Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous,

J'aimerais vous proposer une solution au problème suivant :

Déterminer toutes les fonctions \( f \) allant de \( \mathbb{Z} \) dans \( \mathbb{Z} \) (ou de \( \mathbb{N} \) dans \( \mathbb{N} \)) vérifiant \( f(f(n)) = n + k \), avec \( k \) un entier relatif (ou naturel).

J'ai vu deux vidéos qui résolvent ce problème, posé à un oral d'entrée à Centrale (il me semble), et dans les deux, les outils utilisés ne sont pas à ma portée.

De mon côté, j'ai raisonné comme ça :

J'ai d'abord montré par contraposée que si une fonction composée avec elle-même est un polynôme de degré \( p^2 \) pour \( p \geq 1 \), alors la fonction est un polynôme de degré \( p \) (en prenant un polynôme \( P \) de degré \( q \neq p \), \( P(P) \) est de degré \( q^2 \neq p^2 \)).

Ainsi, pour \( f(f) \) de degré 1, \( f \) est aussi une fonction affine.

Ensuite, on raisonne par identification : \( f(f(n)) = n + k \). Or \( f(n) = an + b \), où \( a \) et \( b \) sont des entiers, d'où \( f(f(n)) = a^2 n + ab + b \).

Ici, on a \( a^2 = 1 \), donc \( a = 1 \) ou \( -1 \).

     Si \( a = 1 \), \( 2b = k \), ce qui est possible que si \( k \) est pair.
     Si \( a = -1 \), \( k = 0 \).

Ainsi, les solutions sont :

     \( f(n) = -n \) si \( k = 0 \),
     \( f(n) = n + \frac{k}{2} \) si \( k \) est pair.

Cette solution me paraît plutôt simple ; je ne comprends donc pas pourquoi elle n'est pas évoquée dans les vidéos que j'ai vues. C'est pour cela que je me demande si elle est correcte, et donc je vous la partage.

Qu'en pensez-vous ? Y a-t-il des imprécisions ?

Merci d'avance !

PS : On pourrait aussi montrer que si une fonction composée avec elle-même \( n \) fois est un polynôme de degré \( p^n \), alors la fonction est un polynôme de degré \( p \) (pour \( p \geq 1 \)).