deux membres par un inverse de 5 : 
Soit : \(-3 \times 5x \equiv -3 \times 7 \pmod{16}\), 
\[
-15x \equiv -21 \pmod{16},
\] 
\[
1x \equiv -21 \pmod{16} \quad \text{car} \quad -15 \equiv 1 \pmod{16}.
\] 
Soit encore : 
\[
x \equiv 11 \pmod{16}.
\]

Réciproquement : 
Si \(x \equiv 11 \pmod{16}\) alors 
\[
5 \times x \equiv 5 \times 11 \pmod{16},
\] 
\[
5x \equiv 55 \pmod{16},
\] 
\[
5x \equiv 7 \pmod{16}.
\]

On en déduit que \(x \equiv 11 \pmod{16}\). 
Les entiers \(x\) solutions sont tous les entiers de la forme \(11 + 16k\), avec \(k \in \mathbb{Z}\).

[/tex]

Bonjour,

12 ans après la fin de mes deux années de CPGE MPSI/MP, les mathématiques me manquent.

J'ai donc commencé à penser à obtenir l'agrégation externe de mathématiques.

Je cherche aussi une reconnaissance officielle du fait d'avoir atteint un certain niveau en mathématiques, ma matière préférée depuis toujours.

Cependant, étant donné que je travaille déjà en tant qu'ingénieur et que je n'ai pas l'intention d'enseigner, le fait de passer le concours de l'agrégation me pose un problème de conscience.

J'ai peur de pénaliser un autre candidat qui lui la souhaite pour pouvoir enseigner, que ce soit au niveau de l'admissibilité ou au niveau de l'admission et du classement.

Y a-t-il un moyen de la passer sans pénaliser personne ?

Merci d'avance :)