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Exercice  II:

On désigne par E l'espace vectoriel sur R des fonctions réelles définies sur R positif .Etant donne un élément & de E, on se propose de chercher dans certains cas des éléments  f  de E qui vérifient la condition:
(C) : V x€ R+, f(x + 1) - f(x) = &(x)
On suppose que & est décroissante et que
Limite à +l’infini &(x)= 0 => &>0
Soit a € R. Soient f1 et f2deux fonctions décroissantes de E telles que f1 (1) = f2(1) = a et qui vérifient la condition (C).
1. Montrer que la fonction g = f1 - f2 est périodique de période 1 et que pour tout V x€R
g(x + n)= g(x)

2.Montrer que pour tout n€ N* , g(n)=0

3.Montrer que pour tout n€N g(x)=[f1(x+n)-f1(x)]-[f2(x+n)-f2(x ) ]