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#1 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Interprétation d'une suite vis à vis de la somme des k(k parmi n) » 24-08-2024 10:24:40
Merci de la réponse,
J'avoue que ce n'était pas si immédiat pour moi et j'adore cette interprétation de la formule. Juste pour reformuler si j'ai bien compris, pour passer de n à n+1, on ajoute une nouvelle personne :
- Soit elle est représentante de son groupe : on regarde tous les groupes possibles en choisissant parmi les n personnes déjà présentes ce qui fait [tex]\sum_{k=0}^n\binom{k}{n}=2^n[/tex]
- Soit elle n'est pas représentante de son groupe :
- Soit on l'ajoute à l'un des groupes d'avant : [tex]u_n[/tex]
- Soit on ne l'ajoute pas à l'un des groupes d'avant : [tex]u_n[/tex]
On retrouve alors bien [tex]u_{n+1}=2u_n+2^n[/tex].
C'est bien ça ?
Merci encore pour cette interprétation, du coup question subsidiaire, qu'en est-il de la généralisation avec [tex]\lambda[/tex] ?
#2 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Énigme Pythagore » 24-08-2024 10:17:20
J'ai aussi "bestialement" calculé l'angle [tex]\widehat{CBJ}[/tex] et trouvé qu'il vaut [tex]\tan^{-1}\left(\frac{7+\sqrt{109}}{10}\right)[/tex]. Si quelqu'un a mieux je suis aussi preneur
#3 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Interprétation d'une suite vis à vis de la somme des k(k parmi n) » 23-08-2024 16:43:17
- Saikidoka
- Réponses : 4
Bonjour à tous,
Par avance, désolé si cette discussion se trouve dans la mauvaise catégorie, cela dit il s'agit bien pour moi d'une curiosité et bizarrerie.
En préparant une potentielle future évaluation pour mes élèves, je me suis pris de curiosité pour la suite définie par récurrence comme suit :
[tex]\left\{\begin{aligned}u_0&=0\\u_{n+1}&=2u_n+2^n\end{aligned}\right.[/tex]
La curiosité vient du fait que l'on peut montrer que pour tout [tex]n\in\mathbb N[/tex], on a [tex]u_n=n2^{n-1}[/tex]
Or, on peut trouver que [tex]\sum_{k=0}^nk\times\binom{k}{n}=n2^{n-1}[/tex]
Une formule qui ne m'est pas totalement inconnue car lors d'un stage en L3, j'ai fait le lien entre cette formule et un graphe particulier. Je me demandais donc s'il s'agissait d'une coïncidence de la retrouver ici ou s'il existait une interprétation qui m'échappe.
J'avoue que je ne suis pas spécialement fan de l'idée d'une coïncidence, mais il est vrai que si on généralise la suite pour tout [tex]\lambda\in\mathbb C^*[/tex] par
[tex]\left\{\begin{aligned}u_0&=0\\u_{n+1}&=\lambda u_n+\lambda^n\end{aligned}\right.[/tex]
on trouve encore que pour tout [tex]n\in\mathbb N[/tex], on a [tex]u_n=n\lambda^{n-1}[/tex]
Merci à vous d'avoir pris le temps de me lire et pour vos idées
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